Методична розробка – Довідник з геометрії, 7 клас НУШ

             ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ. ТОЧКА, ПРЯМА, ПРОМІНЬ

•  Яка б не була пряма, існують точки, які їй належать, і точки, які їй не належать.

•  Через будь-які дві точки можна провести пряму і до того ж тільки одну.

•  З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими.

•  Відрізок - частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома її точками, разом із цими точками. Ці точки кінці відрізка.

•  Кожний відрізок має певну довжину, більшу за нуль.

•  Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його внутрішньою точкою.

•  Два відрізки рівні між собою, якщо рівні їхні довжини. 

•  Kym це геометрична фігура, яка складається з двох променів, що виходять з однієї точки.

•  Кожний кут має певну градусну міру, більшу за нуль. Розгорнутий кут дорівнює 180°.

•  Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.

•  Два кути рівні між собою, якщо в них однакові градусні міри.

•  Бісектриса кута - промінь, який виходить з його вершини і ділить кут навпіл.

•  Два кути суміжні, якщо одна сторона в них є спільною, а дві інші сторони цих кутів є доповняльними променями.

ВЛАСТИВІСТЬ СУМІЖНИХ КУТІВ

•  Сума суміжних кутів дорівнює 180°.

•  Два кути вертикальні, якщо сторони одного з них є доповняльними променями сторін другого.

ВЛАСТИВІСТЬ ВЕРТИКАЛЬНИХ КУТІВ

•  Вертикальні кути рівні.

•  Кут між прямими, що перетинаються, утворилися при перетині цих прямих.

менший з кутів, що

•  Дві прямі перпендикулярні, якщо вони перетинаються під прямим кутом.

•  Через будь-яку точку площини проходить лише одна пряма, перпендикулярна до даної прямої.

Перпендикуляр до прямої, проведений з даної точки, - відрізок прямої, перпендикулярної до даної, один з кінців якого - дана точка, а другий точка перетину прямих. Довжина цього відрізка - відстань від точки до прямої.

•  Дві прямі на площині паралельні, якщо вони не перетинаються.

АКСІОМА ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ

• Через точку, що не лежить на даній прямій, проходить тільки одна пряма, паралельна даній.

КУТИ, УТВОРЕНІ ПРИ ПЕРЕТИНІ ДВОХ ПРЯМИХ СІЧНОЮ: 

внутрішні односторонні кути: 4 і 5; 3 і 6;  внутрішні різносторонні кути: 4 і 6; 3 і 5;  відповідні кути: 1 і 5; 2 і 6; 3 1 7; 4 і 8.

ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ

•        Якщо при перетині двох прямих січною відповідні кути рівні між собою, то прямі паралельні.

•        Якщо при перетині двох прямих січною внутрішні різносторонні кути рівні між собою, то прямі паралельні.

•        Якщо при перетині двох прямих січною сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то прямі паралельні. Дві прямі, перпендикулярні до третьої прямої, паралельні.

ВЛАСТИВІСТЬ ПАРАЛЕЛЬНИХ ПРЯМИХ

•  Відповідні кути, що утворилися при перетині паралельних прямих січною, між собою рівні.

•  Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні одна од ній.

ВЛАСТИВОСТІ КУТІВ, УТВОРЕНИХ ПРИ ПЕРЕТИНІ ПАРАЛЕЛЬНИХ ПРЯМИХ СІЧНОЮ

•        Внутрішні різносторонні кути, утворені при перетині паралельних прямих січною, між собою рівні.

•        Сума внутрішніх односторонніх кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною, дорівнює 180°.

•        Трикутник - фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які сполучають ці точки.

•        Геометричні фігури - рівні між собою, якщо їх можна сумістити накладанням.

Перша ознака рівності трикутників. 

Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні між собою.

Друга ознака рівності трикутників. 

Якщо сторона і два прилеглих до неї кути одного трикутника дорівнюють відповідно стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні між собою.

Третя ознака рівності трикутників. 

Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні між собою.

•    Трикутник рівнобедрений, якщо в нього дві сторони рівні. 

•    Трикутник, усі сторони якого мають різні довжини, - різносторонній.

•    Трикутник рівносторонній, якщо в нього всі сторони рівні.

ВЛАСТИВІСТЬ КУТІВ РІВНОБЕДРЕНОГО ТРИКУТНИКА

 У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.

ОЗНАКА РІВНОБЕДРЕНОГО ТРИКУТНИКА

Якщо в трикутнику два кути між собою рівні, то він рівнобедрений.

•        Медіана трикутника - відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

•        Бісектриса трикутника, відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає вершину трикутника з точкою протилежної сторони.

•        Висота трикутника - перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить його протилежну сторону.

 ВЛАСТИВІСТЬ БІСЕКТРИСИ РІВНОБЕДРЕНОГО ТРИКУТНИКА 

У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, є медіаною і висотою.

Сума кутів трикутника дорівнює 180°.

• Зовнішній кут трикутника - кут, суміжний з кутом цього трикутника.

ВЛАСТИВІСТЬ ЗОВНІШНЬОГО КУТА ТРИКУТНИКА

Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним.

У трикутнику:

1)  проти більшої сторони лежить більший кут; 

2)  проти більшого кута лежить більша сторона.

• Сторона прямокутного трикутника, яка лежить проти прямого кута, - гіпотенуза, а дві інші сторони катети.

ВЛАСТИВОСТІ ПРЯМОКУТНИХ ТРИКУТНИКІВ

1.  Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.

2.  Гіпотенуза прямокутного трикутника більша за будь-який з його катетів.

3.  Катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи.

4.  Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета, дорівнює 30°.

5.  У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи.

ОЗНАКИ РІВНОСТІ ПРЯМОКУТНИХ ТРИКУТНИКІВ

•              Якщо катети одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катетам іншого, то такі трикутники рівні між собою.

•              Якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету і прилеглому до нього куту іншого, то такі трикутники рівні між собою.

•              Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі й гострому куту іншого, то такі трикутники рівні між собою.

•              Якщо катет і протилежний йому кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету і протилежному йому куту іншого, то такі трикутники рівні між собою.

•              Якщо катет і гіпотенуза одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катету і гіпотенузі іншого, то такі трикутники рівні між собою.

НЕРІВНІСТЬ ТРИКУТНИКА

Кожна сторона трикутника менша від суми двох інших його сторін.

Кожна зі сторін трикутника більша за різницю двох інших його сторін.

•  Коло - геометрична фігура, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від заданої точки.

•  Хорда - відрізок, що сполучає дві точки кола. Діаметр хорда, що проходить через центр кола.

•  Круг - коло разом з його внутрішньою областю.

•  Центр, радіус, діаметр, хорда круга — відповідно центр, радіус, діаметр, хорда кола, яке є межею даного круга.

ВЛАСТИВОСТІ ЕЛЕМЕНТІВ КОЛА

Діаметр є найбільшою з хорд.

Діаметр з будь-якої точки кола видно під прямим кутом. 

Діаметр кола, перпендикулярний до хорди, ділить її навпіл.

 Діаметр кола, що проходить через середину хорди, яка не є діаметром, перпендикулярний до цієї хорди.

ДОТИЧНА ДО КОЛА

• Дотична до кола - пряма, яка має з колом лише одну спільну точку (це точка дотику).

ВЛАСТИВІСТЬ ДОТИЧНОЇ

•  Дотична до кола є перпендикулярною до радіуса, який про- ведений в точку дотику.

•  Відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, рівні між собою.

ВЛАСТИВІСТЬ БІСЕКТРИСИ КУТА

Будь-яка точка бісектриси кута рівновіддалена від сторін цього кута.

•  Коло, вписане у трикутник, - коло, яке дотикається до всіх сторін цього трикутника.

•  У будь-який трикутник можна вписати коло.

•  Центр кола, вписаного у трикутник, точка перетину бісектрис цього трикутника.

•  Серединний перпендикуляр до відрізка - пряма, що проходить через середину відрізка перпендикулярно до нього.

ВЛАСТИВІСТЬ СЕРЕДИННОГО ПЕРПЕНДИКУЛЯРА ДО ВІДРІЗКА

Кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівно- віддалена від кінців цього відрізка.

•  Коло, описане навколо трикутника, коло, яке проходить через усі вершини цього трикутника.

•  Навколо будь-якого трикутника можна описати коло. 

•  Центром кола, описаного навколо трикутника, є точка перетину серединних перпендикулярів до його сторін.

ВПИСАНІ ТА ЦЕНТРАЛЬНІ КУТИ

Центральний кут це кут з вершиною в центрі кола.

•        Градусна міра дуги кола - це градусна міра відповідного центрального кута.

•        Вписаний кут це кут, вершина якого належить колу, а сторони перетинають це коло.

Теорема (про вписаний кут). Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається.

Наслідок 1. Вписані кути, що спираються на одну й ту саму дугу, між собою рівні.

Наслідок 2. Вписаний кут, що спирається на діаметр, прямий.

Література:

1. Автор: Бевз Г. П., Довідник з математики, вид. «Радянська школа», Київ, 1981 р.

Автор: Бабин Дмитро Святославович