Матеріали до уроку з теми: "Теорема косинусів"

? ? ?

Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними. a2=b2+c2- 2bc cosα b2=a2+c2- 2ac cosβ c2=a2+b2- 2ab cosγ

Доведення (для гострого кута): Нехай a, b, c - сторони трикутника. Проведемо висоту ВН. Маємо два прямокутні трикутники ∆АВН та ∆НВС. Тоді з ∆ВНС маємо: ВН=a·sinC , НС= a·сosC. АН = АС – НС = b - a·сosC Н З ∆АВН за теоремою Піфагора АВ2=ВН2+АН2 звідси відповідно: c2 = a2·sin2 C +b2 – 2·a·b·cos C+a2· cos2 C c2 = a2·(sin2 C + cos2 C) + b2 – 2·a·b·cos C c2 = a2 + b2 – 2·a·b·cosC

Косинус деякого кута трикутника дорівнює відношенню суми квадратів сторін, прилеглих до цього кута без квадрата протилежної йому сторони до подвоєного добутку прилеглих до кута сторін.

Наслідки з теореми косинусів Якщо квадрат найбільшої сторони трикутника менший за суму квадратів двох інших сторін, то трикутник гострокутний. Тобто, якщо а – найбільша сторона й а2< b2+c2, то найбільший А – гострий і ∆ - гострокутний. Якщо квадрат найбільшої сторони дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то трикутник прямокутний. Тобто, якщо а – найбільша сторона й а2= b2+c2, то найбільший А – прямий і ∆ - прямокутний. Якщо квадрат найбільшої сторони більший за суму квадратів двох інших сторін, то трикутник тупокутний. Тобто, якщо а – найбільша сторона й а2> b2+c2, то найбільший А – тупий і ∆ - тупокутний.

Нехай Застосувавши теорему косинусів для трикутників АВD і ACD маємо: Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів двох суміжних його сторін. Додаючи почленно рівності (1) і (2) отримаємо: Що і треба було довести. А В С D d ₁ d₂ а b

Теорема Піфагора є окремим випадком теореми косинусів : якщо в трикутнику С – прямий, тоді cosC = 0 Із рівності с2 = а2 + b2 - 2·a·b·cosC Одержимо: Іншими словами, це теорема Піфагора. Хоча теорема косинусів є більш узагальненою ніж теорема Піфагора, вона не може використовуватись для її доведення, оскільки теорема Піфагора сама використовується для доведення теореми косинусів. c2 = a2 + b2

Використані джерела http://uk.wikipedia.org/ Геометрія: підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закладів / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полянський, М.С. Якір – Х.: Гімназія, 2017. -240 с. : іл. Олійник Л.І., Геометричний тренажер. 9 клас.- Тернопіль: Підручники і посібники, 2011.-160с.