Матеріали до уроку з теми: "Теорема косинусів". Пропонується використовувати під час підготовки до уроку, в комплексі з іншими завантажеми матеріалами з цієї теми.
Доведення (для гострого кута): Нехай a, b, c - сторони трикутника. Проведемо висоту ВН. Маємо два прямокутні трикутники ∆АВН та ∆НВС. Тоді з ∆ВНС маємо: ВН=a·sinC , НС= a·сosC. АН = АС – НС = b - a·сosC Н З ∆АВН за теоремою Піфагора АВ2=ВН2+АН2 звідси відповідно: c2 = a2·sin2 C +b2 – 2·a·b·cos C+a2· cos2 C c2 = a2·(sin2 C + cos2 C) + b2 – 2·a·b·cos C c2 = a2 + b2 – 2·a·b·cosC
Наслідки з теореми косинусів Якщо квадрат найбільшої сторони трикутника менший за суму квадратів двох інших сторін, то трикутник гострокутний. Тобто, якщо а – найбільша сторона й а2< b2+c2, то найбільший А – гострий і ∆ - гострокутний. Якщо квадрат найбільшої сторони дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то трикутник прямокутний. Тобто, якщо а – найбільша сторона й а2= b2+c2, то найбільший А – прямий і ∆ - прямокутний. Якщо квадрат найбільшої сторони більший за суму квадратів двох інших сторін, то трикутник тупокутний. Тобто, якщо а – найбільша сторона й а2> b2+c2, то найбільший А – тупий і ∆ - тупокутний.
Теорема Піфагора є окремим випадком теореми косинусів : якщо в трикутнику С – прямий, тоді cosC = 0 Із рівності с2 = а2 + b2 - 2·a·b·cosC Одержимо: Іншими словами, це теорема Піфагора. Хоча теорема косинусів є більш узагальненою ніж теорема Піфагора, вона не може використовуватись для її доведення, оскільки теорема Піфагора сама використовується для доведення теореми косинусів. c2 = a2 + b2