Рекомендации содержат:конспекты 4 занятий, в которых рассмотрены разные способы решения иррациональных уравнений, задания для самостоятельной работы, справочный материал
Методические рекомендации по изучению темы:
”Иррациональные уравнения”.
(разработала учитель математики ООШ №10 г.Славянска Пилипенко В.Ю.)
Справочный материал
Занятие 1
- 1 -
= 0.
Решение.
ОДЗ
Перенесём 1 в правую часть и возведём обе части в квадрат. Получим:
,
,
,
,
,
,
Ответ: ,
.
Решение.
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
или
, нет корней, т.к. -3<0.
Проверкой убеждаемся, что х = 2 и х = -2 корни данного уравнения.
Ответ: .
.
Решение.
,
Применим формулу
,
,
,
(,
,
.
Ответ: -2.
.
Решение.
ОДЗ ,
.
Возведём обе части в квадрат и получим:
- посторонний корень.
Ответ: 5.
Решение.
Применим формулу
,
,
, (
,
,
,
или
- посторонний корень.
Ответ: 1.
Решение.
Применим формулу .
,
.
Ответ: 0.
Решение.
ОДЗ ,
или
.
- посторонний корень.
Ответ: -1;2.
Задания для самостоятельной работы.
Решите уравнения:
А) . Ответ: 4.
Б) Ответ: 0.
В) Ответ: 9.
Г) Ответ: 5.
Д) Ответ: -2; 3,5.
Занятие 2
Решение.
Пусть >0.
,
,
,
Значит, или
.
нет корней, т.к. -3<0.
,
,
Проверкой убеждаемся, что корень данного уравнения.
Ответ: 5.
Решение.
Пусть Следовательно,
по теореме Виета
Значит, или
корней нет, т.к. -3<0.
Ответ: 2.
.
Решение.
ОДЗ при m – чётном <1, а при m – нечётном х – любое число.
Так как = 1 не является корнем уравнения, то
, пусть
по теореме Виета
.
При m – чётном ,
При m – нечётном .
Ответ: при m – чётном , при m – нечётном
.
Решение.
.
На промежутке области определения данного уравнения функция f(х) =
является монотонно возрастающей, а функция g(х) = =
монотонно убывающей. Значит уравнение f(х) = g(х) имеет единственный корень.
Выполним замену . Тогда f(у+1)=
и g(у+1)= =
. Значит f(-у+1)= g(у+1). А так как по условию
f(у+1)= g(у+1), то f(-у+1)= f(у+1) или откуда
Следовательно данное уравнение имеет корень х=1.
Ответ: 1.
.
Решение.
Пусть Значит,
а
.
Следовательно, ,
Значит, . Следовательно, имеем
(
.
.
,
Ответ: 0.
Решение.
Пусть ,
, тогда
.
Значит,
,
,
,
или
,
. Следовательно,
.
Имеем,
,
. А значит, х = 2, х = 10, х = 1.
Ответ: 2;1;10.
Задания для самостоятельной работы.
А) . Ответ: 2,5.
Б) Ответ:
0,5
В) Ответ:
5.
Г) Ответ: 1;0.
Д) Ответ: 10.
Занятие3.
Решение.
Пусть
Тогда .
.
Первый случай .
Второй случай а>1.
.
Ответ: 6.
Решение.
.
Первый случай 2.
2-,
.
Второй случай 2 < <3.
, 1 = 1, значит 2 <
<3, 4<x+1<9, 3<x<8.
Третий случай 3.
- 2+
- 3 = 1, 2
= 6,
= 3, х+1 = 9, х = 8.
Следовательно, 3x
8.
Ответ: 3x
8.
.
Решение.
,
,
,
.
Уравнение имеет решение лишь при условии , т.е.
.
Тогда (при условии, что
).
Значит,
,
,
или
.
Проверкой убеждаемся, что - посторонний корень.
Ответ: -2.
Решение.
Первый способ.
ОДЗ
т.к.
, то
значит
,
.
Возведём обе части уравнения в квадрат
,
, по теореме Виета
,
.
Проверка показывает, что - посторонний корень.
Ответ: 5.
Второй способ.
, слева возрастающая, а справа убывающая функции, непрерывные в ОДЗ
Подбором определяем единственный корень
Ответ: 5.
Решение.
Пусть , тогда
Возвёдем обе части уравнения в квадрат
Вернемся к замене: ,
,
,
значит
Проверкой убеждаемся, что х = 1 – корень данного уравнения.
Ответ: 1.
Решение.
ОДЗ:
Возведем обе части уравнения в квадрат.
,
.
,
,
,
,
Значит, проверим значения х=0 и х=1.
Пусть х=0, тогда . Следовательно х=0 – корень уравнения.
Пусть х=1, тогда ,
.
х=1 – посторонний корень.
Ответ: 0.
Задания для самостоятельной работы.
А) . Ответ:
.
Б) Ответ: 8.
В) Ответ: 7.
Г) Ответ: 0;3.
Д) Ответ:
.
Занятие 4.
Решение.
При всех а<0,нет решений, при а
.
Ответ: .
.
Решение.
.
ОДЗ ,
.
,
,
Возведем обе части последнего уравнения в квадрат
,
,
,
.
С учетом ОДЗ х2 – посторонний корень.
Ответ: 3.
.
Решение.
Преобразуем левую часть уравнения:
Показатель степени х есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии .
Следовательно, имеем уравнение , откуда
, но ОДЗ
, значит
Ответ: 2.
.
Решение.
.
Пусть ,
. Тогда
.
Данное уравнение примет вид: ,
,
. Если у=0, тогда х1=а; если с=0, тогда х2=в.
,
или
, т.е.
. Откуда находим, что х3 и х4 – не действительные корни.
Значит,
Ответ: .
.
Решение.
. Возводя обе части данного уравнения в квадрат и упрощая полученное выражение, имеем уравнение
Равносильное системе:, из которой находим:
Ответ: .
Решение.
В основе решения данного уравнения лежит метод мажорирования, связанный с применением известных неравенств между средним арифметическим и средним квадратичным двух и трех чисел и
. Итак, имеем:
Это означает, что в приведенной выше цепочке неравенств все три знака неравенства следует заменить знаками равенства, то есть должны выполняться три условия, заданные системой:
или
Значит, или
.
Ответ: или
.
Задания для самостоятельной работы.
А) . Ответ:
Б) Ответ: 7;26.
В) Ответ: 31.
Г) Ответ: 3.
Д) Ответ:
.
Литература
1