Тема уроку. Розв'язування задач на застосування векторів.
Мета уроку: формування вмінь учнів застосовувати вивчений матеріал до розв'язування задач.
Обладнання: стінна таблиця "Вектори в просторі».
І. Перевірка домашнього завдання
1. Два учні відтворюють розв'язування задач № 55 (4), 56.
2. Фронтальне опитування.
1) Чому дорівнює скалярний добуток векторів, які задано координатами?
2) Як можна обчислити скалярний добуток векторів, якщо відомі їх довжини і кут між ними?
3) Як можна визначити косинус кута між двома ненульовими векторами?
4) Сформулюйте ознаку перпендикулярності двох ненульових векторів.
5) У просторі дано вектори (1; 1; 0),
(0; 1; 1). Укажіть, які з вказаних тверджень правильні, а які — неправильні:
а) довжини векторів і
рівні;
б) скалярний добуток векторів і
дорівнює 2;
в) кут між векторами і
дорівнює 120°;
г) ( +
)(
–
) = 0;
д) вектори +
і
–
перпендикулярні.
3. Перевірити правильність виконання задач № 55 (4), 56 учнями на дошці та відповісти на запитання, які виникли в учнів класу в ході виконання домашніх завдань.
II. Закріплення та осмислення знань учнів
1. Знайдіть довжину діагоналі АС паралелограма ABCD, якщо А (2; - 6; 0), В (-4; 8; 2), D (0;-12;0).
Оскільки (- 6; 14; 2),
(-2; -6; 0), то
=
+
, AC (-8; 8; 2)
(рис. 300).
Тоді =
=
= 2
. Відповідь. 2
.
2. Знайдіть кут між стороною АС і медіаною ВМ трикутника АВС, якщо А(-3; -5; 1), В(-4; -1; -2) і С(3; 3; 1).
Кут між стороною АС та медіаною ВМ дорівнює куту φ між векторами та
(рис. 301), або, якщо кут між цими векторами тупий,— куту 180° – φ.
Знайдемо координати точки М: М = М (0; -1; 1).
Тоді (-4; 0; -3),
(-3; -4; 0);
cos φ ==
=
. φ = arccos
— гострий кут. Отже, кут між стороною АС та медіаною ВМ дорівнює arccos
. Відповідь. arccos
.
3. Обчисліть площу паралелограма, побудованого на векторах (3; 0; -4) і
(0; 5; 0).
Нехай паралелограм ABCD побудований на векторах AB і AD (рис. 302). Площа паралелограма дорівнює добутку суміжних сторін на синус кута між ними: S =
·
· sin φ.
=
= 5;
=
= 5;
cos φ = =
= 0 .
Оскільки cos φ = 0 , то φ = 90° . Тоді sin φ = 1 і S = 5 · 5 · 1 = 25.
Відповідь. 25.
4. Задача № 58* із підручника (с. 58).
5. Задача № 61* із підручника (с. 59).
6. Задача № 62* із підручника (с. 59).
Розв'язати задачі № 57*, 60 (с. 58—59) та підготуватися до тематичної атестації № 6.
У ході фронтальної бесіди з'ясувати алгоритм застосування векторів до розв'язування задач.