Матеріали "Розв'язування трикутників"

Підгрна Т.Є Учитель математики Черкаської гімназії № 31

Розв’язати трикутник — означає за відомими його сторонами і кутами знайти невідомі його сторони і кути. Задачі на розв’язання трикутників поділяються на такі види: 1. Розв’язання трикутника за відомими стороною і двома кутами. 2. Розв’язання трикутника за відомими двома сторонами і кутом між ними. 3. Розв’язання трикутника за відомими двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них. 4. Розв’язання трикутника за відомими трьома сторонами.

План розв’язання: -   Знаходимо третій кут трикутника, враховуючи, що сума всіх внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°. -   Записуємо теорему синусів для цього трикутника і, обираючи попарно співвідношення сторін і протилежних до них кутів, знаходимо дві інші сторони трикутника.

Дано: ВС=а, В=, С=. Знайти: АС, АВ, А. Розв’язання 1. А=1800-(+), 2. За теоремою синусів a B A C ? ?   ?

План розв’язування: -   За теоремою косинусів знаходимо третю сторону. -   За наслідком із теореми косинусів знаходимо косинуси невідомих кутів трикутника, а по можливості і самі кути. Зверніть увагу! Це можна зробити і за допомогою теореми синусів.

Дано: ВС=а, АС=b, С=. Знайти: АВ, А, В. Розв’язання 1. За теоремою косинусів a B A C ? b  ? ?

План розв’язування: -   За теоремою синусів знаходимо кут, протилежний до другої відомої сторони. При цьому зверніть увагу, що одному і тому ж значенню синуса кута відповідають два кути — гострий і тупий, суміжний із цим гострим кутом. Враховуйте, що проти більшої сторони лежить більший кут. -   Знаходимо третій кут трикутника. -   За теоремою синусів знаходимо третю сторону трикутника. Зверніть увагу!  Ця задача може мати два розв’язки.

Дано: ВС=а, A=, AС=b. Знайти: АB, C, B. Розв’язання 1. За теоремою синусів a B A C ? b ? ?  Увага! З рівності , як правило, знаходять два значення кута В, тому задача може мати два розв’язки.

План розв’язування: -   За наслідком із теореми косинусів знаходимо один із кутів трикутника. -   За теоремою синусів знаходимо два інших кути трикутника.

Дано: ВС=а, АВ=c, AС=b. Знайти: А, B, C. Розв’язання 1. За теоремою косинусів a B A C с b ? ? ? Увага! З цієї рівності, як правило, знаходять два значення кута В, тому задача може мати два розв’язки.

Рівень А. Задача 1. Дві сторони трикутника дорівнюють 1 см і см, а кут між ними 45°. Знайдіть третю сторону трикутника. Розв’язання. Нехай АС=1см, АВ= см, тоді ∠А= 45° Використовуючи теорему косинусів маємо: ВСІ = АВ І + АС І – 2 АВ ·АС cosА . ВС І = 2+ 1 - ·1· cos 45° = 5 ВС = ± - не задовольняє умові задачі. Отже, ВС= см Відповідь: см   А В С 1см см

Задача 2. Знайди кут М трикутника МNК,якщо МN= 8 см, NK=7 см, MK=3 см. Розв’язання. Використовуючи теорему косинусів маємо: NKІ = MN І + MK І – 2MN ·MK· cos M; 49 = 64 + 9 - 2 ·8 ·3 cos M ; 48 cos M=24; cos M=24∕48 =1∕2, тоді ∠М=60° Відповідь: 60° М N К 8см 7см 3см

Рівень Б. Задача 3. Одна зі сторін паралелограма на 1 см довша за іншу, а діагоналі дорівнюють 7 см і 11 см. Знайди сторони паралелограма. Розв’язання. Нехай одна сторона дорівнює х см, тоді інша (х+1)см. За властивістю діагоналей маємо: 72+112=2x2+2(x+1)2 49+121=2x2+2x2+4х+2 4x2 +4х-168=0 x2+х-42=0 За теоремою Вієта Х1=6, Х2=-7 Х=-7 – не задовольняє умови задачі, тому х=6, х+1=7. Отже, одна сторона паралелограма дорівнює 6 см, а інша – 7см. Відповідь: 6 см, 7 см. х Х+1 7см 11см

Рівень В. Задача ( теорема Стюарта) Якщо а, в, с – сторони трикутника АВС і точка D ділить сторону ВС на відрізки , то Розв’язання. Нехай   Застосувавши теорему косинусів для трикутників АDC і АDВ маємо: А D В С с b а1 а2

Помноживши рівність (1) на а₁, а рівність (2) на а₂ і почленно додавши маємо: Отже: Що і треба було довести.

Використані джерела http://osvita.ua/school/lessons_summary/math/6339/ http://subject.com.ua/master/Geometry/lesson08.html Геометрія: підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закладів / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полянський, М.С. Якір – Х.: Гімназія, 2017. -240 с. : іл.. Олійник Л.І., Геометричний тренажер. 9 клас.- Тернопіль: Підручники і посібники, 2011.-160с.