Лінії на площині та їх рівняння. Пряма лінія на площині. Різні види рівнянь прямої. Кут між двома прямими. Відстань від точки до прямої

Практичне заняття

«Лінії на площині та їх рівняння. Пряма лінія на площині. Різні види рівнянь прямої. Кут між двома прямими. Відстань від точки до прямої»

Задача 1. Скласти рівняння лінії, сума квадратів відстаней кожної точки якої до точок A1;0) і B1;0) дорівнює 4.

Розв’язання. Нехай точка M (x; y) лежить на лінії, тоді за умовою

 . Оскільки + , + , то + + звідки після спрощень дістаємо шукане рівняння .

Задача 2. Скласти рівняння лінії, кожна точка якої розміщена від точки   A(1; 2) в два рази дальше, ніж від точки B-2; 0).

Розв’язання. Позначимо змінну точку лінії через M (x; y) тоді за умовою AM BM  2 , тобто

Перетворюючи це рівняння, отримаємо

Задача 3. Знайти кут між прямими 3х-4у+1=0 і 5х-12у+3=0.

Розв’язання. За формулою   маємо

.

Задача 4. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку (-8; 1) паралельно до прямої 2х – у +7 =0.

Розв’язання. Приведемо задане рівняння до вигляду: у = 2х – 7, отже, кутовий коефіцієнт прямої k = 2.

Оскільки шукана і задана прямі паралельні, то їхні кутові коефіцієнти рівні між собою, тому, отримаємо у – 1 = 2 (х+8) або у – 2х- 17 = 0.

Задача 5. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку перпендикулярно до прямої 4х+2у-5=0.

Розв’язання. Приведемо задане рівняння до вигляду

y=kx + b; . Отже, кутовий коефіцієнт заданої прямої k  2. Оскільки шукана і задана прямі перпендикулярні, то кутовий коефіцієнт шуканої прямої знаходимо з умови перпендикулярності прямих: , тобто: .

Рівняння шуканої прямої запишемо у вигляді: , тобто .

Задача 6. Медіани BM і CN (рис. 1) трикутника ABC лежать на прямих        x + y   3 і 2x+3y1 , а точка A1;1) – вершина трикутника. Скласти рівняння прямої BC .

Рис.1

Розв’язання. Розв’язуючи систему рівнянь знаходимо точку перетину медіан: O (8;-5). З відношення і форму для знаходження координат точки поділу відрізка у відношенні  одержимо координати точки P :. Оскільки точки B і C лежать на заданих прямих, то їхні координати задовольняють задані рівняння. Точка Р ділить відрізок ВС навпіл, отже, маємо систему рівнянь

,

звідки=11,   Пряма BC проходить через точки і     C11; -7), тому за формулою дістанемо   або                2х+у-15=0.

Задача 7. Знайти точку Q , яка симетрична до точки P (-2;4) відносно прямої, що проходить через    .

Розв’язання. Симетричні точки P і Q лежать на перпендикулярі до прямої на однаковій відстані від неї.

Складемо рівняння прямої у вигляді: тобто 3х+у-8=0.

Кутовий коефіцієнт прямої Кутовий коефіцієнт перпендикулярної до неї прямої Рівняння перпендикуляра знайдемо за формулою: .

Знайдемо тепер точку N перетину прямої з перпендикуляром, розв’язуючи систему рівнянь: Отримаємо х=1, у=5, тобто          N (1; 5).

Точка N є серединою відрізка PQ. Координати точок N, P,  Q  зв’язані формулами:

тобто Q(4; 6).

Задача 8. Знайти площу квадрата, дві сторони якого лежать на прямих  

Розв’язання. Оскільки задані прямі паралельні, то довжину d сторони квадрата можна знайти як відстань від довільної точки однієї прямої до другої прямої.

Знайдемо яку-небудь точку на першій прямій. Нехай, наприклад, х=1, тоді 4  1 3у 10  0 , звідки y  2. Отже, точка належить першій прямій.

За формулою знайдемо відстань від точки до другої прямої:

.

Площа квадрата .

Задача 9. Дано трикутник з вершинами A ( 3;0 ), B (3; -2), C 1;4 . Знайти довжину перпендикуляра опущеного з вершини C на медіану, проведену з вершини B .

Розв’язання. Точка D перетину медіани зі стороною AC ділить відрізок AC навпіл. Тому.

Складемо рівняння медіани BD як прямої, що проходить через точки        B3; -2  і D (-1; 2): . Отримаємо х+у-1=0. Довжина перпендикуляра, опущеного з точки C на медіану, дорівнює відстані від точки С (1; 4) до прямої х+у-1=0, тобто .

Задачі для самостійного розв’язання.

1. Знайти відстань від точки A(1;4) до прямої, що проходить через точки
2. Знайти відстань від точки A(-3;4) до прямої, що проходить через точки
3. Знайти відстань між прямими 2x  3y  7  0, 4x  6y 12  0.
4. Знайти відстань між прямими 4x  3y 10  0, 8x  6y 15  0.
5. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку A(3;1)  паралельно бісектрисі координатного кута першої чверті.
6. Написати рівняння прямої, що проходить через точки A( 1;3) та B4;5.
7. Скласти рівняння прямої d , яка проходить через початок координат і утворює кут з прямою y  2x  5.