КВАДРАТНІ   РІВНЯННЯ   З  ПАРАМЕТРОМ

   Майже вся теорія квадратного тричлена, а також розв’язання багатьох задач, пов’язаних з ним, базується на прийомі, що називається «виділенням повного квадрата». Застосовуючи цей прийом до квадратного тричлена  , приходимо до рівності:

 Вираз  D= b² - 4ас  називають дискримінантом.

Квадратне рівняння може мати два корені (D>0), один корінь (D=0) або не мати коренів (D<0). Корені квадратного рівняння  х₁ і х₂ дорівнюють:

;

.

 Правда, нумерація коренів умовна. Зазвичай намагаються занумерувати їх у порядку зростання, але це не обов’язково. Також деякі термінологічні проблеми виникають у випадку D=0, тож зауважимо, що вирази  «квадратне рівняння має один розв’язок» і «квадратне рівняння з рівними коренями» означають одне і те ж.

 Якщо другий коефіцієнт квадратного рівняння  - парне число, тобто b = 2k,

то при розв’язуванні квадратного рівняння можна користуватися формулою: , де , .

 До азбуки квадратного тричлена відноситься також і теорема Вієта. Для того, щоб х₁ і х₂  рівняння  ах² + bх + с = 0 , необхідно і достатньо, щоб виконувались рівності:

.

      Звернемо увагу на те, що тут сформульовано два твердження – пряме та обернене. Часто обмежуються одним прямим твердженням.

 Зауваження. Важливо звертати увагу учнів на випадки, коли коефіцієнт при х²  дорівнює нулю, і розглядати їх у першу чергу, що допоможе учням уникати поширеної помилки: взагалі не розглядати таких випадків.

Рівняння з вимогою

«розв’язати для всіх значень  параметра»

 Розв’язання рівнянь такого типу слід з питання «А чи є воно квадратним?». Далі можна скористатись схемою.

Приклад 1. Розв’язати рівняння    ax² – 2x + 4 = 0.

Розв’язання

Якщо a = 0, то x = 2.  

Якщо  а ≠ 0, то рівняння є квадратним.

D = 4 – 16a.

Якщо  D < 0, тобто a >0,25, рівняння розв’язків не має.

Якщо D = 0, тобто a = 0,25,  то x = 4.

Якщо  D > 0, тобто a < 0,25 , то рівняння має два кореня

x_1,2 = .

Приклад 2.  Розв’язати рівняння  x² 2x a 0.

Розв’язання

Рівняння квадратне, тому розв’язки залежатимуть від дискримінанта:

D 1a .

Якщо  а > 1, то D 0,  то коренів немає.

Якщо  а = 1, то D 0, то отримаємо один корінь  х = 1.

Якщо  а < 1, то D 0 , то рівняння має два різних дійсних кореня   x_1,2 11a .

Відповідь. Якщо  а > 1, то розв’язків немає;

Якщо  а = 1, то  х = 1; якщо а < 1, то  x_1,2 11a .

Приклад 3.  Розв’язати рівняння: (+1)х²+2х+ −2=0.

Розв’язання

1) Якщо +1= 0 тобто = -1, то задане рівняння буде мати вигляд:     -2х – 3 = 0, тобто х =-

2) Якщо +1≠0 ( ≠ -1), то одержимо квадратне рівняння, дискримінант якого D=4(+2). Тому розглянемо три випадки:

1. якщо D=0, тобто 4(+2) = 0, то = -2 i х = -2;
2. якщо D<0, тобто 4(+2) < 0 ( < -2), то коренів немає;
3.  якщо D>0: 4(+2) > 0; > -2 і ≠ -1, тобто   -2 << -1  і > -1, то квадратне рівняння має два різні корені:

х₁=;      х₂=.

Відповідь.  Якщо =-1, то х=-; якщо ≠-1 і ≥-2, то х=.

Приклад 4. Розв’язати рівняння 3(2а – 1)х² – 2(а + 1)х + 1 = 0 .

Розв’язання

Якщо а = ,  дане рівняння перетворюється в лінійне рівняння:

0·х² – 2( + 1)х + 1 = 0;

−3х + 1 = 0;

 х = .

Якщо а ≠ , то дане рівняння є квадратним. Знайдемо дискримінант:

= (а + 1)² – 3(2а + 1) = а² + 2а +1 – 6а +3 = а² −4а +4 =

= (а – 2)² ≥ 0 .

= 0, якщо а = 2. Тоді рівняння набирає вигляду:

9х² – 6х + 1 = 0;          (3х – 1)² = 0;          х = .

> 0, якщо а ≠ 2. Тоді рівняння  два корені:

х₁ =      і        х₂ = .

Відповідь. Якщо а = , а = 2,   то  х = ;

 якщо  а ≠ ,    а ≠ 2,    то  х₁ = ,   х₂ = .

Приклад 5.  Розв’язати рівняння

  .

Розв’язання

Якщо а = 2,  дане рівняння перетворюється в лінійне,  .

Якщо а ≠ 2, то дане рівняння – квадратне.

D =

      Розв’язуючи нерівність , знаходимо ті значення а, за яких набувають дійсних значень:  \,   то
 

Відповідь. Якщо а = 2,   то  х =;

якщо

Приклад 6.   Розв’язати рівняння .

Розв’язання

 Перенесемо всі доданки із правої частини рівняння в ліву з протилежним знаком і зведемо  коефіцієнти при однакових степенях х:

.

Застосуємо формулу перетворення різниці квадратів у добуток і винесемо спільний множник  (а+1) за дужки : .

 Якщо параметр то рівняння зводиться до тотожності 0=0. Отже, його розв’язками є всі дійсні числа. Нехай , тоді  .Поділивши обидві частини рівняння на (а+1), отримаємо . В залежності від значень параметра а одержимо рівняння різного виду.

 Якщо а=1, то рівняння стає лінійним. Якщо , то рівняння буде квадратним.

 Обчислимо дискримінант рівняння:

.

0  при .  Тоді х₁ = х₂ = = 2.

0  при .  Тоді х_1,2 =

Відповідь. Якщо а = −1,   то  х

Якщо а = 1,   то  х = 1.

Якщо ,  то   х₁ = х₂ = 2.

Якщо то  х_1,2 =

Якщо ,  то рівняння розв’язків не має.

Існування коренів  (коренів певних знаків)

 Розглянемо завдання на співвідношення між коренями квадратного рівняння з параметрами. Їх можна розв’язувати користуючись схемою. Але деколи зручніше не виписувати значення коренів через дискримінант, а використовуючи теорему Вієта.

Приклад 7.   Знайдіть всі значення параметра  а, при яких рівнянння 3x² 2(a 3)x a² 2a 0 має корені різних знаків.

Розв’язання

Якщо  корені x₁ і x₂ – корені рівняння, то x₁ · x₂ 0 .

За теоремою Вієта маємо: < 0, звідки        

Відповідь.  (− – 2)   (0; +.

Приклад 8.   Довести, що при будь-якому значенні а рівняння має розв’язок.

Розв’язання

  Можна, звичайно, спробувати знайти дискримінант і довести, що він додатний. Але не будемо поспішати. Позначимо ліву частину даного рівняння як f(x). Відразу зрозуміло, що при будь-якому значенні  а. Твердження задачі буде доведено, якщо ми знайдемо х₁, для якого . Спробуємо . (Вибір такого значення є зрозумілим,  оскільки у цьому випадку зникають члени з ) при будь-якому значенні а. Тепер легко можна зробити висновок, що рівняння завжди матиме розв’язок. Більше того, якщо , тобто і , дане рівняння матиме два корені; при цьому завжди є корінь, який задовольняє нерівність  .

Приклад 9.   Знайти значення параметра а, при якому  рівняння має лише один корінь.

Розв’язання

     Якщо  а = 2, то рівняння – лінійне  (4 − 4)∙х + 3 = 0, що немає коренів.

     Якщо а ≠ 2, то рівняння квадратне і має один корінь лише тоді, коли D = 0.

.

D = 0 при а₁ = 2 и a₂ = 5.  Значення  а = 2 не задовольняє умову задачі.

Відповідь.  а = 5.

Рівняння з умовами щодо  коренів

Нехай і – корені рівняння  = 0,

де; , , ; – абсциса вершини параболи    .

Тоді мають місце такі твердження:

•    , якщо виконуються умови:  
•    , якщо виконуються умови:   

• , якщо виконуються умови:  
• , якщо виконуються умови:   

• , якщо виконуються умова .

• , якщо виконуються умови:  

• , ,  якщо виконуються умови:  

• , ,  якщо виконуються умови:  

• , ,  якщо виконуються умови:  

Приклад 10.  При яких значеннях а один з коренів рівняння

дорівнює квадрату іншого?

Розв’язання

 Для визначення шуканих значень а складемо систему, в якій два перші рівняння описують теорему Вієта для даного квадратного рівняння , , а третє співвідношення містить умову, яка накладається на його корені:.

У даному випадку для визначення та зручно вибрати друге і третє рівняння системи:

  тобто

Підставляючи знайдені вирази в перше рівняння системи, одержимо:    ,  ,

Відповідь. а= −1,     або    а=3.

Приклад 11.  При яких значеннях параметра а корені рівняння

більші 1?                                                

Розв’язання

Очевидно, що задача рівносильна наступній: при яких значеннях параметра а корені квадратного тричлена

  більші 1.

 Перехід від одного формулювання задачі до іншого, підкреслює загальну ідею, що пов’язана з описом тих чи інших властивостей квадратного тричлена в їх геометричній інтерпретації на графіку.

Для того, щоб корені квадратного тричлена були більші числа , необхідно і достатньо виконання умов:

 При а=0 рівняння має корінь х = −1,  який не задовольняє умову задачі.

Розглянемо випадок . При таких а умови запишуться у вигляді    .

Розв’язуючи цю систему, знаходимо, що  . Очевидно, що цей же результат ми отримали б і розв’язуючи  нерівність  ,   де − менший корінь рівняння.

Відповідь. .

Приклад 12.  При яких значеннях параметра а один із коренів рівняння  тричлена (а² − + (а² + а – 1) – а³ + а = 0   більший,  ніж число а, а другий менший а?

Розв’язання

 Задача рівносильна наступній: при яких значеннях параметра а корені квадратного тричлена  у(х) = (а² − + (а² + а – 1) – а³ + а = 0   лежать на дійсній осі по різні сторони від точки х = а?

 Для розв’язування цієї задачі скористаємося тим загальним фактом, що для того щоб корені квадратного тричлена  лежали на дійсній осі по різні сторони від числа , необхідно і достатньо виконання умови  .

 У нашому випадку ця умова набуває  вигляду (а² − < 0.

Тобто, вимогу задачі задовольняють розв’язки нерівності

(а² −( а² −2) а² + (а²− а −1)а – а³ + а) < 0, де   (а² − ≠ 0

 (а = ± не задовольняють умову задачі).

 Розв’язуючи отриману нерівність, знаходимо, що а

Варто сказати, що розв’язувати  цю задачу іншим способом, розглядаючи нерівності   і  ,  досить складно.

Відповідь. а

Приклад 13.  При яких значеннях параметра а корені   та рівняння (3а + + (а – 1) + 4а +3 = 0 задовольняють умовам       < − 1  <  < 1?      

Розв’язання

 Задача рівносильна наступній: при яких значеннях параметра а тільки один, а саме – більший корінь квадратного тричлена

f(x) = (3а + + (а – 1+ 4а +3 , де 3а + належить інтервалу  (-1; 1), а другий – менший   -1.

Вимоги в даній задачі виконуються тільки з-за умов:

.

Таким чином ми приходимо до системи:

Розв’язуючи цю систему, приходимо до висновку, що

а.

Відповідь.   а

Приклад 14.  При яких значеннях параметра а корені рівняння = 0 мають різні знаки і обидва по модулю менші 4?

Розв’язання

 Нехай . Тоді вимоги задачі виконуються, якщо сумісна система

, яку запишемо у вигляді і якій задовольняють всі а.

Відповідь.  а

Приклад 15.  При яких значеннях параметра а квадратний тричлен  (k – 1)х²  + (k + 4)х +  k + 7  можна представити у вигляді повного квадрата?

Розвязання

    Квадратний тричлен  ax² + bx + c можна представити у вигляді   a(х –x₀ )², якщо його корені рівні  х₁ = х₂ = x₀ . Тобто коли D = 0.  В даному випадку D  = (k +4)² −4(k − 1)( k + 7) = 0.

Розв’язавши  останнє рівняння,  отримуємо k = - і k = 2.

Відповідь.   k = - і k = 2.

Приклад 16.  Знайти всі значення параметра , при кожному з яких корені рівняння належать інтервалу .

Розв’язання

 Нехай .  ,

Якщо , то .

Якщо , то задача рівносильна виконанню умов:

Відповідь.   .

Приклад 17.  Знайти всі значення параметра , при кожному з яких лише один корінь рівняння належать інтервалу .

Розв’язання

Рівняння квадратне.

9.

Корені х = а – 1  і  х = а + 2.

1< а  − 1 < 5,

2< а  < 6.

1< а  + 2 < 5,

−1 < а  < 3.

Бачимо, що рівно один корінь належить інтервалу при −1 < а  ≤2   або   3 ≤ а  < 6.

Відповідь: .

Приклад 18.  Знайти всі значення параметра , при кожному з яких корені рівняння   має корені різних знаків і модуль додатного кореня більший, ніж модуль від’ємного.

Розв’язання

 Корені цього квадратного рівняння задовольняє умову тоді і тільки тоді, коли їх добуток буде від’ємним числом, а сума – додатним. За теоремою Вієта отримаємо систему:

Відповідь. .

Приклад 19.  Знайти всі значення параметра , при кожному з яких корені рівняння   більші 3.

Розв’язання

 І спосіб. D 2a 2 ; x₁ 3a  , x₂ 3a  .

Щоб корені були більші 3 ( 3 ≤ x₁ ≤x₂), досить розв’язати тільки одну нерівність: 3a −3,   відокремивши радикал, отримаємо нерівність 3a 3,  яка рівносильна системі:

ІІ спосіб. Розглянемо функцію: f (x) x² 2ax 9a² 2a 2.

Її корені більші 3, якщо виконується система:

Відповідь. .

Взаємне  розташування коренів двох квадратних рівнянь

     З’ясуємо питання про взаємне розташування коренів двох квадратних рівнянь.

      Нехай рівняння має корені , а рівняння   має корені  , при чому  . У цьому випадку кажуть, що корені рівняння перемежовуються.

      На рисунку  показане взаємне розташування графіків цих функцій. Графіки мають єдину точку перетину з абсцисою .

                                            Очевидно, що , звідки  . (Відмітимо, що при   графіки співпадають або не перетинаються.) Нехай  , тоді  , або , звідки 

.                (*)                                  

  Приклад 20. При яких значеннях параметра корені рівнянь  та  перемежовуються ?

Розв’язання

У даному випадку

З нерівності (*) одержуємо, що

 ,

або звідки

Відповідь. 

Приклад 21.   Знайти всі значення параметра , при кожному з яких рівняння  (1 – 2а)х² – 6ах – 1 = 0 і  ах² – х + 1 = 0 мають хоча б один спільний корінь.

Розв’язання

При а ≠ 0 и 1 – 2а ≠ 0 запишемо умову (*) для цих рівнянь:

( + )²  = (− + ) (− − ).

Спростивши рівняння, отримаємо:

 (1− а)² = -  (6а² + 2а – 1)( 6а + 1). Розкриємо дужки та перенесемо всі доданки в одну частину, винесемо а за дужки:

а( 36а² + 19а – 6) = 0.

 За умовою  а ≠ 0, тому тільки

36а²+ 19а – 6 = 0,

 а₁ =   і а₂ =   .

Підставимо значення а в друге рівняння ах² – х + 1 = 0.

Отримаємо

   х² – х + 1 = 0,  D отже  а =  не задовольняє умову.

х² – х + 1 = 0.   D ≠ 0.

Відповідь.   а = .

Рівняння, що містять модуль

Приклад 22.  При якому значенні параметра р  рівняння

 | х² – 5х + 6 | + | х² – 5х + 4 | = р  має рівно чотири корені?

Розв’язання

Розглянемо функцію   у = | х² – 5х + 6 | + | х² – 5х + 4 |

Так як х² – 5х + 6 = (х – 2)(х – 3)  і  х² – 5х + 4 = (х – 1)(х – 4), то

 y = | (х – 2)(х – 3) | + | (х – 1)(х – 4) |.

Розв’яжемо рівняння на кожному із п’яти проміжків, на які розбивають числову вісь корені квадратних тричленів:

1. x < 1

y = x² – 5x + 6 + x² – 5x + 4,

y = 2x² – 10x + 10,

y = x² – 5x + 5  − парабола.

2. 1 < x < 2

y  = x² – 5x + 6 –  x² + 5x – 4,

y = 2 – пряма.

3. 2 < x < 3

y = – x² + 5x – 6 –  x² + 5x – 4,

y = – 2x² + 10x – 10,

y = – x² + 5x – 5 – парабола.

4. 3 < x < 4

y = x² – 5x + 6 – x² + 5x – 4,

y = 2 – пряма.

5. x > 4

y= x² – 5x + 6 + x² –5x + 4,

y = x² – 5x + 5 – парабола.

Побудувавши на кожному із проміжків відповідні графіки, отримаємо:

х

Отже, рівняння має чотири корені за умови    2 < а < 2,5.

Відповідь. а .

Приклад 23. При якому найбільшому цілому значенні параметра рівняння   має рівно чотири корені?

Розв’язання

Початкове рівняння матиме 4 корені, якщо рівняння матиме корені, і обидва вони будуть додатними. рівняння матиме корені за умови , звідки .

За теоремою Вієта      ,  .

Отже, для того щоб обидва корені були додатними, необхідно щоб було додатним.

Маємо: , тому найбільшим цілим значенням буде 6.

Відповідь. 6.

Приклад 24.  Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння  2х² + (2а–10)|x| +a² – 10 a +16 = 0 має два розв'язки.

Розв'язання

 Перша ідея – виділити повний квадрат відносно параметра а:

Наступна ідея не настільки очевидна, але абсолютно типова – виділити повний квадрат щодо модуля х. Тоді не буде необхідності в розкритті модульних дужок.

 Першу частину розв'язання виконано. Ми прийшли до того, що ліва частина рівняння залежить від параметра, а права не залежить. Далі має бути  дослідження кількості точок перетину графіків рівнянь:

Перетворимо друге рівняння:

Друге рівняння описує коло із центром на початку координат і радіусом рівним 3. Це коло не залежить від параметра й не змінює свого положення в процесі дослідження. Більш цікавим  є графік першого рівняння, точніше  множина графіків. Параметр а надає цьому рівнянню динамічність переміщення щодо координатних осей і зміну форми графіка від прямого кута до ламаної лінії із прямими кутами. А саме, при  а – 5 ≥ 0  графік першого рівняння має вигляд:

При  а – 5 < 0  графік перетвориться на ламану лінію:

Досліджуємо графічно розв'язок системи: Тоді система й вихідне рівняння мають два розв'язки.

Тепер досліджуємо цю же систему при  a – 5 < 0. У цьому випадку два розв'язки можливі коли: -3 < a – 5 < 0, тобто для значень параметра в межах 2 < a < 5.

Графічно ці розв'язки отримуються у такий спосіб:

При a – 5 = −3 тобто при a = 2 рівняння має три корені.      При    a < 2 рівняння має чотири розв'язки доти, доки графіки кола й ламаної мають чотири спільні точки. Але настане момент, коли відповідні січні стануть дотичними, і тоді рівняння знову буде мати тільки два розв'язки:

У  цьому випадку: АВ = 6,  ОВ = 3,  В(0;- 3),  а - 5 = -3√2,

 а = 5 - 3. Поєднуючи всі отримані розв'язки, маємо:

a (2;8,)  a =5 – 3.

Відповідь.  a (2;8),  a =5 – 3.

Приклад 25.  Вказати всі значення параметра а , при яких рівняння   ׀х² +3ах= −3а  має лише два розв’язки.

Розв’язання

 Перш за все відмітимо, що рівняння  ׀х² +3ах= −3а  може мати розв’язки тільки при а < 0 (а Графік y₁= ׀х² +3ах  отримаємо з параболи y = х² +3ах    відображенням від’ємної частини симетрично осі Ох. Корені цієї параболи х₁ = 0 та х₂ = −3а , а  вершина знаходиться в точці і

Графіком є пряма, паралельна осі Ох.

З малюнка слідує, що графіки даних функцій мають дві спільні точки при умові, що

Відповідь.

Приклад 26.  Вказати всі значення параметра a, при яких рівняння ((|x - 8| + |x - a|)²) - 7a(|x - 8| + |x - a|) + 10a² + 6a - 4 = 0

має лише два розв’язки.

Розв’язання

Замітимо, що маємо квадратне рівняння відносно t,

де t = |x − 8| + |x − a|. 

Перепишемо рівняння так, що застосувати теорему Вієта:

t² − 7at + 10a² + 6a - 4 = 0,
t² − 7at + 2(5a² + 3a - 2) = 0,
t² − 7at + 2(a + 1)(5a - 2) = 0,
t² − 7at + (2a + 2)(5a - 2) = 0.
Отже, корені цього рівняння:  (2a + 2) и (5a − 2).

Отримаємо: |x − 8| + |x − a| = 2a + 2 або

 |x − 8| + |x − a| = 5a − 2.

 Розглянемо  функцію  f(x) = |x − 8| + |x − a|.

Точки 8 і а ділять числову вісь на три області. Побудуємо відповідні графіки на кожному з цих проміжків.

   При такому розташуванні прямі перетинатимуть графік лише у двох точках, при інших положеннях прямих, можливі й інші варіанти. Щоб знайти точки перетину, можна розв’язати дві системи строгих нерівностей або нерівність

( |x − 8| − (2a + 2))( |x − 8| − (5a − 2))< 0.

Скориставшись  методом інтервалів, отримуємо: a=    і

 a .

Відповідь.  a =    і  a .

Література

1. Мудрякова Н.Н. Урок–лекция «Уравнения и неравенства с параметром» [Электронный ресурс] // Режим доступа: http://festival.1september.ru/articles/531229/
2. Ромашко В. Д. Решение уравнений и неравенств с параметрами / В. Д. Ромашко [Электронный ресурс] // Режим доступа: http://parametry.narod.ru/reshenie2.html

3.      Фалилеева М.В. Методические аспекты обучения решению уравнений и неравенств с параметрами [Электронный ресурс] / М. В. Фалилеева // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 4 (часть 5) – С. 1230-1235 Режим доступа: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=31396

4. Прус А.В., Швець В.О. Задачі з параметрами в шкільному курсі математики. Навчально-методичний посібник. - Житомир: Вид-во «Рута», 2016. 468 с.