Методична розробка – Збірка основних формул з математики (7 – 11 класи, I, II курс коледжу)
Методична розробка – Збірка основних формул з математики (7 – 11 класи, I, II курс коледжу)
Властивості натуральних чисел Властивості додавання:
1) a+b=b+a (переставний закон додавання); 2) (a+b)+c=a+(b+c) (сполучний закон додавання). Властивості множення:
1) a·b=b·a (переставний закон множення); 2) (a·b)·c=a·(b·c) (сполучний закон множення); 3) (a+b)·c=a·с+b·c (розподільний закон множення).
Середні значення чисел
Середнє арифметичне n чисел: 𝑎сер.ар. = 𝑎1+𝑎2𝑛+⋯+𝑎𝑛 , (𝑛 ≠ 0).
Середнє геометричне n чисел: 𝑎сер.геом. = 𝑛√𝑎1 ∙ 𝑎2 ∙ … ∙ 𝑎𝑛, (𝑎𝑖 > 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛).
Для двох чисел: 𝑎сер.ар. = 𝑎1+2𝑎2 ; 𝑎сер.геом. 
.
Гармонічне n чисел: 𝑎гарм. = 𝑎
𝑛1∙+𝑎1𝑎∙2𝑎+2⋯∙…+∙𝑎𝑎𝑛𝑛 ;
двох чисел 𝑎гарм. 
𝑎1+𝑎2 .
Квадратичне n чисел: 𝑎квад. = 
;
двох чисел 𝑎квад. 
.
Дроби
𝑎 𝑏 𝑎±𝑏 𝑎 𝑐 𝑎𝑑±𝑏𝑐 Правила дії з дробами: 1) ± = ; 2) ± = ;
𝑐 𝑐 𝑐 𝑏 𝑑 𝑏𝑑 3) 
.
𝑏 𝑑 𝑏∙𝑑 𝑏 𝑑 𝑏·𝑐
𝑎 𝑚·𝑎 Основна властивість дробу: = .
𝑏 𝑚·𝑏
Формула перетворення скінченного десяткового дробу в раціональний дріб:
0, 𝑛1𝑛2 … 𝑛𝑘 = 𝑛1𝑛102.𝑘..𝑛𝑘, де 𝑛1𝑛2 … 𝑛𝑘 – цифри.
Формула перетворення нескінченного періодичного десяткового дробу в раціональний дріб:
0, 𝑛1𝑛2 … 𝑛𝑘(𝑛𝑘+1𝑛𝑘+2 … 𝑛𝑘+𝑝) =
𝑛1𝑛2...𝑛𝑘𝑛𝑘+1…𝑛𝑘+𝑝−𝑛1𝑛2…𝑛𝑘
𝑘(10𝑝−1) .
10
Пропорції
Пропорція має вигляд 𝑎 = 𝑐 , або a:b=c:d, де a, d – крайні члени; b,
𝑏 𝑑
c – середні члени пропорції. Властивості пропорції: 𝑎 = 𝑏, 𝑑 = 𝑐, 𝑑
= 𝑏, 𝑎 ∙ 𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑐,
𝑐 𝑑 𝑏 𝑎 𝑐 𝑎
𝑎±𝑏 𝑐±𝑑 𝑎−𝑏 𝑐−𝑑 𝑚𝑎+𝑛𝑏 𝑚𝑐+𝑛𝑑
= , = , = , m, n, p, q – будь-які числа
𝑏 𝑑 𝑎+𝑏 𝑐+𝑑 𝑝𝑎+𝑞𝑏 𝑝𝑐+𝑞𝑑 та 𝑝2 + 𝑞2 ≠ 0.
Дві величини називають прямо пропорційними, якщо зі збереженням значень однієї з них у кілька разів значення другої збільшується у стільки ж разів.
Дві величини називають обернено пропорційними, якщо із збільшенням значень однієї з них у кілька разів значення другої зменшується в стільки ж разів.
Відсотки
Відсоток – це одна сота: 1%=0,01, 50%=0,5, 100%=1.
Знаходження p відсотків від числа а: а=100%, х=р%, х=
.Знаходження числа за його відсотком: нехай р% деякого числа у дорівнюють числу а, тоді а=р%, у=100%, у
.Знаходження р
процентного відношення двох чисел a і b: 𝑎 ∙ 100% = 𝑝%.
𝑏
𝑝 𝑛, де 𝐾0 – початковий
Формула складних відсотків: 𝐾 капітал; 𝐾 – капітал через 𝑛 років; 𝑝 – число відсотків.
Формули скороченого множення многочленів
𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏);
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2; (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2;
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3;
(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3;
𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2);
𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏) ∙ (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2);
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2(𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐);
𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 = (𝑎 − 𝑏) ∙ (𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑏 + 𝑎𝑛−3𝑏2 + ⋯ +
𝑎𝑏𝑛−2 + 𝑏𝑛−1), де 𝑛 – будь-яке натуральне число;
𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2𝑏 + 𝑎𝑛−3𝑏2 + ⋯ +
𝑎𝑏𝑛−2 − 𝑏𝑛−1), де 𝑛 – парне натуральне число;
𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2𝑏 + 𝑎𝑛−3𝑏2 + ⋯ −
𝑎𝑏𝑛−2 + 𝑏𝑛−1), де 𝑛 – непарне натуральне число.
Формули скороченого множення із коренями
𝑏;
𝑏;
𝑏;
𝑎
;
𝑎
.
Властивість степеня
Властивості арифметичних коренів
Арифметична прогресія
Геометрична прогресія
Числові послідовності та їх суми 
;
1+2+5+…+(2𝑛 − 3)+ (2𝑛 − 1)=𝑛2;
2+4+6+…+(2𝑛 − 2)+ 2𝑛=𝑛(𝑛 + 1);
;
;
;
13 + 33 + 53 + ⋯ + (2𝑛 − 1)3 = 𝑛2(2𝑛2 − 1).
Комбінаторика і біном Ньютона
Алгебраїчні рівняння Лінійне рівняння 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, де 𝑎 ≠ 0. Розв'язок: 𝑥 = − 𝑏 .
𝑎
Квадратне рівняння: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, де 𝑎 ≠ 0. Дискримінант 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐. Якщо 𝐷 > 0, то рівняння має два різні дійсні корені: 𝑥
.
2𝑎
Якщо 𝐷 = 0, то рівняння має один корінь, тобто корінь кратності
Біквадратне рівняння 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0підстановкою 𝑥2 = 𝑡 зводиться до квадратного рівняння 1) 𝑎(𝑥2)2 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0; 2) 𝑎𝑡2 +
𝑏𝑡 + 𝑐 = 0.
Способи розкладання на множники
Квадратний тричлен 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 при 𝐷 > 0розкладається на множники:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1) ∙ (𝑥 − 𝑥2).
Якщо 𝐷 = 0, то розклад має вигляд: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑥 − 𝑥1) ∙ (𝑥 − 𝑥1) = 𝑎 ∙ (𝑥 − 𝑥1)2.
Винесення спільного множника за дужки 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎(𝑥 + 𝑦). Спосіб групування 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑦(𝑎 + 𝑏) =
(𝑎 + 𝑏)(𝑥 + 𝑦).
Формули Вієта
Формули Вієта для зведеного квадратного рівняння 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0:
{𝑥𝑥11∙∙𝑥𝑥22==−𝑞𝑝, .
Для незведеного квадратного рівняння 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 формули мають вигляд:
𝑐
𝑥1 ∙ 𝑥2 = 
,
{ 𝑎 𝑏
𝑥1 + 𝑥2 = − .
𝑎
Формули Вієта для зведеного кубічного рівняння 𝑥3 + 𝑝𝑥2 + 𝑞𝑥 + 𝑟 = 0:
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −𝑝, {𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3 = 𝑞,
𝑥1𝑥2𝑥3 = −𝑟.
Алгебраїчні нерівності
Строгі нерівності: 𝑎 > 𝑏, 𝑐 < 𝑑. Нестрогі нерівності: 𝑎 ≥ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑑.
Якщо 𝑎 − 𝑏 > 0, то 𝑎 > 𝑏.
Властивості нерівностей:
1) якщо 𝑎 > 𝑏, то 𝑏 < 𝑎;
2) якщо 𝑎 > 𝑏 і 𝑏 > 𝑐, то 𝑎 > 𝑐;
3) якщо 𝑎 > 𝑏, то 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐;
4) якщо 𝑎 > 𝑏 і 𝑐 > 𝑑, то 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑑; 5) якщо 𝑎 > 𝑏 і с > 0, то 𝑎 ∙ 𝑐 > 𝑏 ∙ 𝑐; 6) якщо 𝑎 > 𝑏 і с < 0, то 𝑎 ∙ 𝑐 < 𝑏 ∙ 𝑐. Лінійні нерівності:
𝑎𝑥 + 𝑏 > 0; 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0; 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0; 𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 0, де 𝑎 ≠ 0.
Розв'язок нерівності 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0:
𝑏
-b/a х
Деякі важливі нерівності
1) |𝑎 + 𝑏| < |𝑎| + |𝑏| (нерівність трикутника);
2) |𝑎 − 𝑏| > ||𝑎| − |𝑏||;
3) 𝑎2 + 𝑏2 ≥ 2|𝑎𝑏|;
4) 𝑎 + 
𝑏 ≥ 2, де 𝑎 і 𝑏 – дійсні числа одного знаку; 𝑏 𝑎
5) 
(середнє арифметичне 𝑛
𝑛
невід'ємне чисел більше або дорівнює їх середньому геометричному); 6) 2𝑎𝑏 𝑎+𝑏 𝑎2+ 2, де 2𝑎𝑏 – гармонічне; 
–
𝑎+𝑏
𝑎+𝑏 𝑏2 геометричне; 
–арифметичне; – квадратичне;
2
7) нерівність Бернуллі (1 + 𝑎)𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑎, де 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑎 > −1.
Квадратні нерівності
Квадратні нерівності мають вигляд: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0;
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0; 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0; 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0, де 𝑎 ≠ 0.
Розв'язок нерівності 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0: 1) при 𝑎 > 0і 𝐷 
2𝑎 (−𝑏+√𝐷 ; +∞)
2𝑎
(рис. 3);
2) при 𝑎 > 0і 𝐷 < 0, 𝑥 ∈ 𝑅 (рис. 4); 3) при 𝑎 < 0і 𝐷 ≥ 0, 𝑥 ∈ (−𝑏−√𝐷 ; −𝑏+√𝐷) (рис. 5);
2𝑎 2𝑎
4) при 𝑎 > 0і 𝐷 < 0, 𝑥 ∈ ∅(розв'язків немає) (рис. 6).
У
Х
Рис. 3 Рис. 4
Х
Х
Рис. 5 Рис. 6 Логарифми. Показникові і логарифмічні рівняння
Первісні
Формули диференціювання
Тотожні перетворення тригонометричних виразів
Формули додавання
Формули подвійного аргументу
Формули половинного аргументу
Формули перетворення добутку в суму
Формули перетворення суми в добуток
Співвідношення між sinx, Cosx і tg x/2
Тригонометричні рівняння
Тригонометричні функції
Позначення: xOy – декартова прямокутна система координат.
R=AO – радіус кола з центром на початку координат; x, y – координати точки А; α – кут, який утворює радіус з додатним напрямом осі Оу (рис. 7).
Рис. 7
Визначення тригонометричних функцій довільного кута: 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑦; 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑥; 𝑡𝑔𝛼 = 𝑦; 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑥.
𝑅 𝑅 𝑥 𝑦
Секанс і косеканс α визначається такими формулами: 𝑠𝑒𝑐𝛼 = 
1 , 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝛼 = 
1 .
𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼
Значення тригонометричних функцій не залежить від довжини радіуса ОА, тому можна покласти R=1. Коло в цьому випадку називається одиничним колом і тригонометричні функції визначаються так: 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑦(ордината кінця радіуса); 𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑥 (абсциса кінця радіуса); 𝑡𝑔𝛼 = 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝛼 , 𝑐𝑡𝑔𝛼 = 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 .
𝑥 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑦 𝑠𝑖𝑛𝛼
Знаки тригонометричних функцій
Рис. 8
Властивості та графіки тригонометричних функцій
1. Функція 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥:
- область визначення: 𝑥 ∈ 𝑅;
- множина значень: −1 ≤ 𝑦 ≤ 1;
- функція періодична з основним періодом 2𝜋: sin(𝑥 + 2𝜋𝑛) = 𝑠𝑖𝑛𝑥;
- функція непарна: sin(−𝑥) = −𝑠𝑖𝑛𝑥;
- нулі функції: 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0, при 𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍;
- 
функція зростає при 𝑥 𝜋 𝜋𝑛; 𝜋
+ 2𝜋𝑛) і спадає при 𝑥 ∈
2
𝑍;
- функція неперервна і має похідну при будь-якому 𝑥: (𝑠𝑖𝑛𝑥)′ = 𝑐𝑜𝑠𝑥;
- екстремуми функції: 𝑦𝑚𝑖𝑛 = −1 при 𝑥 = − 𝜋2 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍, 𝑦𝑚𝑎𝑥 = 1при
𝜋
𝑥 
𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍;
Графік функції називається синусоїдою (рис. 9).
Рис. 9
2. Функція 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥:
- область визначення: 𝑥 ∈ 𝑅;
- множина значень: −1 ≤ 𝑦 ≤ 1;
- функція періодична з основним періодом 2𝜋: cos(𝑥 + 2𝜋𝑛) = 𝑐𝑜𝑠𝑥;
- функція парна: cos(−𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥;
- нулі функції: 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0, при 𝑥 
𝜋 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍;
- функція зростає при 𝑥 ∈ (−𝜋 + 2𝜋𝑛; 2𝜋𝑛) і спадає при 𝑥 ∈ (2𝜋𝑛; 𝜋 + 2𝜋𝑛),𝑛 ∈ 𝑍;
- функція неперервна і має похідну при будь-якому 𝑥: (𝑐𝑜𝑠𝑥)′ = −𝑠𝑖𝑛𝑥;
- екстремуми функції: 𝑦𝑚𝑖𝑛 = −1 при 𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍, 𝑦𝑚𝑎𝑥 = 1при 𝑥 = 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍;
Графік функції називається косинусоїдою (рис. 10).
Рис. 10
3. Функція 𝑦 = 𝑡𝑔𝑥: -область визначення: 𝑥 ∈ 𝑅, крім 𝑥 = 𝜋 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍; 2
- множина значень: 𝑦 ∈ 𝑅;
- функція періодична з основним періодом 𝜋: 𝑡𝑔(𝑥 + 𝜋𝑛) = 𝑡𝑔𝑥;
- функція непарна: 𝑡𝑔(−𝑥) = −𝑡𝑔𝑥;
- нулі функції: 𝑡𝑔𝑥 = 0, при 𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍;
- функція зростає в кожному з проміжків 
𝜋 𝜋𝑛; 𝜋
𝑍;
- функція неперервна і диференційована при будь-якому х із області визначення: (𝑡𝑔𝑥)′ = 
12 ;
𝑐𝑜𝑠 𝑥
Графік функції називається тангенсоїдою (рис. 11).
Рис. 11
4. Функція 𝑦 = 𝑐𝑡𝑔𝑥:
- область визначення: 𝑥 ∈ 𝑅, крім 𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍;
- множина значень: 𝑦 ∈ 𝑅;
- функція періодична з основним періодом 𝜋: 𝑐𝑡𝑔(𝑥 + 𝜋𝑛) = 𝑐𝑡𝑔𝑥;
- функція непарна: 𝑐𝑡𝑔(−𝑥) = −𝑐𝑡𝑔𝑥; - нулі функції: 𝑐𝑡𝑔𝑥 = 0, при 𝑥 = 𝜋
+ 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍;
2
- функція спадає в кожному з проміжків (𝜋𝑛; 𝜋(𝑛 + 1)), 𝑛 ∈ 𝑍;
- функція неперервна і диференційована при будь-якому х із області визначення: (𝑐𝑡𝑔𝑥)′ = − 
1 2;
𝑠𝑖𝑛𝑥
Графік функції називається котангенсоїдою (рис. 12).
Рис. 12
Довільний трикутник
Прямокутний трикутник
ас, bc - проекції катетів на гіпотенузу.
Рівносторонній трикутник
Прямокутник
S = a • b
Паралелограм
Ромб
Квадрат
Трапеція
Правильний многокутник
Коло, Круг
Сектор (l - довжина дуги, яка обмежує сектор, а- радіанна міра центрального кута, п°- градусна міра центрального кута).
Центр описаного кола
Центр вписаного кола
Cпіввідношення між елементами фігур
• три медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну медіану у відношеннні 2 : 1, починаючи від вершини трикутника
• медіана трикутника обчислюється за формулою:
• сторона трикутника обчислюється за формулою:
де ma, mb, mc – медіани
• бісектриса ділить сторону трикутника на відрізки, пропорційні двом іншим його сторонам
• бісектриса трикутника обчислюється за формулою:
• бісектриса трикутника визначається через його сторони а, b і с за формулою:
• для всякого трикутника залежність між висотами һа, һb, ћc і радіусом * вписаного кола визначається за формулою
• площа S рівнобічної трапеції, діагоналі якої взаємно перпендикулярні, дорівнює квадрату її висоти, тобто
• висота рівнобічної трапеції, в яку можна вписати коло, є середнім геометричним її основ:
h2 = ab, a + b = 2c (c – бічне ребро)
Література:
1. Автор: Бевз Г. П., Довідник з математики, вид. «Радянська школа», Київ, 1981 р.
Автор: Бабин Дмитро Святославович
про публікацію авторської розробки
Додати розробку