Методична розробка "Прикладні задачі до окремих тем курсу математики" (10-11 клас).

Прикладні задачі до окремих тем курсу математики 

(10-11 клас). Викладач Токар С. М.

1. Задачі з алгебри і початків аналізу.  1.1. Тригонометричні функції.

  Стисненням заготовки на прокатному стані називають величезну Δh = h1 – h2 , де h1 і h2 – товщини заготовки до і після прокатування. Доведіть, що Δh =2dsin²α/2, де d – діаметр вала і α – кут захвату. 1.2. Показникові і логарифмічна функції.

  Споживання м’ясних продуктів у країні на душу населення за період з 2000 по 2010 рік має збільшитись з 58 до 70кг за рік. Чи буде розв’язане це завдання,якщо середній річний приріст споживання становитиме 2% 

  Продуктивність праці на заводі збільшується щороку майже на однакову кількість відсотків. В результаті за три останні роки вона виросла на 33,1%. На скільки відсотків вона збільшувалася щороку?

  Бактерія,потрапивши в живий організм, на кінець 20-_ї хвилини ділиться на дві (кожна з них на кінець наступної 20-_ї хвилини знову ділиться на дві і т. д.). Знайдіть кількість бактерій, що утворюються з однієї бактерії на кінець доби.

  Щорічний приріст продукції становить 10%. Через скільки років випуск продукції збільшиться в два рази?

  Державні ощадні банки на так звані термінові вклади нараховують вкладникам по 20%. Вкладник 1січня 2000 р. поклав в ощадний банк 1000 грн. Яку суму становите його вклад через 10 років? 

1.3. Границя функції.

  Температура нагрівання металевого стержня на відстані від місця нагрівання (до температури 1000º) визначається за формулою: f(x)=1000/(1+x²),  де  х  – відстань у дециметрах. Визначте граничні значення температури стержня на відстані 1м від місця нагрівання. Чи можна такий стержень взяти в руку?

1.4. Похідна функції.

  Залежність кількості населення у (в тис.) деякого регіону від часу t, що вимірюється роками, виражається формулою: у(t)=10000+1000t-120t².

Знайдіть середню швидкість зростання населення за період від t1=3 до t2=5.

  Об’єм газу V при температурі tº визначається за формулою: V=1+0,0075t. Визначте швидкість зміни об’єму газу при будь якій температурі.

 Сила струму в амперах змінюється залежно від часу за законом J=0,2t², де t- час у секундах. Знайдіть швидкість зміни сили струму наприкінці десятої секунди.

  Конструюючи трансформатори змінного струму, намагаються, щоб залізне осердя перерізу якомога більше заповнювало внутрішню область циліндричної котушки. Визначте розмір х і у  перерізу осердя, якщо радіус котушки дорівнює R. 1.5. Диференціювання функцій. Похідна суми функцій.

  Кількість електрики, що пройшла через провідник за t секунд, визначається за формулою:Q=2t² +5t +1 (кулонів). Знайдіть силу струму наприкінці п’ятої секунди.

  Кут повороту шківа залежно від часу визначають за рівнянням:   φ(t) = t² + 3t – 5. Знайдіть: а) середню кутову швидкість за проміжок часу від t = 3c до t = 5c; б) кутову швидкість у момент часу t = 5c. 1.6. Застосування похідної.

  Виготовте консервну банку так, щоб вона мала найменшу: а) площу поверхні S при заданому об’ємі (на її виготовлення буде витрачено найменше матеріалу); б)довжину швів l при заданому об’ємі (шви треба зварювати і затрачений час повинен бути мінімальним).

1.7. Первісна

  Поперечний переріз каналу зрошувальної системи має форму криволінійної трапеції, обмеженої лініями у = 0,25х² і  у = 4. Знайдіть площу поперечного перерізу.

  Обчисліть роботу, затрачену для стискання пружини на 6 см, коли відомо, що для стискання пружини на 0,2 см затрачено силу 3,136Н.

1.8. Елементи комбінаторики та теорії ймовірності.

  Телефонна лінія, що з’єднує два пункти М і К , які розташовані один від одного на відстані 4км, обірвалася у невідомому місці. Яка ймовірність того,що обрив знаходиться не далі, ніж 800м від пункту М?

  У серії з 50 виробів 4 браковані. Із партії навмання вибирають 5 виробів. Яка ймовірність того, що серед цих 5 виробів буде 2 бракованих?    Підприємство виготовляє 96% стандартних виробів,з яких 75% першого сорту. Знайдіть ймовірність того,що взятий навмання виріб, виготов-      лений на цьому підприємстві, буде першого сорту.

2.               Задачі зі стереометрії. 2.1. Аксіоми стереометрії.

  Як перевірити правильність виготовлення лінійки?

  Як за допомогою лінійки перевірити рівність поверхні стола?   Щоб надати найстійкішого положення вимірювальним приладам, їх часто встановлюють на триногах. На якому твердженні це ґрунтується?

2.2.   Паралельність прямих і площин.

  Кусок металу має форму тетраедра ABCD. Через середини ребер AB і AD побудуйте переріз тетраедра площиною, паралельною прямій AC.

2.3.   Перпендикулярність прямої і площини.

  Під час укладання блоку завдовжки 2580 мм для стіни виявилось, що він лежить не горизонтально, а з нахилом 8мм на 2м. На скільки треба підняти один кінець блоку, щоб він лежав горизонтально? 2.4. Перпендикуляр і похила.

  Радіощоглу підтримують три троси,прикріплені на висоті 8,5м. Протилежні кінці тросів закріплені на землі, на однаковій відстані один від одного і на відстані 8м від основи щогли. Визначте довжину тросів (на закріплення додати 3% їх довжини) і відстань між кінцями, закріпленими на землі. 2.5. Мимобіжні прямі. Кути між прямими і площинами.   Як визначити кут між схилом даху і стелею будинку?

2.6.        Площа ортогональної проекції многокутника.

  Дві протилежні грані даху – рівнобедрені трикутники, а дві інші – рівнобічні трапеції з однаковим нахилом. Знайдіть площу даху, якщо розміри будинку a i b а кут нахилу даху α.

2.7.        Призми.

  Скільки треба рулонів шпалер розміром 10 х 0,5 м, щоб обклеїти кімнату розміром 6 _х 4,8 х 3,75 м ?Кімната має 4 вікна розміром 1,8 _х 0,75м.

На підклейку витрачається 1% площі шпалер.

2.8.        Паралелепіпед.

  Знайдіть площу повної поверхні класної кімнати, в якій ви навчаєтесь, і найбільшу відстань між двома точками, що лежать на цій поверхні.

2.9.        Піраміда.

  Дах водонапірної башти має форму правильної шестикутної піраміди, сторона основи якої 2м, а бічне ребро 4,25м. Скільки потрібно листів заліза розміром 0,7 х 1,4 м, щоб покрити водонапірну башту (відходи становлять 10% площі заліза)?

  Чи можна розрізати трикутну призму на дві частини так, щоб кожна з них була пірамідою? Відповідь продемонструйте.

2.10.   Правильні многогранники.

  Покришку футбольного м’яча виготовляють з правильних п’яти – і шестикутників, їх з’єднують так, щоб у кожній вершині були кути шестикутників і одного п’ятикутника. Обґрунтуйте, чому так роблять.

2.11.   Куля.

  З якої точки земної кулі можна пройти 10 км на південь, 10км на схід і 10км на північ, щоб повернутися в ту саму точку? Скільки таких точок на Землі? (Скористайтесь глобусом.)

  Місто М лежить на 60º північної широти. Який шлях описує цей пункт за 1 год внаслідок руху Землі навколо своєї осі (R3 ≈ 6400)?

2.12.   Об’єми тіл. Паралелепіпед.

  На кутах листа заліза розміром 142 _х 71 см вирізано рівні квадрати зі стороною 15см і, загнувши краї, виготовлено відкриту коробку.

Знайдіть її об’єм.

2.13.   Об’єм призми.

  Свинцевий брусок масою 18 кг має форму прямої призми висотою    30 см. В основі призми лежить рівнобічна трапеція, паралельні сторони якої дорівнюють 3,5 і 11,5 см, а бічна сторона 8,5 см. Чи цей брусок суцільний, чи він має пустоту?(Густина свинцю 11,5 г/см².) 2.14. Об’єм піраміди.

  Визначте об’єм піраміди Хеопса, коли відомо, що в її основі лежить квадрат із стороною 227м, а висота дорівнює близько 146,6м.  2.15. Об’єм циліндра.

  Дрова на складах зберігають у штабелях. Об’єм їх визначають за допомогою коефіцієнта k, який дорівнює відношенню об’єму колод у штабелі до об’єму штабеля. Знайдіть цей коефіцієнт.

  Прямокутний лист жерсті завдовжки 1,6 м і завширшки 0,8 м можна зігнути в трубу так, щоб її довжина була 1,6м і 0,8м. У якому випадку труба охоплюватиме більший об’єм?

2.16. Об’єм конуса.

  Скільки жерсті потрібно для виготовлення лійки, твірна якої дорівнює 25см, а діаметр – 14см (на шви витрачають 6% матеріалу)?

  Скільки квадратних метрів тканини потрібно, щоб пошити конусоподібний намет висотою 3м і діаметром 8м?

2.17. Об’єм кулі та її частин.

  Котел, що має форму півкулі, вміщує 28,26л води. Визначте діаметр котла.

  З трьох куль, діаметри яких дорівнюють 3, 4, і 5 см, відлито одну кулю. Визначте її діаметр. 2.18. Площі поверхонь тіл.

  Діаметр першого штучного супутника Землі,що мав форму кулі,дорівнював 58см. Визначте його поверхню.

  На фарбування круга радіусом 1м витратили 80г фарби. Скільки такої фарби піде на фарбування кулі діаметром 1м? 2.19. Бічна поверхня циліндра.

  Казан висотою 3,2м має форму циліндра з діаметром 1,5м. Скільки квадратних метрів заліза витрачено на його виготовлення, якщо на шви витрачається 12% заліза? 2.20. Площа поверхні сферичного сегмента.

 Яку частину Землі спостерігав український космонавт Леонід Каденюк в апогеї (максимальне віддалення від Землі становило 302км) під час польоту в космос? Обчисліть, яку частину Землі бачив космонавт  протягом одного оберту, вважаючи, що наближена середня відстань корабля – супутника від Землі (R3 = 6400км) становить 250км?

  На якій висоті над поверхнею Землі повинен бути штучний супутник зв’язку, щоб телевізійні передачі, що їх він транслює, приймалися на території, що  становить не менше як 0,4 поверхні земної кулі?