1.  Решение иррациональных неравенств

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Сначала находим решение соответствующего уравнения

возведем уравнение в куб:

Так как по условию выражение должно равняться , то, сделав соответствующую замену, получим:

Возведем уравнение в куб и найдем искомые значения переменной: и .

Проверка 1.

- ложно, корень - посторонний.

Проверка 2.

- истинно, - корень уравнения.

 Областью определения неравенства является множество действительных чисел. Корень соответствующего уравнения разбивает числовую ось на два числовых промежутка:

и .

Взяв любое число (например, ) из первого промежутка и подставив в неравенство, получим . Значит, числовой промежуток  не входит в решение неравенства. Значение , взятое из числового промежутка , обращает данное неравенство в истинное числовое неравенство . Значит, числовой промежуток является решением неравенства.

Ответ: .

 

2. Решить неравенство

Решение. Решим соответствующее уравнение

после возведения в куб обеих частей уравнения получим

 

сделаем подстановку получим уравнение

и

Отмечаем корни на числовой оси

Областью определения неравенства являются все действительные числа, поэтому рассматриваем  три числовых промежутка: , , . Пусть , тогда - ложное числовое неравенство. Значит числовой промежуток не входит в решение. Пусть , тогда - истинное числовое неравенство и числовой промежуток входит в решение. Аналогично, числовой промежуток тоже входит в решение.

Ответ: , .

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Возведем в куб части неравенства:

откуда

ОДЗ неравенства или  .

При значения     всегда, а . Значит последнее неравенство истинно при .

Ответ: .

Пример 4. Решить неравенство

Решение. Возведем обе части неравенства в куб, предварительно перенеся в правую часть:

Последнее неравенство эквивалентно системе неравенств

или

Решением последней системы является .

Ответ: .

 

2. Решение иррациональных неравенств с параметрами

 

 Параметром называют такую переменную, значения которой постоянны в пределах рассматриваемой задачи .

 Значения параметров , для которых функции и  определены, называются множеством допустимых значений параметров.

 Неравенство, содержащее параметры, только тогда считается решенным, когда указано множество всех его решений при произвольной допустимой системе значений параметров. Решение параметрических иррациональных неравенств рассмотрим на примерах. Чтобы проанализировать все допустимые значения параметров и найти соответствующие искомые значения переменной, целесообразно данное неравенство заменить эквивалентной совокупностью неравенств, как это будет показано ниже на примерах.

Пример 1. Решить и исследовать неравенство:

(1)

Решение. Найдем ОДЗ неравенства (1) . Неравенство (1) заменим эквивалентной совокупностью неравенств

 Ясно, что второе неравенство будет истинно при любом из ОДЗ, т.к. , . Первое неравенство совокупности имеет и правую и левую положительные части. Возведем в квадрат обе его части.

Все значения будут принадлежать ОДЗ, так как , значит .

Ответ: 1. ; 2. .

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Легко видеть, что при данное неравенство не имеет решений, т.к. получаем положительную левую часть меньше отрицательно правой. что не имеет смысла. Рассмотрим неравенство при . ОДЗ неравенства

Неравенство имеет смысл лишь при . Получаем систему неравенств, эквивалентную исходному неравенству:

   

Решим последнее неравенство системы. Видим, что оно имеет смысл лишь при . Возведем в квадрат обе части неравенства

при

Сравним и , чтобы определить верхнюю границу значений .

при значит >.

Ответ: если  , то

            если . то .

 

Пример 3. Решить неравенство

 

Решение. Данное неравенство перепишем так

(1)

Легко видеть, что при а = 0 неравенство решения не имеет. Рассмотрим значение параметра а > 0 и а < 0: левая и правая части неравенства положительные, поэтому при возведением неравенства в квадрат получим неравенства, эквивалентное данному в области его определения. При a < 0 данное неравенство тождественно истинное в области  его  определения (левая часть

неотрицательная, а правая отрицательная). Поэтому данное неравенство можно заменить следующей эквивалентной совокупностью систем неравенств:

 

Рассмотрим неравенство (2). После выполнения преобразований получим:

При a > 0  значения х = а и х = 0 не   удовлетворяют    неравенству, а при   всех значениях 0 < x < a указанное неравенство тождественно истинное, поэтому первая система совокупности эквивалентна системе:

 

Итак, решение неравенства (1)

1) если а > 0 0 < x < a

2) если а = 0 нет решений

3) если a < 0 a  x  0

 

Пример 4. Решить неравенство:

 

 

Решение.  Возводим неравенство в квадрат. Так как левая и правая части неравенства неотрицательны, то эквивалентность не нарушается в области определения неравенства. Первый радикал имеет смысл при x  а, второй при x  b. При этих же значениях переменной имеет смысл и выражение, стоящее в правой части неравенства.

Итак,

 

равносильно системе

но

,

значит последнее неравенство системы равносильно неравенству:

или

А система равносильна системе

* выполняется, если оба множителя под корнем больше нуля или оба меньше нуля, значит наша система равносильна совокупности двух систем:

 

      

после выполнения преобразований получаем:

 

Видим, что в первой системе может быть два случая:

1.   a  b,
2.   b  a.

В первом случае решением системы будет x < b, а во втором x < a.

Ответ: 1) a  b x < b

  2) a  b x < а

 

3. Решение иррациональных неравенств, способом введения новой переменной.

 

Иррациональные неравенства, как и иррациональные уравнения можно решать способом введения новой переменной. Рассмотрим использование этого метода на примерах.

Пример 1. Решить неравенство:

 

 

Решение. Положив , находим что х² + 5х + 4 = у² – 24, тогда неравенство (1) преобразуется к виду:

 у² – 5y – 24 < 0

и далее решим уравнение:

 у² – 5y – 24 = 0;             D = 25 + 96 = 121                       y₁ = -3,    y₂ = 8

получаем (у – 8)(у + 3) < 0.

Решением этого неравенства является промежуток  -3 < y < 8.

Мы пришли к следующей системе неравенств:

 

Так как  при всех допустимых значениях х, то тем более    при всех х их ОДЗ неравенства (1), а поэтому достаточно решить неравенство:

 

Это неравенство равносильно системе

 

Так как неравенство х² + 5х + 38  0 выполняется  при   любых значениях х  (D = 25 – 4  28  0 и а = 1  0), то последняя система равносильна неравенству:

 х² + 5х + 38  0

или

 (х + 9)(х – 4)  0

откуда методом интервалов находим решение неравенства (1)

 

 

 

 Ответ:  х  ]-9; 4[

 

Неравенство (1) – неравенство вида

  .

Здесь применима подстановка       и неравенство  заменяется равносильным ему неравенством:

 у² – ky + d – c < 0, которое легко разрешимо.

 

Рассмотрим неравенство вида:

  , где можно применить подстановку  .

 

Пример 2. Решить неравенство:

 

Решение. Найдем ОДЗ неравенства: х  5. Положим , тогда у > x – 3, y  0. Выразим х через у: у² = 5 – х  х = 5 – у².

Получаем систему:

 

Откуда:

 

 

Значения x < 4 принадлежат ОДЗ.

Ответ: x < 4.

 

Пример 3. Решить неравенство

 

Решение. Найдем ОДЗ неравенства

 

при х  2 второе и третье неравенства системы истинны. ОДЗ х  2.

Пусть  , тогда исходное неравенство примет вид:

    (1)

Так как под радикалами в левой части неравенства (1) стоят полные квадраты, то оно может быть представлено в следующем эквивалентном виде:

 |t + 1| - |t – 1| > 1

Разобьем решение на три промежутка:

1.        t  -1

-t – 1 + t – 1 > 1 

2.        –1 < t  1

t + 1 + t – 1 > 1

2t > 1

t > ½

3.        t > 1

t + 1 – t + 1 > 1 2 > 1 – истинно

Решением неравенства на всех трех промежутках будет  t > ½

Подставляем   

 

Эти значения принадлежат ОДЗ.

Ответ: x > 2,25.

 

Пример 4.  Решить неравенство:

 

Решение. Положим , тогда   и мы получаем неравенство:

 у² – у – 2 >0,

откуда находим y < -1,  y>2.

Теперь задача свелась к решению двух неравенств:

 

Первое неравенство не имеет корней во множестве действительных чисел, поскольку под знаком возведения в дробную степень может содержаться только неотрицательное число, а любая степень неотрицательного числа неотрицательна.

   (1)

Пусть a < 0. В школьном курсе рациональная степень числа а не определяется, и это не случайно. Пусть (1) верно, тогда:

 

 

Противоречие.

Итак, получаем: левая положительная часть меньше отрицательной правой, что не имеет смысла.

Решим неравенство

Возведем обе части неравенства в пятую степень, получим x – 2 > 32, откуда  x > 34.

Ответ: x > 34.

 

4. Способ домножения обеих частей иррационального неравенства на некоторое число, либо выражение.

 

Пример 1. Решить неравенство:

     (1)

Решение. Уединение радикала и возведение обеих частей полученного неравенства в квадрат привело бы к громоздкому неравенству. В то же время, если проявить некоторую наблюдательность, то можно заметить, что заданное неравенство легко сводится к квадратному. Предварительно найдем ОДЗ неравенства:

 2х² – 3х + 2  0

откуда получаем х – любое действительное число. Домножим обе части неравенства (1) на 2 получим

 

и далее

 

Полагая , получим у² – 2у - 8  0, откуда у  -2, у  4.

Значит, неравенство (1) равносильно следующей совокупности неравенств:

 

Второе неравенство системы имеет решения  х  -2, х  3,5,  а первое – не имеет решений, так левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна, это противоречит смыслу неравенства.

Все решения второго неравенства принадлежат ОДЗ неравенства  (1)  и получены при переходах к равносильным неравенствам.

Ответ: х  -2, х  3,5.

 

Пример 2. Решить неравенство

    (1)

Решение. ОДЗ неравенства:

 

Домножим обе части неравенства на выражение

 , имеющее ту же ОДЗ , что и неравенство (1).

Получим:

 

или:

 

Последнее неравенство всегда истинно на ОДЗ, т. к. –3 всегда будет меньше положительной правой части неравенства.

Ответ:  х  1.

 

Пример 3. Решить неравенство

 

Решение. Найдем ОДЗ неравенства

 

Домножим обе части неравенства на  :

 

Последнее неравенство равносильно совокупности:

 

Из первой системы получаем  x < -2, а решением второй   системы   является    промежуток 

Объединяя их получаем:

  Ответ:

 

5. Метод выделения полного квадрата в подкоренных выражениях при решении иррациональных неравенств, либо разложения подкоренного выражения на множители.

 

Пример 1. Решить неравенство

Попробуем отметить какие – либо особенности заданного неравенства, которые могли бы указать путь к решению. Такие особенности есть, а именно:

Решение. Найдем ОДЗ исходного неравенства

     

 

На промежутке [-1;4] третье и четвертое неравенства системы истинны.

Значит, ОДЗ  х  [-1;4].

Перепишем заданное неравенство так:

 

откуда 

Но  и      , поэтому получаем:

 

или:

 

В ОДЗ правая часть неравенства всегда положительна, поэтому возведем в квадрат обе части неравенства

 

решение этого неравенства х  [0; 3]. Этот промежуток принадлежит ОДЗ.

Ответ: х  [0; 3].

 

Пример 2. Решить неравенство:

 

Решение. Найдем ОДЗ неравенства:

 

Откуда получаем x  1, х  5, х = 2

Перепишем наше неравенство следующим образом:

Поскольку обе части неравенства положительны и имеют смысл на ОДЗ, возведем в квадрат обе части этого неравенства, получим:

 

Правая часть полученного неравенства на ОДЗ всегда положительна, поэтому имеем право возвести обе части его в квадрат и получим равносильное неравенство:

  (х – 2)²(х – 5)(х – 1)  9(х – 2)²(х – 1)²

или:

 (х – 2)²(х – 1) (х – 5 – 9х + 9) 0

 (х – 2)²(х – 1) (4 – 8х) 0

откуда методом интервалов получаем:  х  ½,  х ≥ 1

Учитывая ОДЗ, получаем

Ответ: х  ½,  х = 1, х ≥ 5, х = 2

 

6. Решение иррациональных неравенств путем проб, выводов.

 

Пример 1. Решить неравенство:

   (1)

Решение. Область определения неравенства  (1): 2  х  3.

Прежде, чем возводить в квадрат обе части неравенства (1), необходимо убедиться в том, что обе его части  неотрицательны.

Однако, оказывается, что это не так.

Действительно, так как 2  х  3, то 1  х – 1  2    и    3  6 – х  4. А это значит, что или  .  Но .  Таким образом, при всех значениях  х  из отрезка  2  х  3   неравенство (1) выполняется. Итак, 2  х  3  - решение неравенства.

 

Пример 2.  Решим неравенство:

 

Решение. Найдем ОДЗ неравенства:

 

откуда получаем, что  ОДЗ неравенства  х = 2 – единственная точка. Подстановкой легко проверить, что х = 2 является решением исходного неравенства.

Ответ:  х = 2.

 

7. Решение более сложных примеров.

 

Пример 1. Решить неравенство

 

Решение. Используем метод интервалов. Решим соответствующее уравнение.

 

Решением уравнения являются значения переменной  х = 0  и при любом действительном значении параметра   а.

Корни соответствующего уравнения разбивают числовую ось на промежутки знакопостоянтства, в каждом из которых неравенство или тождественно истинное, или тождественно ложное.

а) если a > 0, то   и числовая ось разбивается на следующие промежутки знакопостоянства:  x < 0,

 

 

 

 

 

Рассмотрим промежуток  .  Возьмем значение  х = а  из этого промежутка и подставим в данное неравенство. Получим:  - истинное числовое неравенство. Следовательно, промежуток принадлежит решению.  Любое значение переменной  х, взятое из промежутка знакопостоянства                , обращает данное неравенство в ложное числовое неравенство. Например,  при   имеем ложное числовое неравенство  .

Следовательно, промежуток не принадлежит решению.

Подставив, например, х = -а, взятое из промежутка знакопостоянства  x < 0, в данное неравенство, получим истинное числовое неравенство  . Значит, числовой промежуток  x < 0 принадлежит решению. Итак, при  a > 0 решением неравенства является объединение двух числовых промежутков  x < 0 и  .

б) если a < 0, то   и числовая ось разбивается на промежутки знакопостоянства .  Как и в первом случае, устанавливаем, что данное неравенство тождественно истинное в промежутках   и  x > 0  и тождественно ложное в промежутке  .  Следовательно, при a < 0 решением неравенства будет объединение двух числовых  промежутков  и   x > 0.

в) при а = 0  . Получим два промежутка знакопостоянства:  x < 0 и x > 0, каждый из которых, как легко установить принадлежит решению.

Ответ:  1) при

            2) при .

 

Пример 2. Решить неравенство

 

ОДЗ: 5^х – 7 ≥ 0

  log₅7 ≤ x < +∞

 

Возводим обе части в квадрат:

 

 

решением последнего неравенства является промежуток  х ≤ 2. Учитывая ОДЗ получаем решение исходного неравенства log₅7 ≤ x ≤ 2.

Ответ: log₅7 ≤ x ≤ 2.