Тим, хто вчить математику,
Тим, хто вчить математики,
Тим, хто любить математику,
Тим, хто знає математику,
Тим, хто ще не знає,
Що він любить математику
Числа — це невід’ємне знаряддя сучасної цивілізації, що використовується для впорядкування сфери її діяльності.
Ф. Дейвіс
Підготувала
вчитель математики та інформатики
Поберезького навчально-виховного комплексу
Пушко Орися Володимирівна
Дільником числа називають таке число, на яке ділиться дане число.
Кратним числа називають таке число, яке ділиться на дане число.
Зверніть увагу! Кожне натуральне число, починаючи з числа 2, має принаймні два дільникки – число 1 і саме це число. Інші дільники шукають за спеціальними правилами.
Просте число – має лише два дільники (1 і самого себе)
Складене число – має більше, ніж два дільники.
Властивості:
Решето Ератосфена
|
2 |
3 |
|
5 |
|
7 |
|
|
|
11 |
|
13 |
|
|
|
17 |
|
19 |
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
29 |
|
ЗАДАЧІ
1) Скільки школярів могло їхати до школи у вівторок якщо це число ділиться на 2 і 5?
2)В четвер на районні змагання по баскетболу їхала шкільна команда. Яка була кількість учнів у автобусі, якщо це число більше за 6, менше за 16 і кратне 2 і 3?
Парні числа – числа, що кратні 2.
Парні цифри – це 0, 2, 4, 6, 8.
2п – формула парного числа
де п – деяке натуральне число.
Непарні числа – числа, що не діляться на 2.
2п – 1 – формула непарного числа
де п – деяке натуральне число.
Ознака подільності на 2: на 2 діляться ті і тільки ті числа, запис яких закінчується парною цифрою.
Ознака подільності на 10: на 10 діляться ті і тільки ті числа, запис яких закінчується цифрою 0.
Ознака подільності на 5: на 5 діляться ті і тільки ті числа, запис яких закінчується або цифрою 5, або цифрою 0.
Зверніть увагу! Серед чисел, які діляться на 5, парні числа діляться і на 10, а непарні – ні.
Ознака подільності на 4: число ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли на 4 ділиться число, утворене двома останніми цифрами даного числа.
Ознака подільності на 8: число ділиться на 8 тоді і тільки тоді, коли на 8 ділиться число, утворене трьома останніми цифрами даного числа.
Ознака подільності на 25: число ділиться на 25 тоді і тільки тоді, коли на 25 ділиться число, утворене двома останніми цифрами даного числа.
Ознака подільності на 125: число ділиться на 125 тоді і тільки тоді, коли на 125 ділиться число, утворене трьома останніми цифрами даного числа.
Захоплення Софії Ковалевської
наукою почалося ще з раннього дитинства, коли через брак шпалер батьки обклеїли кімнату дівчинки листками з лекціями вченого-математика. Так Софія познайомилася з диференціальним й інтегральним численням.
ЗАДАЧІ
Ознака подільності на 9: на 9 діляться ті і тільки ті числа, сума цифр яких ділиться на 9.
Наприклад:
387 ділиться на 9, бо 3 + 8 + 7 = 18 9
Ознака подільності на 3: на 3 діляться ті і тільки ті числа, сума цифр яких ділиться на 3.
Наприклад:
831 ділиться на 3, бо 8 + 3 + 1 = 12 3
а 12, якщо число а ділиться на 3 і 4;
а 15, якщо число а ділиться на 3 і 5;
а 18, якщо число а ділиться на 2 і 9.
А чи знаєте ви , що англійська королева , прочитавши книгу Льюїса Керрола « Аліса в країні чудес» , так зацікавилась нею , що наказала принести їй всі книжки цього письменника , але була розчарована , тому що в інших книгах були математичні формули.
ЗАДАЧІ
Кожне складене число можна розкласти на 2 чи більше простих множників.
15 = 5 • 3; 24 = 2 • 2 • 2 • 3 = 23 • 3.
Розклад числа на множники, у якому всі множники – прості числа, називається розкладом числа на прості множники.
Щоб розкласти складене число на прості множники, виконуй дії, подібні до прикладу:
2100 2
1050 5
210 5
42 2
21 3
7 7
1 2100 = 22 • 52 3 • 7
Найбільший спільний дільник двох чисел – найбільше натуральне число, на яке ділиться кожне з даних чисел.
НСД (18; 24) = 6
Щоб знайти найбільший спільний дільник потрібно:
НСД (210; 75) = 3 • 5 = 15
Числа взаємно прості, якщо НСД = 1
НСД (6; 25) = 1
6 = 2 • 3; 25 = 5 • 5; 6 і 25 – взаємно прості
А чи знали ви , що квітку гортензію назвали на честь Гортензії Лепот, відомої обчислювальниці , що складала математичні таблиці ? Вона привезла цю квітку з Індії
ЗАДАЧІ
Кратне даному числу – це будь-яке натуральне число, яке ділиться на дане натуральне число.
Найменше спільне кратне двох чисел – найменше натуральне число, яке ділиться на кожне з даних чисел.
НСК (9; 12) = 36
Щоб знайти найменше спільне кратне потрібно:
НСК (9; 75) = 32 • 52 = 225
9 3 75 5
3 3 15 5
1 3 3
1
9 = 32; 75 = 3 • 52
НСК двох взаємно простих чисел є добуток цих чисел.
НСК (8; 9) = 72
Основна властивість дробу:
Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля, то одержимо дріб рівний даному.
при с
і
- різні записи одного й того ж дробу
Ділення чисельника і знаменника дробу на їх спільний дільник, відмінний від одиниці, називають скороченням дробу
Правило скорочення дробу:
Щоб скоротити даний дріб, треба:
спільний дільник, що не дорівнює 1.
і результат записати в знаменнику нового дробу.
і результат записати в знаменнику нового дробу.
Нескоротний дріб – чисельник і знаменник дробу
взаємно прості числа
- нескоротний дріб
Американський вчений Джордж Данциг, навчаючись в університеті, немало здивував тамтешніх професорів. Одного разу, запізнившись на лекцію, він застав тільки порожню аудиторію зі списаної дошкою. Студент подумав, що на ній залишено домашнє завдання, акуратно переписав його і пізніше приніс готовий розв’язок. Виявилося, це були два рівняння статистики, які доти ще ніхто не розв’язував.
ЗАДАЧІ
Звести дріб до нового знаменника означає помножити його чисельник і знаменник на одне й те саме число.
Наприклад: записати дріб із знаменником 12
- потрібно 12 : 4;
або із знаменником 24
- потрібно 24 : 4.
Числа 3 і 6, на які ми множили чисельники і знаменники називаються додатковими множниками.
Зверніть увагу!
Найменшим спільним знаменником двох дробів називають найменше спільне кратне знаменників цих дробів.
Щоб звести дроби до найменшого спільного знаменника, потрібно:
і
зведемо до найменшого спільного знаменника
;
.
7 і 5 – додаткові множники.
Щоб порівняти дроби з різними чисельниками і знаменниками, досить звести їх до спільного знаменника і порівняти одержані дроби.
ЗАДАЧІ
Щоб додати або відняти дроби з різними знаменниками, потрібно:
Закони додавання:
ЗАДАЧІ
Чи знаєте ви, чому рівна сума всіх цілих чисел від 1 до 100? Розповідають, що коли 9-річному Гаусу (видатний німецький математик) учитель запропонував знайти суму всіх цілих чисел від 1 до 100, то маленький Гаус сам зрозумів, яким способом можна дуже швидко виконати цю операцію. Треба складати перше число з останнім, друге з передостаннім і т. д. Сума кожної такої пари чисел дорівнює 101 і повторюється вона 50 разів. Отже, сума всіх цілих чисел від 1 до 100 буде дорівнює 101 * 50 = 5050.
Добутком двох звичайних дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників цих дробів, а знаменник - добутку їх знаменників.
- і, якщо можна скоротіть.
До спільного знаменника зводити не треба!
Щоб помножити дріб на ціле число, достатньо його чисельник помножити на це число, а знаменник залишити без зміни.
Щоб помножити мішані дроби, потрібно перетворити ці дроби в неправильні і застосувати правило множення дробів.
Властивості множення:
ЗАДАЧІ
Правило 1. Щоб поділити один дріб на інший, досить ділене помножити на число, обернене до дільника.
Наприклад:
Зверніть увагу! Якщо 1 поділити на дріб, то тримаємо дріб, обернений до даного.
Наприклад: 1 :
Правило 2. Щоб знайти число за його дробом, потрібно дане число, що виражає частину шуканого, поділити на цей дріб.
Правило 3. Щоб поділити мішані дроби, потрібно перетворити ці дроби в неправильний дріб і виконати ділення двох дробів.
Наприклад:
ЗАДАЧІ
Наполеон Бонапарт писав математичні роботи і один геометричний факт називається «Задача Наполеона».
ПРОПОРЦІЯ ТА ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ
Відношенням двох чисел називають частку цих чисел.
Записують: a:bабо
де аі b – члени відношення
Відношення вказує, у скільки разів одне число більше від іншого, або яку частину становить одне число від іншого.
4 : 6 = 2 : 3
Основна властивість відношень:
відношення не зміниться, якщо кожне з чисел відношення помножити або поділити на одне й те ж, відмінне від нуля, число.
1,5 : 2,5 = 15 : 25 = 3 : 5.
Пропорція – рівність двох відношень.
a : b = c : dабо
a, d – крайні члени пропорції
b, c – середні члени пропорції
Основна властивість пропорції:
У правильній пропорції добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів і навпаки.
ad = bc
Щоб знайти крайній член пропорції, потрібно добуток її середніх членів поділити на інший крайній член.
Щоб знайти середній член пропорції, потрібно добуток її крайніх членів поділити на інший середній член.
Правило: якщо в правильній пропорції поміняти місцями середні члени або крайні члени, то отримаємо нові правильні пропорції.
a : c = b: d;d: b = c : a;
d: c = b: a
Г.Ф. Вороний належить до когорти найвідоміших українських математиків минулого. Визнаний фахівцями як один із найяскравіших талантів у галузі теорії чисел на межі ХІХ-ХХ століть, Г.Ф. Вороний за своє життя встиг надрукувати всього дванадцять статей. Але яких! Вони дали поштовх для розвитку кількох нових напрямів в математиці, які нині активно розвиваються у багатьох країнах.
ЗАДАЧІ
Пряма пропорційність– цепропорційність, при якій при збільшенні (зменшенні) однієї величини у кілька разів, інша величиназбільшується (зменшується)у стільки ж разів.
Зверніть увагу!
Якщо дві величини прямо пропорційні, то пропорцію утворюють відношення відповідних значень цих величин.
Обернена пропорційність–цепропорційність, при якій при збільшенні (зменшенні) однієї величини у кілька разів,інша величиназменшується (збільшується) у стільки ж разів.
Зверніть увагу!
Якщо дві величини обернено пропорційні, то пропорцію утворюють взаємно обернені відношення відповідних значень цих величин.
Коефіцієнт пропорційності – число, яке дорівнює значенню відношення пропорції.
Позначають: k – коефіцієнт пропорційності
Масштаб карти – це відношення довжини відрізка карти до довжини відповідного відрізка на місцевості.
М 1 : 1000
Це означає: 1 см на карті відповідає 1000 см на місцевості
ЗАДАЧІ
m, кг |
3 |
8 |
|
1,2 |
|
р, грн |
225 |
|
300 |
|
60 |
t, год |
2 |
0,5 |
|
3,2 |
|
s, км |
90 |
|
240 |
|
156 |
Випадкова подія – це явище, про яке можна сказати, що воно відбудеться чи не відбудеться за певних умов.
Позначають: А, В, С.
Випробування – це експеримент, під час якого відбувається подія.
Зверніть увагу!Усі можливі результати випробування утворюють сукупність подій, проте випробування завершується настанням лише однієї із цих подій.
Достовірна подія – це подія, яка в результаті випробування неодмінно має статися.
Неможлива подія – подія, яка внаслідок випробування не може відбутися.
Несумісні події – якщо поява однієї з них виключає появу другої.
Рівноможливі події – якщо в результаті випробування поява кожної з них є однаково можливою порівняно з іншими.
Ймовірність події – це кількісна характеристика можливості настання цієї події в ході випробування.
Ймовірністю подіїА називається відношення кількості т сприятливих для А подій до кількості п усіх рівноможливих у даному випробуванні подій:
.
Зверніть увагу!
А чи знаєте ви, що першим запропонував метод нумерації стільців у театрі за рядами і стільцями Рене Декарт? Аристократи-театрали не переставали докучати королю з проханнями нагородити вченого. Але той опирався, відповідаючи: «Так, те що придумав Декарт - чудово, так, воно достойне ордена! Але дати його філософу?! Ні, це : занадто!»
ЗАДАЧІ
1) виявиться синьою, дорівнює ;
2) виявиться червоною, дорівнює ?
7. У коробці лежать 3 зелених і 6 синіх куль. Яку найменшу кількість куль треба вийняти навмання, щоб ймовірність того, що серед вийнятих куль хоча б одна буде зеленого кольору, дорівнювала 1?
8. Кожну з граней кубика пофарбовано в один із двох кольорів — синій або жовтий. Ймовірність того, що при киданні кубика випаде синя грань, дорівнює. Скільки синіх і скільки жовтих граней у кубика?
Правило: Щоб знайти число х, яке становитьd числа а, складають пропорцію:
а – 100%
х – d
Правило: Щоб знайти число х за його частиною b, яке становитьd, складають пропорцію:
х – 100%
b – d
Правило: Щоб знайти відсоткове відношення двох чисел а і b, складають пропорцію:
а – 100%
b – х
Правило: Щоб знайти зміну відсотка х за зміною числа а до числа b, складають пропорцію:
а – 100% 100 +
b – (100 + х)
Правило: Щоб знайти число х, яке змінилося до числа b, за його відсотковою зміною п, складають пропорцію:
х – 100%
b – (100 + п)
Правило: Щоб знайти відсоткове відношення двох чисел а і а + п за зміною а на п, складають пропорцію:
а – 100%
а + п – х
ЗАДАЧІ
А чи знаєте ви, що знаменитий Фалес був уболівальником і помер на трибуні Олімпійського стадіону, спостерігаючи за кулачним боєм Піфагора?
А точка О – центр кола;
В О С відрізок ОА – радіус кола, R;
відрізок ВС – діаметр кола, D.
Коло – це фігура, усі точки якої знаходяться на однаковій відстані від однієї точки, яка називається центром кола.
Діаметр кола – це відрізок, який сполучає дві точки на колі і проходить через центр.
D = 2R.
Діаметр кола удвічі більший від радіуса цього кола.
Дуга кола – це частина кола, яка знаходиться між двома точками, що лежать на колі.
– дуги кола.
– півколо
;
3,1415…;
Довжина кола дорівнює добутку числа й діаметра.
або
Круг – внутрішня частина кола.
Центр, радіус, діаметр кола – центр, радіус, діаметр круга.
Сектор – частина круга, обмежена двома радіусами і дугою круга.
Увага!
Діаметр розбиває круг на дві рівні частини, які називають півкругами.
Формула площі круга:
ЗАДАЧІ
Багато чого встиг зробити він за своє життя. Головна праця «Початки». У ній підвелено підсумки попереднього стану грецької математики, створено фундамент для її розвитку. «Початки» складаються з 13 книг. Перша містить найважливіші положення про фігури, їхні сторони , кути і площі, про перпендикулярні прямі, паралелограми та їх площі. В інших можна знайти теорію раціональних величин і цілих чисел, дано основи елементарної стереометрії. Одного разу цар Птолемей запитав у Евкліда, чи немає в геометрії коротшого шляху для її вивчення, ніж той, що пропонує він. На що вчений відповів: «Для царів немає окремого шляху в геометрії»
Для наочного зображення частин цілого або співвідношення величин використовують діаграми.
Види діаграм: кругова і стовпчаста.
Для побудови кругової діаграми ціле зображують кругом, а окремі частини цілого – секторами.
Для побудови стовпчастої діаграми величини, що порівнюють, зображують у вигляді стовпчиків, величина яких або дорівнює даним величинам, або пропорційна до них.
Циліндр можна утворити, якщо обертати прямокутник навколо однієї сторони.
Бічна поверхня циліндра – це поверхня, яку описує твірна під час обертання.
Повна поверхня циліндра = бічна поверхня + дві площі основи.
Конус можна утворити, якщо обертати прямокутний трикутник навколо однієї сторони, що утворює кут 90.
Бічна поверхня конуса – це поверхня, яку описує твірна під час обертання.
Повна поверхня конуса = бічна поверхня + площа
основи.
Куля – це обертання круга навколо діаметра.
Сфера – це поверхня кулі.
Тіла обертання – циліндр, конус, куля.
"Основоположник математичної культури нашого народу", - так сказав про Володимира Левицького академік Михайло Кравчук. Великою заслугою В. Левицького було те, що він зібрав і впорядкував матеріали з української математичної термінології, що була надрукована в 1903 р. Основною ділянкою наукової роботи професора В. Левицького була теорія аналітичних функцій. Він займався також геометрією, алгеброю, диференціальними рівняннями та історією математики. Багато уваги приділяв теоретичній фізиці та астрономії.
ЗАДАЧІ
М. Кравчук - автор понад 180 робіт, в тому числі 10 книг із різних розділів математики (алгебра і теорія чисел, теорія функцій дійсної і комплексної змінних, теорія диференціальних та інтегральних рівнянь, теорія ймовірностей і математична статистика, історія математики тощо.) Ці наукові праці увійшли до скарбниці світової науки. Тепер існують на сторінках наукових досліджень многочлени Кравчука, моменти Кравчука, осцилятори Кравчука. А ось від 2001 р., завдяки пошукам Івана Качановського, українського науковця зі США, виявилося, що наукові твори М. Кравчука прислужилися і до винаходу першого в світі електронного комп'ютера!
Числа зі знаком «+» називають додатними.
Числа зі знаком «-» називають від’ємними.
Число 0 відділяє додатні числа від від’ємних.
0 – ні від’ємне, ні додатне.
Увага! Будь-яке натуральне число є додатним.
Застосування:
від’ємні числа додатні числа
С О А В
-3 0 1 3 х
точка О – початок відліку;
ОА – одиничний відрізок.
Координатна пряма – це пряма з вибраним на ній початком відліку, одиничним відрізком і вказаним додатним напрямом.
Координата точки – число, яке показує положення точки на координатній прямій.
О (0); А (1); В (3); С (-3).
Увага!Кожній точці на координатній прямій відповідає єдина координата.
ЗАДАЧІ
А О В
-3 0 1 3 Х
Модуль числа – це відстань від початку відліку до точки, яка зображує це число.
Протилежні числа – числа, які відрізняються один від одного лише знаком, але мають рівні модулі.
5 і -5; 4 і -4; а і –а; 0 – протилежне самому собі
Властивості модуля числа:
Натуральні числа – числа, які використовуються для лічби предметів.
N = 1; 2; 3; 4;…
Цілі числа – натуральні числа, протилежні їм числа і число 0.
Z = {… -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}
Раціональні числа – цілі числа, дробові і число 0.
Позначають Q.
34; 2,5; -54; -5,3;
0 – раціональні числа.
Правила:
А О В
-3 -2 0 3 Х
-2 <3; 3 >-2.
-4 < -2, бо
Увага!
Якщо число додатне, то записують:
Якщо число від’ємне, то записують:
Якщо число недодатне, то записують:
Якщо число невід’ємне, то записують:
Правила:
б) Щоб додати два від’ємні числа, треба додати їх модулі і в результаті поставити знак «–».
-3 + (-2) = -5
-5 + 3 = -2; 4 + (-2) = 2.
5 + (-5) = 0
Закони додавання
Переставний Сполучний
ЗАДАЧІ
-10 грн, -300 грн, 460 грн, 530 грн, -1270 грн, -650 грн. Скільки грошей залишилося в касі наприкінці дня?
Правило 1
Щоб від одного числа відняти інше, досить до зменшуваного додати число, протилежне від’ємнику.
- 10 – 2 = - 10 + (- 2) = - 12;
10 – 12 = 10 + (- 12) = -2;
Довжина відрізка
А (-2); В (4)
А О В
-2 0 4 Х
АВ = 4 – (-2) = 6
Правило 2
Щоб знайти довжину відрізка на координатній прямій, потрібно від координати його правого кінця відняти координату лівого кінця.
Архімед за допомогою математичних розрахунків сконстроював силу-силенну всіляких механізмів, що допомогли у війні проти римлян при облозі Сіракуз до такої міри ,що Марцелло вимушений був сказати: «треба припинити війну проти Геометра». Пізніше тільки зрада допомогла римлянам ввійти до Сіракуз. Через давність років історія життя Архімеда тісно переплелася з легендами про нього. Вони почали виникати ще за життя науковця, приводом для них служили його вражаючі винаходи, які здійснювали приголомшливу дію на сучасників.
ЗАДАЧІ
Правило 1. Добуток двох чисел з різними знаками є від’ємним числом, модуль добутку дорівнює добутку модулів множників.
Щоб знайти добуток двох чисел з різними знаками, досить перемножити їх модулі і поставити в результаті знак «–».
-5 3 = - 15; 3 (-5) = - 15.
Правило 2. Добуток двох від’ємних чисел є додатним числом, модуль добутку дорівнює добутку модулів множників.
Щоб знайти добуток двох від’ємних чисел, досить перемножити їх модулі.
-5 (- 3) = 15.
Правило 3
Якщо число а – додатне, від’ємне або 0, то
а 0 = 0.
Друг мого друга – мій друг |
(+1) (+1)= +1 |
Ворог мого друга – мій ворог |
(-1) (+1)= -1 |
Ворог мого ворога – мій друг |
(-1) (-1)= +1 |
Друг мого ворога – мій ворог |
(+1) (-1)= -1 |
Розподільна властивість: для будь-яких раціональних чисел a,bі с справджується рівність:
(a+ b) с = ас +bс
Заміна виразу (a+ b) с на вираз ас +bс називають розкриттям дужок.
-5 (2а + 3b) = -10а – 15b.
Заміна виразу ас +bс на вираз (a + b) с називають винесенням спільного множника за дужки.
3а – 9а + 2а = -4а.
-4 – коефіцієнт
Подібні доданки – мають однакову буквену частину і відрізняються один від одного лише коефіцієнтами.
Правило. Щоб звести подібні доданки, потрібно додати їх коефіцієнти і результат помножити на спільну буквену частину.
4а – 5b + 3 – 2а – 3b= 2а – 8b + 3.
Правила розкриття дужок:
Правило 1
Частка двох чисел з різними знаками є число від’ємне.
Щоб знайти модуль частки двох чисел з різними знаками, потрібно модуль діленого поділити на модуль дільника.
-15 : 3 = - 5; бо -5 3= - 15.
Правило 2
Частка двох від’ємних чисел є додатним числом.
Щоб знайти модуль частки, потрібно модуль діленого поділити на модуль дільника.
-15 : (- 3) = 5, бо 5 (-3) = - 15.
Правило 3
Якщо число а – раціональне число, то
Рівняння – рівність, яка містить невідоме, значення якого треба знайти.
Корінь рівняння – значення невідомого, при якому рівняння перетворюється на правильну числову рівність.
Розв’язати рівняння означає знайти всі його корені або показати, що їх немає.
Властивості рівнянь:
Приклад 1. 4х + 3 = 6х – 5;
4х - 6х = - 5 – 3;
- 2х = - 8;
х = - 8 : (- 2);
х = 4.
Перевірка: Ліва частина: 4 4 + 3 = 16 + 3 = 19.
Права частина: 6 4 – 5 = 24 – 5 = 19.
Відповідь: 4.
Приклад 2. 5(2х - 1) = 4х – 23;
10х – 5 = 4х – 23;
10х - 4х = - 23 + 5;
6х = - 18;
х = - 18 : 6;
х = - 3.
Перевірка:
Ліва частина: 5 (2 (- 3) – 1) = 5 (-6 – 1) = 5 (- 7) = - 35.
Права частина: 4 (- 3) – 23 = - 12 – 23 = -35.
Відповідь: - 3.
Задача 1. У двох бідонах є 36 л молока, до того ж, у першому бідоні молока в 1,4 разу більше, ніж у другому. Скільки молока в кожному бідоні?
Нехай х л – молока в другому бідоні, а 1,4х л – молока в першому бідоні. Тоді за умовою задачі будемо мати рівняння:
х + 1,4х = 36;
2,4х = 36;
х = 36 : 2,4;
х = 15.
1,4 15 = 21 (л).
Відповідь: 21 л, 15 л.
Задача 2. На трьох полицях стоїть 129 книжок, до того ж, на другій полиці на 15 книжок більше, ніж на першій, а на третій – на 12 книжок менше, ніж на першій. Скільки книжок стоїть на кожній полиці?
Нехай х – книжок на першій полиці, (х + 15) – книжок на другій полиці, а (х - 12) – на третій полиці. Тоді за умовою задачі будемо мати рівняння:
х + (х + 15) + (х - 12) = 129;
х + х + 15 + х – 12 = 129;
3х + 3 = 129;
3х = 129 - 3;
3х = 126;
х = 126 : 3;
х = 42.
42 + 15 = 57 (книжок); 42 – 12 = 30 (книжок).
Перевірка: 42 + 57 + 30 = 129 (книжок).
Відповідь: 42, 57 і 30 книжок.
Давньогрецький математик Піфагор брав участь у кулачному бою на 58 Олімпіаді, яка проходила в 548 р. до н. е. Він був чемпіоном з цього виду спорту і утримував цей титул ще на кількох олімпіадах. Чи знаєте ви, що теорему Піфагора називали «ослячим мостом»? Учнів, що запам’ятовували теорему без розуміння, називали віслюками, оскільки вони не могли перейти через міст — теорему Піфагора.
ЗАДАЧІ
З ’ясуйте, о котрій годині в першій діжці було в 4 рази менше води, ніж у другій.
а
b
Дві прямі називають паралельними, якщо вони не перетинаються і лежать в одній площині.
а b
Властивість:через кожну точку, яка не належить даній прямій, можна провести тільки одну пряму, паралельну даній.
с А
b
а
В
C D
A
Дві прямі називають перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.
ABCD
Властивість:через кожну точку прямої можна провести перпендикулярну до неї пряму і до того ж тільки одну. b
А
Михайлу Остроградському належить одне з найпочесніших місць в історії світової математичної науки. Непересічний талант, сміливий і гострий розум, висока математична ерудиція, знання сучасного природознавства дозволили Михайлу Васильовичу зробити першорядні відкриття в багатьох галузях математики і механіки. Діапазон наукової творчості Остроградського надзвичайно широкий: диференціальне та інтегральне числення, алгебра, теорія чисел, диференціальна геометрія, теорія ймовірностей, математична фізика, варіаційне числення, аналітична механіка, теорія удару, балістика тощо.
Прямокутна система координат – дві взаємно перпендикулярні прямі з вибраними одиничними відрізками і напрямами.
ОХОУ;
точка О – початок відліку
ОХ – вісь абсцис
ОУ – вісь ординат
Координатна площина – площина, на якій задано прямокутну систему координат.
Координати точки показує положення точки на координатній площині.
А (3; 4) – координати точки.
Абсциса точки – перша координата
Ордината точки – друга координата
Увага!
Якщо точка лежить на абсцисі, то її ордината дорівнює нулю.
Якщо точка лежить на ординаті, то її абсциса дорівнює нулю.
Осі координат розбивають площину на 4 частини, які називають координатними чвертями.
ІІ у І
чверть чверть
(-; +) (+; +)
О х
ІІІ ІV
чверть чверть
(-; -) (+; -)
Юрій Львович Далецький – всесвітньо відомий математик, гордість вітчизняної науки. Основні праці вченого присвячені дослідженню сучасних проблем математичного аналізу, теорії ймовірностей, теорії диференціальних рівнянь і математичної фізики. Ним написано біля 200 наукових праць, серед них значну частину складають ґрунтовні статті та монографії, які перекладено англійською мовою. До скарбниці світової літератури з математики і теоретичної фізики увійшла важлива формула Далецького-Троттера про мультиплікативне представлення еволюційного інтеграла. За вагомий внесок у розвиток національної освіти академіку НАН України Ю.Л.Далецькому присвоєно почесне звання - Заслужений діяч науки і техніки України.
Зміст
Дільники і кратні натурального числа.
Ознаки подільності на 2, 10, 5
Розкладання чисел на прості множники. Найбільший спільний дільник
Зведення дробів до спільного знаменника. Порівняння дробів
Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками
Знаходження числа за його дробом
Відношення та його властивості.
Пряма та обернена пропорційні залежності. Поділ числа в даному відношенні. Масштаб
Додатні та від’ємні числа. Число 0.
Порівняння раціональних чисел.
Рівняння. Основні властивості рівнянь.
Застосування рівнянь до розв’язування задач
Пралельні та перпендикулярні прямі
Розв'язування задач є найхарактернішим і найспецифічнішим різновидом вільного мислення. (В. Джеймс)
За допомогою логіки доводять, за допомогою інтуїції винаходять. (А. Пуанкаре)
Жодна інша наука не навчає так ясно розуміти
гармонію природи, як математика…
(П. Карус)
Математика і поезія – це… вираз тієї самої сили уяви, тільки в першому разі уява повернена до голови, а в другому – до серця.
(Т. Хілл)
1