Методична розробка" Таємниці швидкого множення й ділення"

Таємниці швидкого множення й ділення

 

 

1. Множення й ділення на 5, 50, 500 і т.д.

 

Множення на 5, 50, 500 і т.д. заміняється множенням на 10, 100,1000 і т.д. з наступним діленням на 2 отриманого добутку (або діленням на 2 і множенням на 10, 100, 1000 і т.д.). (50 = 100: 2 і т.д.)

            54*5=(54*10):2=540:2=270    (54*5 = (54:2)*10= 270).

Щоб  число розділити на 5,50, 500 і т.д., треба це число розділити на  10,100,1000 і т.д. і помножити на 2.

10800 : 50 = 10800:100*2 =216

10800 : 50 = 10800*2:100 =216

 

2. Множення й ділення на  25, 250, 2500 і т.д. 

 

Множення на 25, 250, 2500 і т.д. заміняється множенням на 100,1000,10000 і т.д. і отриманий результат розділити на 4. (25 = 100: 4)

542*25=(542*100):4=13550   (248*25=248: 4*100 = 6200)

(якщо число ділиться на 4, то виконання множення не займає часу, будь-який учень може виконати).

 Щоб виконати ділення числа на 25, 25,250,2500 і т.д. це число треба розділити  на 100,1000,10000 і т.д. і помножити на 4

 31200: 25 = 31200:100*4 = 1248.

 

3.  Множення й ділення на  125, 1250, 12500 і т.д.

 

 Множення на 125, 1250 і т.д. заміняється множенням на 1000, 10000 і т.д. і отриманий добуток потрібно ділити на 8. (125 = 1000: 8)

72*125=72*1000:8=9000

Якщо число ділиться на 8, то спочатку виконаємо ділення на 8, а потім множення на 1000,10000 і т.д.

48*125 = 48:8*1000 = 6000

Щоб розділити число на 125, 1250 і т.д., треба це число розділити на 1000, 10000 і т.д. і помножити на 8.

7000: 125 = 7000:1000*8 = 56.

 

4. Множення й ділення на  75, 750 і т.д.

 

Щоб число помножити на 75, 750 і т.д. треба це число розділити на 4 і помножити на 300, 3000 і т.д. (75 = 300: 4)

48* 75 = 48:4*300 = 3600

Щоб число розділити на 75,750 і т.д. треба це число розділити на 300, 3000 і т.д. і помножити на 4

7200: 75 = 7200: 300*4 = 96.

 

5.Множення на 15, 150.

 

При множенні на 15, якщо число непарне, множать його на 10 і додають половину отриманого добутку:

23х15=23х(10+5)=230+115=345;

якщо ж число парне, то надходимо ще простіше — до числа додаємо його половину й результат множимо на 10:

18х15=(18+9)х10=27х10=270.

 При множенні числа на 150 користуємося тим же прийманням і множимо результат на 10, тому що150=15х10: 

24х150=((24+12)х10)х10=(36х10)х10=3600.

 Точно так само швидко помножити двозначне число (особливо парне) на двозначне, що кінчаються на 5:

24*35 = 24*(30 +5) = 24*30+24:2*10 = 720+120=840.

 

6. Перемножування двозначних чисел, менших, чому 20.

 

 До одного із чисел треба додати кількість одиниць іншого, цю суму помножити на 10 і додати до неї добуток одиниць даних чисел:

18х16=(18+6)х10+8х6= 240+48=288.  

 

 Описаним способом можна множити двозначні числа, менші 20, а також числа, у яких однакова кількість десятків: 23х24 = (23+4)х20+4х6=27х20+12=540+12=562.

Пояснення:

(10+a)*(10+b) = 100 + 10a + 10b + a*b = 10*(10+a+b) + a*b = 10*((10+a)+b) + a*b .

 

7.Множення двозначного числа на 101.

 

Мабуть, найпростішому правило: припишіть ваше число до самого себе. Множення закінчене.
Приклад:

57 * 101 = 5757      57 --> 5757

Пояснення: (10a+b)*101 = 1010a + 101b = 1000a + 100b + 10a + b
Аналогічно роблять множення тризначних чисел на 1001, чотиризначних - на 10001 і т.п.

 

8. Множення числа на 11.

 

"Розсунути" цифри числа, множеного на 11, і в проміжок, що утворювався, вписати суму цих цифр, причому якщо ця сума більше 9, то, як при звичайному додаванні, одиницю перенести в старший розряд.

Приклад:
34 * 11 = 374, тому що 3 + 4 = 7, сімку поміщаємо між трійкою й четвіркою
68 * 11 = 748, тому що 6 + 8 = 14, четвірку поміщаємо між сімкою (шістка плюс перенесена одиниця) і вісімкою

Пояснення:
10a+b - довільне число, де a - число десятків, b - число одиниць.

Маємо:
(10a+b)*11 = 10a*11 + b*11 = 110a + 11b = 100a + 10a + 10b + b = 100a + 10*(a+b) + b,
де ми маємо a сотень, a+b десятків і b единиц. тобто результат містить a*(a+1) сотень, два десятка й п'ять одиниць.

43625*11

Становимо добуток: 5 одиниць, 5+2=7 десятки, 2+6=8 сотні, 6+3=9 тисячі, 3+4=7 десятки тисяч, 4 сотні тисяч.

43625*11=479875.

Коли множене полягає в межах 1000 і 10000 (наприклад, 7543), томожна застосувати наступний спосіб множення на 11.Спочатку розбити множене 7543   по дві цифри, потім знайти добуток першої пари (75) ліворуч на 11, як зазначено в множенні двозначного числа на 11. Отримане число (75*11=825) дасть сотні добутку. Потім треба помножити на 11 другу пару цифр числа (43), одержимо одиниці добутку: 43*11=473. Нарешті, отримані добутки складемо: 825

          +473

     =82973. Отже, 7543*11=82973.

Розглянемо ще приклад: 8324*11.

83`24; 83 *11=913.

24*11=264; 913

                      +264

                  =91564. Отже, 8324*11=91564.

 

9. Множення на 22, 33, …, 99.

Щоб двозначне число помножити 22,33, …,99, треба цей множник представити у вигляді добутку однозначного числа на 11. Виконати множення спочатку на однозначне число, а потім на 11:

15 *33= 15*3*11=45*11=495.

 

10. Множення двозначних чисел на 111.

 

  Спочатку множимо таке двозначне число, сума цифр якого менше 10. Пояснимо на числових прикладах:

45*111.

Тому що 111=100+10+1, те 45*111=45*(100+10+1). При множенні двозначного числа, сума цифр якого менше 10, на 111, треба в середину між цифрами вставити два рази суму цифр ( тобто чисел, ними зображуваних) його десятків і одиниць 4+5=9. 4500+450+45=4995. Отже, 45*111=4995. Коли сума цифр двозначного множеного більше або рівна 10, наприклад 68*11, треба скласти цифри множеного (6+8) і в середину між цифрами 6 і 8 вставити 2 рази одиниці отриманої суми. Нарешті, до складеного числа 6448 додати 1100. Отже, 68*111=7548.

 

11. Множення на 37.

 

При множенні числа на 37, якщо дане число кратне 3, його ділять на 3 і множать на 111.

27*37=(27:3)*(37*3)=9*111=999

Якщо ж дане число не кратне 3, то з добутку віднімають 37 або до добутку додають 37.

23*37=(24-1)*37=(24:3)*(37*3)-37=888-37=851.

 

12. Піднесення у квадрат будь-якого двозначного числа.

 

Якщо запам'ятати квадрати всіх чисел від 1 до 25, то легко знайти й квадрат будь-якого двозначного числа, що перевищує 25.

Для того щоб знайти квадрат будь-якого двозначного числа, треба різниця між цим числом і 25 помножити на 100 і до добутку, що вийшов, додати квадрат доповнення даного числа до 50 або квадрат надлишку його над 50-ю.

Розглянемо приклад:

372=12*100+132=1200+169=1369

(М–25)*100+ (50-M) ²=100M-2500+2500–100M+M²=M² .

 

13. Множення чисел, близьких до 100.

 

  При збільшенні (зменшенні) одного із множників на кілька одиниць множимо отримане ціле число й додані (відняті) одиниці на інший множник і  з першого добутку віднімаємо другий добуток (отримані добутки складаємо)

98∙8=(100-2) ∙8=100∙8-2∙8=800-16=784.

Дане подання одного зі співмножників у вигляді різниці дозволяє легко множити на 9, 99, 999.

 Для цього досить помножити число на 10 (100, 1000) і з отриманого  цілого числа відняти число, яке множили: 154х9=154х10-154=1540-154=1386.

Але ще простіше ознайомити дітей із правилом — «щоб помножити число на 9 (99, 999)досить відняти із цього числа число його десятків (сотень, тисяч), збільшене на одиницю, і до отриманої різниці приписати доповнення його цифри одиниць до 10 (доповнення до 100 (1000) числа, утвореного двома (трьома) останніми цифрами цього числа):

154х9=(154-16)х10+(10-4)=138х10+6=1380+6=1386

 

14. Множення двозначних чисел, у яких сума одиниць рівна 10.

 

Нехай дано два двозначні числа, у яких сума рівна 10:

М=10m + n,  K=10a + 10 – n. Складемо їхній добуток.

M * K= (10m+n) * (10a + 10 – n) =100am + 100m – 10mn + 10an + +10n – n² = m * (a + 1) * 100 + n * (10a + 10 – n) – 10mn = (10m) * * (10 * (a + 1)) + n * (K – 10m).

Розглянемо кілька прикладів:

17 * 23= 10 * 30 + 7 * 13= 300 + 91= 391;

33 * 67= 30 * 70 + 3 * 37= 2100 + 111= 2211.

 

15. Множення на число, записане одними дев'ятками.

 

          Для того щоб знайти добуток числа написаного одними дев'ятками на число, що має з ним однакова кількість цифр треба від множника відняти одиницю й до числа, що вийшло, приписати інше число всі цифри якого доповнюють цифри зазначеного числа, що вийшло, до 9.

8 * 9= 72;

46 * 99= 4554;

137 * 999= 136 863;

3562 * 9999= 35616438.

Наявність такого способу вбачається з наступного приймання розв'язку наведених прикладів: 8 * 9= 8 * (10 – 1)= 80 – 8= 72,

 46 * 99= 46 * (100 – 1)= 4600 – 54= 4554.

 

16. Піднесення у квадрат числа, що кінчається на 5.

 

Число десятків множимо на наступне число десятків і додаємо 25.

15*15 = 225 = 10*20+ 25   ( або 1*2 і приписуємо праворуч 25)

35*35 =30*40 +25= 1225  (3*4 і приписуємо праворуч 25)

65*65 = 60*70+25=4225  (6*7 і приписуємо праворуч 25)