«Перпендикулярність прямих і площин у просторі»

10 клас. Систематизація і узагальнення знань з теми «Перпендикулярність прямих і площин у просторі»

Інтерактивна гра: «Закінчи речення»Довжина перпендикуляра, опущеного з даної точки на площину – це відстань…2. Фігура, утворена двома півплощинами із спільною прямою, що їх обмежує називається…3. Відстань від довільної точки однієї площини до другої площини - це відстань…4. Довжина перпендикуляра, опущеного з будь-якої точки прямої на площину – це відстань…від точки до площинидвогранним кутомміж паралельними площинамивід прямої до паралельної їй площини

7. Кут, утворений двома півпрямими, по яких площина, перпендикулярна до ребра двогранного кута, перетинає даний двограннийкут називається... 8. Міра кута між прямою і площиною знаходиться в межах… 6. Відстань між мимобіжними прямими дорівнює довжині…5. Міра двогранного кута знаходиться в межах… від 0° до 180°їхнього спільного перпендикуляралінійним кутом двогранного кутавід 0° до 90°

Задача 1. (за зразком)Разом. Пряма CD утворює з площиною α кут 30°. Знайти похилу, якщо її проекція дорівнює 8𝟑см.  О DαСРозв’язок За означенням 𝒄𝒐𝒔∠𝑫=𝑶𝑫𝑪𝑫CD =𝑶𝑫𝒄𝒐𝒔∠𝑫𝒄𝒐𝒔∠𝑫=𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎° =𝟑𝟐 CD = 𝟖𝟑𝟑𝟐 = 8𝟑 * 𝟐𝟑 = 16 Відповідь: CD= 16 см.

Пряма CD утворює з площиною α кут 45°. Знайти довжину перпендикуляра, опущеного з точки C на площину α, якщо довжина похилоїCD дорівнює 10𝟐см. Задача 2. Самостійно. О DαСРозв’язок 1) За означенням 𝒔𝒊𝒏∠𝑫= 2) CO = ----* 𝒔𝒊𝒏∠𝑫 3) 𝒔𝒊𝒏∠𝑫=𝒔𝒊𝒏__° = 4) CO = ___*___ = ___ Відповідь: CO= ___ см.

Пряма CD утворює з площиною α кут 45°. Знайти довжину перпендикуляра, опущеного з точки C на площину α, якщо довжина похилоїCD дорівнює 10𝟐см. Задача 2. Перевіряємо О DαСРозв’язок 1) За означенням 𝒔𝒊𝒏∠𝑫=𝐂𝐎𝑪𝑫 2) CO =C𝐃 * 𝒔𝒊𝒏∠𝑫 3) 𝒔𝒊𝒏∠𝑫=𝒔𝒊𝒏45°° =𝟐𝟐 4) CO = 10𝟐 * 𝟐𝟐 = 10  Відповідь: CO= 10 см.

Задача 3. До площини α проведено перпендикуляр АВ і похилу АС. Знайти довжи­ну проекції похилої, якщо АС = 10 см, АВ = 8 см. Обери правильну відповідь:а) 8 см; в) 6 см; б) 10 см; г) 2 см.

Задача 4. Дано: МО ⊥ α, МА і MB – похилі, МО = 5 см, МА = 𝟔𝟏см, MB = 13 см. Знайти: відношення проекцій похилих. Розв’язок1)Якщо МО ⊥ α, МА і MB – похилі, то ВО і АО – проекці похилих. 2) ΔМОВ і ΔМОА – прямокутні. З т. Піфагора: ВО𝟐 = МВ𝟐 - МО𝟐= 𝟏𝟑𝟐 - 𝟓𝟐= 𝟏𝟔𝟗 - 𝟐𝟓= 144(см) ВО =12 см. АО𝟐 = МА𝟐 - МО𝟐= (𝟔𝟏)𝟐 - 𝟓𝟐= 𝟔𝟏 - 𝟐𝟓= 36 АО = 6 см3) АО : ВО = 6 : 12 = 1 : 2 Відповідь: 1 : 2.

Задача 5. Точка А знаходиться на відстані 6 і 8 см від двох перпендикулярних площин. Знайдіть відстань від цієї точки до лінії пе­ретину площин. АВСОαꞵДано: α ⊥ꞵ, АВ ⊥ꞵ, АС⊥α, АС =6см, АВ = 8см. Знайти: АО.  Розв’язок. Розглянемо АВОС – це прямокутник, отже ОС = ВА =8см.2) ΔОАС – прямокутний. За т. Піфагора. АО𝟐 = ОС𝟐 + АС𝟐= 𝟖𝟐 + 𝟔𝟐= 64 +36 =100 АО = 10 см. Відповідь: 10см.

Задача 6. З вершини А прямокутного рівнобедреного трикутника АВС ( C = 90°) проведено перпендикуляр SA до площини трикутника АВС. SA= 4𝟑 см, AC =12 см. Знайдіть кут між площинами трикутників SBC і АВС. 1) SС – похила, AC – проекція SA – перпендикуляр, ВС ⊥ АС(за умовою). SС⊥ ВС(за т. про три перпендикуляри) Отже  SСA – шуканий кут між площинами ΔSBC і ΔАВС. 2) ΔSАС – прямокутний SС – гіпотенуза, АС та SА – катети.𝒕𝒈𝑪=SА𝑨𝑪=𝟒𝟑𝟏𝟐=𝟑𝟑  C = 30o. Відповідь: 30o. Розв’язок

Задача 7. Точка S віддалена від вершин квадрата зі стороною 𝟔 см на 2см. Чому дорівнює відстань від точки S до площини квадрата? АS ОB CDт. О – точка перетину діагоналей. Отже SО – відстань між точкою S і площиною квадрата. Розв’язокΔАDС – прямокутний. АС = АD𝟐 = 𝟔· 𝟐 = 𝟏𝟐 ΔSОС – прямокутний. З т. Піфагора = 2𝟑 ОС = 2𝟑𝟐 = 𝟑 (см) SО𝟐 = SС𝟐 - ОС𝟐=  𝟐𝟐 - 𝟑𝟐= 4 – 3 = 1 SО = 1 см. Відповідь: 1 см.

Задача 8. Точка S віддалена від усіх сторін правильноготрикутника на 𝟏𝟐 см, а від площини трикутника на 3 см. Чому дорівнює сторона три­кутника?  Самостійно виконати рисунок і розв'язати задачу.

Які теореми, означення, властивості повторили на уроці?Чи все було зрозуміло?Що було найскладнішим при виконанні завдань?Чи задоволені своєю роботою на уроці?Що треба ще вивчити вдома?