Лінійний кут двогранного кута. Кут між площинами.

10 клас

Мозковий штурм Що називають перпендикуляром до площини? Що називають похилою до площини? Що називають проекцією похилої на площину? Сформулюйте означення кута між прямою і площиною Сформулюйте означення прямої, перпендикулярної до площини. Сформулюйте теорему про три перпендикуляри. Що називають кутом між площинами? Які площини називають перпендикулярними? Назвіть одиниці вимірювання кутів.

В деяких країнах, наприклад в Англіі, кути вимірюють в градах. Градова міра отримана шляхом поділу прямого кута на 100 рівних частин або град. Один град (1q) має 100 градових мінут (сантиград – 100с), а 1 градова мінута – 100 градових секунд (санти-сантиград – 100сс). Для допитливих

Пряма a – ребро двогранного кута а Двогранним кутом називається фігура, утворена двома пів площинами із спільною прямою, що їх обмежує. Півплощини називають гранями, а пряму, що їх обмежує, – ребром двогранного кута.

Всі лінійні кути двогранного кута рівні. Градусною мірою двогранного кута називають градусну міру його лінійного кута. Лінійний кут двогранного кута – це кут, утворений двома пів прямими, по яких площина, перпендикулярна до ребра двогранного кута, перетинає даний двогранний кут.

Кутом між площинами, які перетинаються, називається кут між прямими, проведеними в цих площинах зі спільної точки перпендикулярно до лінії їх перетину.

Властивості лінійних кутів двогранного кута: Міра двогранного кута не залежить від вибору лінійного кута. 2. За міру двогранного кута приймають міру відповідного йому лінійного кута. 3. З двох двогранних кутів уважають більшим той, лінійний кут якого більший. 4. Міра двогранного кута знаходиться в межах від 0° до 180°. 5. Вертикальні двогранні кути рівні. 6. Двогранні кути з відповідно паралельними й однаково (протилежно) направленими гранями рівні. 7. Усі прямі двогранні кути рівні. 8. Бісектриса кожного лінійного кута належить бісектрисі заданого двогранного кута. 9. Бісектриса двогранного кута є геометричним місцем точок, що лежать усередині цього кута й рівновіддалені від площин його граней.

Способи побудови лінійного кута двогранного кута: На ребрі кута позначаємо точку; через неї в гранях кута проводимо дві пів прямі, перпендикулярні до ребра кута. Кут, утворений цими пів прямими, – лінійний кут поданого двогранного кута; На одній із граней кута позначаємо точку і через неї проводимо перпендикуляри до площини іншої грані та до ребра кута. Тоді одержаний кут (або суміжний з ним) є лінійним кутом двогранного кута. Зауваження. Цей спосіб неприйнятний у випадку, якщо двогранний кут прямий. 1 2

Пригадаємо

Теорема косинусів Пригадаємо

Кут ABC — лiнiйний кут двогранного кута з ребром n. Яке взаємне розміщення прямої n i площини ABC? n A B C n ┴(АВC)

Прямокутник ABCD i квадрат KMCD мають спiльну сторону i лежать у рiзних площинах. Назвiть: 1) лiнiйний кут двогранного кута мiж площинами квадрата i прямокутника; 2) ребро цього двогранного кута. А В С D К М АDК, ВСМ 2) DС 1)

  ABCD і CMKE– ромби, що не лежать в одній площині. Причому BD ||ME. Побудувати лінійний кут двогранного кута, визначеного площинами цих ромбів. Побудову обґрунтувати. В С А D М К Е Так як у ромба діагоналі взаємно- перпендикулярні, то ˪АСК – шуканий лінійний кут двогранного кута.

Дано: ˪(ᾀ,ꞵ) - двогранний кут, MN-ребро (див. рисунок); Aєꞵ, АВ ┴ МN, АС ┴ᾀ. Знайти: ˪ABC — лiнiйний кут двогранного кута? Вид ΔABC. ꞵ ᾀ 1.Якщо АС ┴ᾀ, то АС-перпендикуляр, АВ - похила, СВ - проекція. Розв'язання 2. За умовою АВ ┴ МN. Отже за т.про три перпендикуляри ВС ┴ МN. Отже за означенням ˪ABC — лiнiйний кут двогранного кута. 3. АС ┴ᾀ АС ┴ ВС, отже ΔABC- прямокутний.

2) ABCD—квадрат, пряма PD перпендикулярна до площини ABC. Назвiть кути мiж площинами: а) PBC i ABC; б)PCD i ABC; в) PAD i PCD; г)PAD i PBC. Дано:ABCD—квадрат, PD ┴(ABC). Знайти: кути мiж площинами: а) PBC i ABC; б)PCD i ABC; в) PAD i PCD Разв’язання а) PBC i ABC CB-ребро дв-го кута б)PCD i ABC, CD- ребро дв-го кута в) PAD i PCD, PD-ребро дв-го кута DC┴CB PC┴CB PCD PDA ADC РD┴DC АD┴DC АD┴РD СD┴РD

Розв'язання ˪ АВС – шуканий кут. У ΔАВС відомі дві сторони і кут, що лежить напроти однієї з них. 6

Розв’язок: Нехай сторона АВ трикутника АВС лежить _____ , а вершина С ____ . Опустимо з точки С перпендикуляр ____ на ___ . AD – проекція ____ на _____ ; ВD - ____ , отже, за умовою ˪ADВ = ___ , а ˪СAD = ____ , і ˪СВD = ___ - це кути ________ . Ребром шуканого кута є ___ .

Питання для самоперевірки: 1. Що називають ребром двогранного кута? 2. Чи залежить від вибору лінійного кута міра двогранного кута? 3. Що буде геометричним місцем точок, що лежать усередині двогранного кута й рівновіддалені від площин його граней? 4. Як називають півплощини, які утворюють двогранний кут? 5. Що можна сказати про усі прямі двогранні кути? 6. Що приймають за міру двогранного кута? 7. В яких межах знаходиться міра двогранного кута? 8. Що ви знаєте про вертикальні двогранні кути?

1. Пряму, що обмежує його грані. 2. Ні. 3. Бісектриса двогранного кута. 4. Гранями. 5. Вони рівні. 6. Міру відповідного йому лінійного кута. 7. Від 0° до 180°. 8. Вони рівні. Відповіді

Диференційована самостійна робота З точки О (точка перетину діагоналей квадрата) проведено перпендикуляр ОМ до площини квадрата так, що МА = МВ = МС = МD = АВ. Рівень Завдання І варіант ІІ варіант ІІІ варіант ІVваріант Початковий Побудувати кут між площинами   АВМ і АВС   ВСМ і АВС   СDМ і АВС   АDМ і АВС Середній Обчислити його величину Достатній Побудувати кут між площинами та обчислити його величину АВМ і ВСМ ВСМ і СDМ СDМ і АВМ АDМ і ВСМ

Рефлексія: На уроці найважливішим відкриттям для мене було… Мені сподобався ( не сподобався) результат моєї роботи на уроці, тому що… Сьогодні на уроці я навчився (згадав)… Найбільше на уроці мені запам’яталось те, що… Мої враження після уроку такі…