Матеріали до уроку "Рівняння сфери"

Рівняння сфери

Короткий виклад теоретичного матеріалу та приклади розв’язання вправ

Фігура, складена з усіх точок простору, відстань від яких до даної точки однакова, називається сферою.

Рівняння сфери з центром в точці О(a; b; c) і радіусом R має вигляд: 

(х – а)² + (у – b)² + (z – с)² = R².

Рівняння сфери з центром у початку координат і радіусом R має вигляд:

х² + у² + z² = R².

Приклади

1. Знайти центр і радіус сфери, яку задано рівнянням: 

1) (х – 1)² + (у – 3)² + (z – 4)² = 9;

2) (х + 2)² + (у – 4)² + (z + 5)² = 25.

Розв’язання. Рівняння сфери з центром в точці О(a; b; c) і радіусом R має вигляд: 

(х – а)² + (у – b)² + (z – с)² = R².

Тоді:

1) О(1; 3; 4), R = = 3;

2) О(-2; 4; -5), R = = 5.

2. Скласти рівняння сфери з центром в точці В(1; 1; 3), яка проходить через точку М(2; 0; -1).

Розв’язання. Знайдемо радіус R сфери за формулою відстані між двома точками

.

Тоді R = ВМ = = = .

Ураховуючи, що центр сфери – точка В(1; 1; 3), а радіус R сфери дорівнює , маємо рівняння сфери: (х – 1)² + (у – 1)² + (z – 3)² = 18.

3. Дано рівняння x² + y² + z² – 2x + 4y + 6z – 2 = 0. Знайти координати центра і радіус сфери.

Розв’язання. Виділимо повні квадрати при змінних х, у, z:

(x² – 2x + 1) + (y² + 4y + 4) + (z² + 6z + 9) – 2 – 1 – 4 – 9 = 0,

(х – 1)² + (у + 2)² + (z + 3)² = 16.

Центр сфери О(1; -2; -3), радіус сфери R = = 4.