Математика у медицині (презентація)

Навчально — виховний комплекс“Інженерно-економічна школа - Львівський економічний ліцей“Науково–дослідницька робота на тему:“Математика у медицині”Львів — 2026 Виконали: учні 7 групи Тузяк Магдалена Шкробут Маркіян Якимів Марко Ференс Вероніка

Вступ: навіщо математика у медицині?Математика у медицині2 / 16 Дози, концентрації, розрахунки. Кожен рецепт — математична задача. Лікар рахує дозу за масою тіла, медсестра розраховує мл. зі шприца. Концентрація розчину, швидкість крапельниці, час між прийомами — це пропорції з 5–6 класу. Помилка на одну цифру = передозування або неефективне лікування. Математична точність у фармакології є критичною. Статистика. Чи дійсно нові ліки кращі, чи це просто збіг? Відповісти без статистики неможливо. Саме статистика довела: куріння підвищує ризик раку легень у 25 разів, вакцинація знижує захворюваність на кір майже до нуля. Середнє значення, відхилення, розподіл — інструменти кожного лікаря. Медична техніка. Кардіографи аналізують сигнали серця методом Фур'є. Томографи будують 3 D-модель тіла з тисяч зрізів через лінійну алгебру. Апарати ШВЛ керують диханням за допомогою диференційних рівнянь. Без математики жоден медичний прилад не існував би. Мета роботи. Мета: дослідити застосування математики в медицині та проілюструвати конкретними формулами й обчисленнями. У презентації :1. Формули основних показників здоров'я (ІМТ).2. Математика кровоносної системи.3. Статистика у медицині.4. Площа опіків і крoвовтрата. Метод: аналіз літератури, власні обчислення.

Індекс маси тіла (ІМТ): формула і приклади. Математика у медицині3 / 16 Що таке ІМТ і як рахувати?ІМТ — показник відповідності маси тіла до зросту людини , який допомагає лікарям визначити чи є в людини надлишкова вага , або , чи ваги недостатньо . Розробив Адольф Кетле у XIX ст. Визначається за формулою: ІМТ = маса (кг) ÷ зріст² (м²)Приклад 1 — норма: Учень, 60 кг, зріст 1,65 м1,65 × 1,65 = 2,722560 ÷ 2,7225 ≈ 22,0 → норма. Приклад 2 — надлишкова вага: Людина 85 кг, зріст 1,70 м1,70 × 1,70 = 2,8985 ÷ 2,89 ≈ 29,4 → надлишкова вага. Важливо: ІМТ не розрізняє м'язи й жир, але лишається надійним показником< 18.5 Недостатня вага18.5 – 24.9 Норма25 – 29.9 Надлишкова вага30 – 34.9 Ожиріння I35 – 39.9 Ожиріння II≥ 40 Ожиріння III

Математична модель еластичного резервуару. Математика у медицині4 / 16 Аорта та судини : систола та діастола. Аорта і великі судини моделюються за допомогою моделі “еластичного резервуару“ яка допомагає розраховувати такі показники як : тиск під час систоли , діастоли , периферичний опір та ін. Систола (скорочення серця): кров входить у судини, розтягує їх — тиск зростає. Діастола (розслаблення): судини стискаються і виштовхують кров далі — тиск падає. Такий механізм перетворює поштовхову роботу серця на рівний потік крові до органів. Артеріальний тиск. Запис: 120 / 80 мм рт. ст.• 120 — систолічний (максимум при скороченні)• 80 — діастолічний (мінімум при розслабленні)• Різниця 40 — пульсовий тиск, відображає еластичність судин. Рівняння тиску — показникова функція. Тиск під час діастоли описується: P(t) = P₀ · e^(−t/T)P₀ — тиск на початку, T — постійна часу (залежить від пружності судин), t — час.

Статистика у медицині: основні поняття. Математика у медицині5 / 16 Для чого статистика?Статистика — мова медичних досліджень. Без неї не можна відповісти:«Чи ліки справді допомагають, чи пацієнти одужали б самі?»За допомогою неї лікарі відповідають різні запитання , якіз’являються під час досліду або експертизи , та можуть визначати їх результати , навіть якщо вони пов’язані з великою кількістю людей. Ключові поняття. Вибірка — досліджувана група (наприклад, 1 000 пацієнтів). Вибіркове середнє (M) — середнє значення у вибірці. Стандартне відхилення (s) — наскільки розкидані значення навколо M. Великий s = великий розкид. Запис M ± s: «середнє ± типове відхилення». Приклад з дослідження. Вимірювали систолічний тиск у 500 учнів 7 класу: M = 112 мм рт. ст., s = 9 мм рт. ст. У більшості учнів тиск від 103 до 121 (M ± s). Тиск 145 — далеко за M ± 2s ,тобто аномалія, варто перевірити у лікаря. Де застосовується статистика?Норми аналізів крові: лабораторія вимірює тисячі здорових людей → норма = M ± 2s. Центильні таблиці для дітей: чи відповідає зріст дитини 50-му перцентилю?Контроль якості ліків: кожна таблетка зважується, відхилення >3s → відбраковка партії.

Нормальний розподіл та «Дзвоноподібна крива»Математика у медицині6 / 16 Що таке нормальний розподіл?Вимірявши зріст або тиск у тисяч людей та намалювавши графік можна отримати дзвоноподібну криву. Два параметри:• M (середнє) — вершина дзвоника• s (ст. відхилення) — ширина дзвоника. Правило 68–95–99,7:• M ± 1s → 68% значень (більшість людей)• M ± 2s → 95% значень• M ± 3s → 99,7% значень. Приклад — гемоглобін у жінок: M = 130 г/л, s = 10 г/л. M ± 1s: 120–140 г/л (68% жінок)M ± 2s: 110–150 г/л (95% жінок)Якщо аналіз виходить за M ± 2s — лікар призначає повторне обстеження. M ± 1s68% даних. M ± 2s95% даних. M ± 3s99,7% даних. Де це використовується?• Норми аналізів крові (гемоглобін, лейкоцити, цукор)• Центильні таблиці зросту і ваги дітей• Контроль якості ліків• Встановлення норми тиску — звідси 120/80

Медіана, квартилі та інтерквартильний розмах. Математика у медицині7 / 16 Медіана9 пацієнтів втратили 100–200 мл крові, а один — 3 000 мл. Середнє = ~400 мл — хибне , через завищення показника одним з пацієнтів. Медіана — значення, що ділить впорядкований ряд навпіл. 50% нижче, 50% вище. Приклад: 55, 60, 62, 65, 70, 88, 92 Медіана = 65 (4-те значення)Середнє = 70,3 — завищено через 88 і 92. У деяких випадках медіана точніша!. Квартилі Q1, Q2, Q3 Квартилі ділять ряд на чотири рівні частини: Q1 = 25%, Q2 = 50% (медіана), Q3 = 75%. Приклад — тиск у класі: Q1=105, Q2=112, Q3=120 мм рт. ст.50% учнів мають тиск від 105 до 120.Інтерквартильний розмах (IQR)IQR = Q3 − Q1Інтерквартильний розмах показує діапазон центральних 50% даних. Приклад: Q1=105, Q3=120 IQR = 120 − 105 = 15 мм рт. ст.«Викид»: значення за межами Q1−1,5×IQR або Q3+1,5×IQR→ нижня: 82,5 → верхня: 142,5 Учень з тиском 150 — «викид», варто до лікаря.

Площа опіків: правило долоніМатематика у медицині8 / 16 Навіщо рахувати площу опіку?Від площі ураження залежить тяжкість і лікування. Загальна площа шкіри дорослого — 16 000–21 000 см². Понад 10% — загроза опікового шоку. Від площі залежить обсяг крапельниці (Визначається за формулою Паркланда). Правило долоніДолоня (без пальців) = 1% від площі шкіри тіла. Для виконання потрібно тримати долоню над опіком не торкаючись його, та порахувати скільки разів вміщується долоня. Добре для невеликих опіків (1–5%). Саме відсоток ураження при опіку , диспетчер швидкої просить повідомити першим. Для великих площ (>10%) — використовується правило дев'яток (наступний слайд). Формула Паркланда (крапельниця при опіках)V (мл/добу) = 4 × маса (кг) × % опіків. Приклад: людина 70 кг, опік 20%V = 4 × 70 × 20 = 5 600 мл за 24 год. Половину вводять у перші 8 год = 350 мл/год. Ця математика — виживання пацієнта.

Площа опіків: правило дев'яток. Математика у медицині9 / 16 Розподіл площі тіла на зони (9% кожна)Кожна зона тіла займає 9% або кратне 9 від загальної площі шкіри: Голова і шия9%Рука (одна)9% , обидві 18%Груди (спереду)9%Живіт (спереду)9%Спина верхня9%Спина нижня + сідниці9%Нога (одна)18% , обидві 36%Промежина1%РАЗОМ≈ 100%

Методи визначення об'єму кровoвтрати. Математика у медицині12 / 16 Прямі методи1. Колориметричний: беруть кров з операційного матеріалу , вимірюють Hb та перераховують на об'єм.2. Ваговий: зважують серветки до і після. 1 г різниці ≈ 1 мл крові.3. Об'ємний: збирають кров в аспіратор і вимірюють у літрах. Перевага: точно. Недолік: потрібне обладнання. Непрямі методи1. За локалізацією травми:• Стегно: 1 000–1 500 мл• Гомілка: 400–700 мл• Ребро: 200–500 мл2. За гематокритом / Hb — через 4–6 год.3. За гемодинамікою (тиск, пульс) — швидко, але приблизно. Шоковий індекс Альговера (1967)ШІ = ЧСС ÷ Систолічний АТЗа двома числами будь-якого тонометра!ШІ < 0,5 → крововтрата відсутня. ШІ 0,5–1,0 → легка (до 15%)ШІ 1,0–1,5 → помірна (20–30%) — потрібна допомога. ШІ > 1,5 → важка (>30%) — критично. ОЦК: скільки крові у людини?Обсяг циркулюючої крові (ОЦК):• Чоловіки: 70 мл × маса (кг)• Жінки: 65 мл × маса (кг)• Діти: 75–80 мл × маса (кг)Приклад: хлопець 70 кг. ОЦК = 70 × 70 = 4 900 мл ≈ 4,9 л15% = 735 мл → вже I ступінь шоку!

Формула Мура: розрахунок крововтрати за гематокритом. Математика у медицині13 / 16 Формула Moore (F. D. Moore, 1956)КВ = ОЦКН × (ГТН − ГТФ) / ГТНКВ — крововтрата (мл) ОЦКН — належний ОЦК ГТН — норма гематокриту (чоловіки =45, жінки =42) ГТФ — фактичний гематокрит після зупинки кровотечіЩо таке гематокрит?Гематокрит (Ht) — частка еритроцитів у крові (у відсотках). Норма: 42–45% у чоловіків, 37–42% у жінок. При крововтраті організм розводить кров рідиною, щоб підтримати об’єм , тому гематокрит падає. Чим нижче Ht — тим більша крововтрата. Приклад розрахунку. Чоловік, ОЦКН = 5 000 мл, ГТФ = 30 КВ = 5 000 × (45 − 30) / 45 КВ = 5 000 × 15 / 45 КВ = 5 000 × 0,333 КВ ≈ 1 667 мл Це 33% ОЦК = III ступінь. Необхідне термінове переливання крові.

Формула Бєлоусова: розрахунок за гемоглобіном. Математика у медицині14 / 16 Формула Бєлоусова (А. М. Бєлоусов, 2017)Vкр = ОЦКф × (Hbвих − Hbп/о) / Hbвих. Vкр — об'єм кровoвтрати (мл) ОЦКф — фактичний ОЦК Hbвих — Hb до операції Hbп/о — Hb після зупинки кровотечіПереваги методу. Гемоглобін (Hb) падає швидше і точніше, ніж гематокрит. Hb легко виміряти з аналізу крові — менш ніж за 5 хвилин. Метод ефективний і в операційній, і у відділенні реанімації. Формула Мура і Бєлоусова дають схожі результати — їх порівнюють для перевірки. Приклад розрахунку. ОЦКф = 4 800 мл. Hbвих = 140 г/л, Hbп/о = 95 г/л. Vкр = 4 800 × (140 − 95) / 140 Vкр = 4 800 × 45 / 140 Vкр = 4 800 × 0,321 Vкр ≈ 1 543 мл32% ОЦК = III ступінь, критичний стан. Термінова операція і переливання.

Формула Нельсона та зведений перелік формул. Математика у медицині15 / 16 Формула Нельсона (Nelson)% крововтрати = 0,036 × ГТвих × 100 / маса тіла. Вихідний об'єм крові (мл/кг) = 24 / 0,86 × ГТвих × 100 Точна у 96% випадків, але результат лише через 24 год. Не підходить для гострих ситуацій — використовується для контролю після планових операцій. Порівняння трьох методів. Мур (гематокрит): простий, 2 числа. Мінус: Ht падає повільніше реальної втрати. Бєлоусов (гемоглобін): Hb реагує швидше. Потрібний вихідний Hb. Нельсон: 96% точність. Тільки через 24 год, не для гострих ситуацій. Шоковий індекс: миттєво, без аналізів — але лише приблизно. Зведений перелік усіх формулІМТ = маса ÷ зріст²ШІ = ЧСС ÷ АТсист. Паркланд: V = 4 × маса × % опіків. Мур: КВ = ОЦКН × (ГТН−ГТФ) / ГТНБєлоусов: Vкр = ОЦКф × (Hbвих−Hbп/о) / Hbвих. Нельсон: % = 0,036 × ГТвих × 100 / маса. Всі формули — це арифметика та пропорції рівня 5–7 класу.

Висновки1 Шкільна математика = медична математика. Формула ІМТ, правило долоні й дев'яток, шоковий індекс — це арифметика та відсотки рівня 5–7 класу. Математика застосовується в лікарнях щодня.2 Статистика — основа доказової медицини. Нормальний розподіл, медіана, квартилі — без них не можна встановити норму аналізу, довести ефективність ліків або відстежити епідемію.3 Формули рятують у невідкладних станах. Шоковий індекс за 2 числа вказує ступінь крововтрати. Паркланд рахує крапельницю при опіках. Мур і Бєлоусов — скільки крові переливати. Математична точність тут = виживання.4 Загальний висновок. Математика у медицині — щоденний інструмент. Знань рівня 7 класу вже достатньо для великої кількості медичних розрахунків.