Матеріал до математичного заходу "Це цікаво знати"

ЦЕ ЦІКАВО ЗНАТИ

 (Матеріал для позакласної роботи)

Частина 1. За сторінками підручника математики

1. Як у давнину виконували арифметичні дії

Позначення чисел, що застосовувалися в давнину, були більш-менш придатні для результатів рахунку. А ось для виконання арифметичних дій з ними вони нікуди не годилися. Спробуйте швидко порахувати, чому дорівнює частка від ділення СССIV на XVIII. Утім, з додаванням та відніманням ні у єгиптян, ні у вавилонян особливих труднощів не було. Єгипетському писареві, щоб виконати додавання, достатньо було намалювати знаки Ո та I стільки разів, скільки вони зустрічаються в обох записах разом:

Гіршою була справа з множенням. І тут єгиптяни вигадали цікавий хід: вони замінили множення на будь-яке число подвоєнням, тобто додаванням числа із самим собою. Наприклад, якщо треба помножити число 34 на 5, то робили так: множили 34 спочатку на 2, потім ще раз на 2. Записували стовпчиками (звичайно, у своїх позначеннях чисел).

Або, наприклад, потрібно помножити 37 на 32. Складали два стовпці чисел – один подвоєнням, починаючи з числа 37, інший роздвоєнням (тобто розподілом на два), починаючи з числа 32:

Іншим шляхом пішли у Вавилоні. Оскільки вавилоняни мали 50 різних чисел першого розряду (тоді нуля вони ще не знали), то таблиця множення містила надто багато добутків і запам'ятати її не було жодної можливості. Тому вони порахували раз і назавжди за допомогою повторного додавання добутків й отримані результати занесли до таблиць. При множенні кожного разу дивилися в таблиці множення і знаходили відповідь. Узагалі, вавілоняни любили складати таблиці. Вони мали таблиці квадратів та кубів, зворотних чисел і навіть сум квадратів та кубів.

А як же рахували греки й римляни? Вони робили обчислення за допомогою лічильної дошки – абака. Оскільки камінчик в абаку називали калькулюс, то рахунок на абаку отримав назву калькуляція. Пізніше калькуляцією став називається підрахунок ціни товару, а людина, яка виконує цей підрахунок – калькулятором. А після того, як з’явилися маленькі прилади, що виконують складні розрахунки за секунди, назва «калькулятор» перейшла до них.

Вам усім відомі рахівниці, що також представляють абак, у якому місце смужок на дошці займають дроти для одиниць, десятків тощо.

2. Задача давнини

Зрозуміло, і єгиптянам, і вавилонянам, і грекам, і римлянам рахунок був потрібен не сам по собі. З його допомогою вони вирішували різні завдання, що виникали у них у господарських та військових справах. Ми розповімо про тогочасні арифметичні завдання, які нагадували відому задачу:

Летіла зграя гусей, а назустріч їм ще один гусак. Гусак каже: «Здрастуйте, сто гусей». А йому відповідають: «Нас не сто гусей, а менше. Якби нас було стільки, та ще стільки, та ще півстільки, та ще чверть стільки, та ще ти, гусаче, ось тоді нас було б сто гусей». Скільки гусей було в зграї?

Сучасні школярі, прочитавши завдання, відразу складуть рівняння:

 х + х + ½х + ¼х +1 = 100.

І якщо добре оперують дробами, знайдуть, що х = 36.

Але в Стародавньому Єгипті про те, що невідомі величини можна позначати літерами, а потім працювати з ними, як з відомими величинами, і не підозрювали. З дробами теж були складнощі. Проте єгиптяни вигадали метод розв’язання таких задач, який назвали «методом купи».

Прочитавши цю задачу, єгипетський писар Ахмес сказав би: «Рахуй з чотирьох». Це означало: «Вважай, що в зграї було четверо гусей». Тоді простий підрахунок показує, що стільки, та ще стільки, та ще півстільки, та ще чверть стільки дають 4+4+2+1 = 11 гусей, а потрібно отримати не 11, а 99 гусей (100 – 1). Оскільки 99:11=9, треба взяте спочатку число 4 помножити на 9. Тоді вийде правильна відповідь – 36.

Оскільки спочатку робилося неправильне припущення, що число гусей дорівнювало 4, цей спосіб називається тепер «Правилом хибного припущення».

Багато цікавих завдань містять і вавилонські клинописні таблички. Про вавилонську науку ми знаємо більше, ніж про єгипетську. Річ у тім, що папірус, на якому писали єгиптяни, був дуже не міцним та ще й горючим матеріалом. А вавилоняни писали, видавлюючи гострою паличкою клини на табличці з м'якої глини. Коли табличка була заповнена, її обпалювали в печі, і вона ставала твердою, як цегла. До нас дійшли сотні табличок математичного змісту, з яких можна судити про те, що вавилоняни володіли більшими знаннями, ніж єгиптяни. У Вавилоні вміли вирішувати складніші завдання. Такі задачі тепер теж розв’язують за допомогою рівнянь, але складніших, ніж ті, до яких приводять завдання з єгипетських папірусів.

Деякі давні задачі були не складними, але підводили до цікавих висновків. Наприклад: «У будинку 7 кішок, кожна кішка з'їдає 7 мишей, кожна миша з'їдає 7 колосків, кожен колос дає 7 рослин, на кожній рослині виростає 7 мір зерна. Скільки всіх разом?»

Цікаво, що автора завдання не цікавить, про які речі чи предмети йдеться, – важлива лише загальна кількість.

У задачі треба порахувати суму п'яти чисел, з яких кожне наступне в 7 разів більше за попереднє. Щоб розв’язати її, треба лише терпляче множити на 7 і складати. Але такі суми часто зустрічаються й отримали особливу назву: сума геометричної прогресії. У 18 столітті італійський математик Леонардо Пізанський, на прізвисько Фібоначчі, навів у своїй книзі задачу, що майже не відрізняється від єгипетської: «Сім бабусь вирушили до Риму. У кожної з них по сім ослів, кожен осел несе по сім мішків, у кожному мішку по сім хлібів, у кожному хлібі по сім ножів, кожен ніж у семи піхвах. Скільки всього предметів?»

Іще одна давня задача з 19 століття, яку загадували в селах: «Ішли сім старців, у кожного старця по сім палиць. На кожній палиці по сім сучків. На кожному сучку по сім торбин. У кожній торбині по сім пирогів. У кожному пирозі по сім горобців. Скільки всього?»

А це ж задача Ахмеса! Проживши тисячоліття, вона збереглася майже незмінною!

3. Розповіді про геометрію

1. Натягувачі мотузок

У спекотному посушливому Єгипті успішно вести землеробство можна тільки на землях, розташованих поблизу річки Ніл. Тому вся ця територія була поділена між селянами, і поля відокремлювалися одне від одного межами. Щовесни Ніл розливався – і межі змивалися. Межуванням земель займалися особливі чиновники.

Греки, які відвідували Єгипет, називали їх гарпедонаптами, тобто натягувачами мотузок. Але треба було знати, у якому напрямку та між якими точками їх натягувати. А для цього потрібен план полів. Так виникла наука про землемір – геометрія.

Перенесімося подумки на 4 тисячі років тому й уявімо собі єгипетських майстрів, які збираються будувати піраміду. З чого почати?

Візьмемо шматок папірусу й намалюємо на ньому креслення будівлі. Тепер треба вибрати місце для будівництва та намітити основу – фундамент піраміди. Для цього встромимо в землю прямовисну жердину. Опівдні, коли тінь від жердини буде найкоротшою, вона покаже нам напрям на північ. Намітимо на землі лінію північ – південь, натягуючи мотузку. Тепер проведемо лінію схід – захід, для чого береться мотузка з двома кілочками й проводяться дві дуги. Через точки перетину дуг проводимо пряму. Оскільки лінії перетинаються під прямим кутом, ми можемо виготовити косинець, який використовуємо надалі. Тепер на землі треба намітити основу піраміди. За формою вона така сама, як на кресленні. Тільки, звичайно, у багато разів збільшена. Можна розпочинати будівництво. Для того, щоб кам'яні «кубики», з яких складається піраміда, ставали правильно, користуються схилом – мотузкою з гиркою.

Щоб дізнатися, скільки кам'яних блоків піде на спорудження піраміди, єгиптянам треба було навчитися обчислювати її об’єм, але вони це вміли.

2. Як Фалес осоромив гарпедонаптів?

У 6 столітті до нової ери з далекої Греції до Єгипту прибув Фалес із Мілета, щоб на місці познайомитися з єгипетською наукою – геометрією.

Єгиптяни поставили йому важке завдання: як знайти висоту однієї з величезних пірамід? Фалес знайшов для цього завдання просте рішення. Він устромив довгу палицю вертикально в землю і сказав: «Коли тінь від цієї палиці буде тієї ж довжини, що й сама палиця, тінь від піраміди матиме ту ж довжину, що й висота піраміди».

Щоб збагнути це, Фалес мав уже багато знати про геометричні фігури. А далі, імовірно, Фалес міркував так: сонце від Землі дуже далеко, тому промені, що йдуть від нього до піраміди, можна без великої помилки вважати паралельними.

Багато цікавого розповідають про Фалеса: він знав, як виміряти відстань до корабля, що стоїть на якорі далеко від берега, він першим порадив мореплавцям використовувати як орієнтир Полярну зірку, умів передбачати місячні й сонячні затемнення. Але головна його заслуга в тому, що він першим розпочав гру в «Доведи», якою постійно займаються математики. Для єгиптян спосіб визначення висоти піраміди, запропонований Фалесом, був ще однією річчю, яку треба завчити напам'ять, а потім передавати учням, говорячи: «Роби, як робиться». А Фалес поставив запитання: «Чому це так?» – і почав не лише спостерігати за властивостями геометричних фігур, а й виводити одні властивості з інших.

3. Ератосфен вимірює Землю

Математика завжди вирішувала завдання, які ставило перед нею життя. Дуже цікаве завдання вирішив Ератосфен, який жив у 3 столітті до н.е. Він знав, що в день літнього сонцестояння – у найдовший день року – у місті Сієна, що на південь від Олександрії, сонце заглядає на дно найглибших колодязів. А в Олександрії цього дня дно криниць залишається в тіні. Там сонячні промені падають на землю не прямовисно, як у Сієні, а під кутом й освітлюють лише стіну колодязя. Ератосфен виміряв кут між напрямком сонячного променя та стінкою колодязя. Виявилося, що цей кут дорівнює 1/25 розгорнутого кута, отже, відстань між містами у 25 разів менша за довжину меридіана, що з'єднує полюси земної кулі.

Сонце по-різному висвітлює колодязі в Олександрії та Сієні лише тому, що земля не плоска, а швидше за все кругла, як куля. Мабуть, так міркував Ератосфен. Відстань між містами була відома, тому помноживши її на 25, Ератосфен визначив довжину меридіана. Похибка, зроблена Ератосфеном, виявилася невеликою.

Висновок

Грецькі вчені не випадково так багато займалися математикою. «Математика є ключем до всіх наук», – говорив один із них і, звичайно, мав рацію. Адже все, що можна виміряти й передати числами, стає матеріалом для математики. Напевно, тому інший знаменитий грецький учений – Платон – над дверима будинку, у якому він займався з учнями, наказав зробити такий напис: «Той, хто не навчився геометрії, нехай не входить у ці двері».

Гіппократ написав перший у світі підручник з геометрії. Але він не дійшов до нас. Може, він згорів під час пожежі в Олександрійській бібліотеці. Дедалі більше геометричних тверджень відкривали грецькі вчені, складнішими ставали їхні міркування. Щоб не розшукувати ці твердження в різних книгах, треба було зібрати їх разом і написати підручник, що містить усю науку про фігури, яка накопичилася до того часу.

Цю гігантську працю виконав олександрійський геометр Евклід, який жив приблизно 2300 років тому. Він написав книгу «Початки», яка завдяки своїм високим якостям витіснила всі інші підручники з геометрії. Кожну властивість фігур Евклід доводив і робив це так чудово, що багато сучасних підручників з геометрії більш ніж половину беруть прямо від Евкліда.

Уявляєте, якою геніальною людиною був цей учений, якщо його книга приносить користь понад 20 століть після того, як була написана!