Урок «ФОРМУЛИ ПЕРЕТВОРЕННЯ СУМИ ТА РІЗНИЦІ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ У ДОБУТОК»

 

Урок алгебри у 10 класі

«Формули перетворення суми та різниці тригонометричних функцій у добуток»

Мета: навчальна: формування математичних компетентностей: записувати та обґрунтовувати формули перетворення суми та різниці тригонометричних функцій у добуток; розв’язувати вправи, що передбачають застосування формул до перетворення тригонометричних виразів;

розвивальна: розвивати мислення, пізнавальну активність ,ініціативу, математичне мовлення;

виховна:  виховувати вміння працювати в парах та групах , навички толерантного спілкування.

Тип уроку: засвоєння знань та формування вмінь.

Обладнання:  дидактична гра «Лото», картки із завданнями для роботи у групах та індивідуальні, презентація, таблиця «Формули перетворення суми та різниці тригонометричних функцій у добуток», картки для підсумка уроку «простір результативності своєї роботи».

Пам’ятайте: якщо ви хочете навчитись плавати, то сміливо заходьте у воду, а якщо хочете навчитися розв’язувати задачі, то розв’язуйте їх!

Д.Пойа

І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП. Перевірка готовності учнів до уроку. налаштування  на роботу.

ІІ. Актуалізація опорних знань, умінь.

Інтерактивна вправа « Установити відповідність» . Математичне лото( робота в парах)

1 Формула синуса суми	sin (α + β) = sinα cosβ  +  cos α sinβ
2 Формула синуса різниці	sin (α - β) = sinα cosβ  -   cos α sinβ
3. Формула косинуса суми	cos(α + β) = cosα cosβ  -   sinα sinβ
4. Формула косинуса різниці.	cos() = coscos +   sinsin
5. Формули зведення	sin ( α) =  cos ; cos ( α) =
6.Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.	sin 2 α   +  cos 2  α = 1, tg =, ctg =
7.Формули подвійного аргументу	sin 2α  = 2sinα cos;  cos2α  = cos 2α    sin 2α
8. Парність та непарність функцій	sin ( α) = sin ; cos ( α) = cos ; tg = tg
	sin + sin = 2 sin  cos .
	cos + cos = 2 cos  cos .

 

2.Математичний диктант «Розшифруй». Обчислити значення виразів та розшифрувати вислів.(індивідуальна робота)

1)  2 sin  cos  =

2) cos ²  sin ²    =

3) cos80^o cos20^o + sin80^osin20^o =

4) sin21^o cos9^o + cos21^osin9^o =

5) sin(-60^o) =

6) tg(- 45^o)  =

7) cos(-60^o) =

8) =

9) cos2 + sin ² =

10) ( 1 – sin ) ( 1 + sin

11) sin ² + ( 1 – cos ² =

12) sin ctg =

Д	О	Х	И	П	І	Т	Ї	І	С	О	Р
cos60o =	cos		sin30o =	sin =	-1	2cos	cos	2sin 2		cos 2	cos 2

« ПОДИХ ІСТОРІЇ»

3) Екскурсія в минуле « Подих історії» (слайд 1)( підготовлені учнями повідомлення)

Учениця1.Слово “тригонометрія” в перекладі з грецької означає “вимірювання трикутників”.

Термін “тригонометричні функції” ввів німецький математик Георг Клюгель (1739-1812), який визначив тригонометричні функції як відношення сторін трикутника.(слайд 2)

 Синус і косинус першими ввели індійські вчені. В Індії, по суті, і зароджується вчення про тригонометричні величини, яке пізніше було названо гоніометрією (“гоніа” – кут, “метрео” - вимірюю).

Синус - латинський переклад арабського слова «джайб» - пазуха, виріз сукні. Це слово походить від індійського «джива» - тятива лука, хорда. Саме так називали синус в давньоіндійських математичних трактатах. Косинус - від латинського «компліментарі»  синуса ‒ додатковий синус.(слайд 3)

Подальший розвиток вчення про тригонометричні величини отримало в IX-XV століттях у країнах Середнього і Близького Сходу. Ал-Хабаш, Абу-л-Вафа, Ал-Баттані, ал-Біруні та інші вводять нові тригонометричні величини: тангенс, котангенс, секанс, косеканс, встановлюють основні співвідношення між ними, використовують їх під час різних обчислень.(слайд 5)

Цікавим є той факт, що поняття “тангенс” і “котангенс”, як і перші таблиці цих величин, з’явились не внаслідок розгляду тригонометричного кола, а із вчення про сонячний годинник. У давнину час вивчали за сонячним годинником. Вивчаючи залежність довжини тіні будівлі від кута нахилу сонячних променів, математики винайшли дві нові тригонометричні функції. Тангенс  – у перекладі з латинської «дотичний». Тангенс, як тінь вертикальної жердини, був введений арабським математиком Абу-ль-Вафой у Х ст.

Тригонометрія розглядається як самостійний, незалежний від астрономії, розділ математики  у праці німецького математика   Регіомонтана  «П’ять книг про трикутники всіх видів»(1462 - 1466).( слайд6)

Зміст курсу тригонометрії складався до початку XVIII століття, але сучасна форма її викладу і загальноприйнята тепер символіка встановились лише з часів Ейлера, тобто в другій половині XVIII століття, зокрема, у 1748 році в його праці “Вступ до аналізу нескінченно малих”.

Цей вчений за походженням швейцарець. Він довгий час працював у Росії, був членом Петербурзької академії наук. Він першим увів відомі означення тригонометричних функцій, почав розглядати функції довільного кута, вивів формули зведення. Велика заслуга Ейлера полягає в тому, що він систематизував тригонометрію.

ІІ  учень .  Тригонометрія довгий час розвивалась, як частина геометрії, в зв’язку з потребою в астрономів розв’язувати задачі певного виду (передбачення затемнень). Астрономів цікавили співвідношення між сторонами і кутами сферичних трикутників, складених з великих кругів, що лежать на сфері.

Сьогодні тригонометрія розглядається як дисципліна, що вивчає тригонометричні функції та їх застосування. Застосування тригонометричних функцій відіграє важливу роль в геометрії, при вивченні комплексних чисел, при розв’язуванні рівнянь, при вивченні коливальних процесів, при вивченні функцій загального вигляду (наприклад, ряди Фур’є).( слайд

Потребують знання тригонометрії природничі науки. Розвиток вчення про коливальні рухи, звукові, світлові, електромагнітні хвилі привів до того, що одним з основних завдань тригонометрії стало вивчення та опис коливальних процесів. Використання тригонометрії у фізиці. (слайд

Функція "синус" є найбільш поширеною тригонометричною функцією в галузі хімії. Один із варіантів використання хіміками тригонометрії  є опис кутів молекулярних зв'язків.

 Хіміки часто використовують дані, отримані з мас-спектрометричного аналізу різних хімічних речовин. Мас-спектрометр являє собою пристрій, який аналізує присутність різних молекул в речовині, і подає ці дані у вигляді хвилі.

При створені геодезичних мереж використовують : тріангуляцію, трилатерацію.

В останні десятиріччя в зв’язку з швидким розвитком супутникової геодезії впроваджено новий метод створення геодезичних мереж з використанням супутникових радіонавігаційних систем GPS (Global Position Station). В цьому методі положення кожного пункту геодезичної мережі визначається незалежно від інших пунктів мережі за результатами спостережень штучних супутників Землі.

ІІІ. Мотивація навчальної діяльності.

 В математиці й техніці досить часто доводиться перетворювати суму або різницю двох тригонометричних функцій на добуток. Питання актуальне при розв’язуванні рівнянь, завдання уроку вивчити формули перетворення та навчитись «бачити» ситуації їх застосування.

ІV. Пояснення нового матеріалу . Учитель наводить доведення формули перетворення суми синусів двох кутів на добуток.

Доведення формули для знаходження суми синусів двох кутів.

sin(x +у) = sinx cos у +cosx sin у

sin(x -у) = sinx cos у -cosx sin у    додамо дані рівняння та зробимо підстановку.

х + у = ; х – у =   Маємо, sin + sin = 2 sin  cos .

Сума синусів двох кутів дорівнює подвоєному добутку синуса півсуми цих кутів на косинус  їх піврізниці.

Аналогічно міркуючи отримуємо формули різниці синусів, сума та різниці косинусів. Учні самостійно записують та опрацьовують формули.

 sin α sin β = 2 sin  cos

Різниця  синусів двох кутів дорівнює подвоєному добутку синуса піврізниці цих кутів на косинус  їх півсуми.

 cos + cos = 2 cos  cos .

Сума косинусів двох кутів дорівнює подвоєному добутку косинуса півсуми цих кутів на косинус  їх піврізниці.

cos - cos =  2 sin  sin .

Різниця косинусів двох кутів дорівнює  взятому із знаком « мінус» подвоєному добутку синуса півсуми цих кутів на синус  їх піврізниці.

Учні із достатньою математичною підготовкою виводять самостійно  суму та різницю тангенсів.(один із учнів біля дошки)

tg + tg = ;         tg tg = .( на кожній парті таблиці)

Повідомлення вчителя. Косинус – функція категорична, строга. У своїх формулах він завжди відокремлює: косинуси - окремо, синуси – окремо, та ще й змінює знак. Це схоже на розділ хлопчиків та дівчаток по різних школах, яке було в XIX ст.

Синус – функція поступлива, демократична. Вона завжди сполучає синус із косинусом та зберігає знак. Так, як у сучасних школах хлопчики навчаються разом із дівчатками.

V. Застосування вмінь, знань та навиків.( робота в групах, під контролем учня з достатнім рівнем досягнень)

1.sin 32^о + sin28^о 2 sin30^о cos 2^o= cos 2^o ,

2. sin 55^о – sin25^о 2 sin15^о cos 40^o,

3. cos 52^o + cos18^o  = 2cos35^o cos17^o,

4. cos 78^o – cos18^o  = - 2sin30^o sin48^o  = - cos 48^o,

5.tg2 + tg = = .

VI. Усне розв’язування прикладу: Спростити вираз    .

Колективне розв’язання із коментуванням     sin 15^о – cos 65^о

VIІ. Застосування вмінь, знань та навиків. Диференційовані завдання

ПР Записати у вигляді добутку тригонометричних функцій:

1.  sin3α + sinα 2 sin    cos    =

 

2. sinβ – sin5β 2 sin    cos    =

 

3.    cos 2х+ cos4х  = 2 cos    cos    =

 

4.    cos у – cos3у  =  - 2 sin    sin  =

 

5.    tg2β + tg5β = = =

 

СР. № 935( 1 ст)   ДР . №939,       ВР.№943(4)

Домашнє завдання. п.43.вивчити формули

СР. № 936( 1 ст)   ДР . №936,940       ВР.№938(1.2),940,944(5)

Підсумок уроку. Існує легенда, за якою деякий султан попросив мудреця навчити його, як  завойовувати весь світ? Мудрець приніс султану шахи і порадив, перш чим вирушати на реальну битву, навчитися вигравати  битви ігрові.

Тригонометрія навчає бачити прихований зміст в ситуації, вказує шляхи розв’язку, робить вибір, розраховує стратегію на декілька кроків вперед, «падати і знов підніматись»….

Це потрібно всім і менеджеру, і економісту,і фінансисту, і програмісту, і політику, і керівнику та представникам інших професій.

Скласти простір результативності своєї роботи.

Використана література:

1. Збірник програм з математики для профільної підготовки та профільного навчання(у двох частинах). Ч.П. Профільне навчання/ Упоряд. Н.С. Прокопенко, О.П. Вашуленко, О.В. Єргін. - Х.: Вид-во «Ранок»2011
2. Бабенко С.П. Усі уроки алгебри і початків аналізу. 10 клас. Академічний рівень. – Х.: Вид.група «Основа», 2010.
3. Мерзляк А.Г. Алгебра і початки аналізу : підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів : проф.. рівень – Х . :Гімназія, 2010
4. Алгебра: Підруч. для 9 кл.серед. шк../ Ю.М. Макаревич, Н.Г.Миндюк, К.І.Нєшков -. : Рад.шк.,1991
5. Математика в школах України №34-36грудень 2014. «По тригонометрии с поводырем» Молчанова Т.В.