10 липня о 18:00Вебінар: Мультфільм за 5 хвилин: онлайн-сервіси для створення анімації та монтажу

Методичні рекомендації по самостійному вивченню або узагальненню теми "Геометрична прогресія"

Про матеріал
Методичні рекомендації по самостійному вивченню або узагальненню теми "Геометрична прогресія"
Перегляд файлу

План   заняття  

Тема: Геометрична прогресія. Формула n-го члена та суми n членів. Нескінченна спадна геометрична прогресія.

 

Геометричною прогресією називається послідовність від­мінних від нуля чисел, кожний член якої, починаючи з друго­го, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число (знаменник геометричної прогресії).

Приклад. 3; 9; 27; 81; 243; ... — геометрична прогресія, бо а2 = а1 ∙ 3;     а3 = а2 ∙ 3; а4 = а3 ∙ 3; ... . (3 — знаменник цієї про­гресії).

Рекурентна формула геометричної прогресії

Якщо (bп) — геометрична прогресія, то bn+1 = bn·q, де bп — п-й член; q — знаменник геометричної прогресії.

З рекурентної формули випливає:

Властивості геометричної прогресії:

а) для кожного члена геометричної прогресії, починаючи з дру­гого: —характеристична властивість;

б) якщо (bп) — скінченна геометрична прогресія, то

b1 ∙ bn = b2 ∙ bn-1 = b3 ∙ bn-2 = const (b1 і bn — крайні члени цієї прогресії).

 

Формула п-го члена геометричної прогресії

Якщо (bn) — геометрична прогресія, то bn=bl · qn-1,де b1 — перший член геометричної прогресії; q — знаменник геометричної прогресії.

Приклад 1. Знайдемо шостий член геометричної прогре­сії (b1): ; 1; 5; ... .

Розв'язання

b1 = ; b2 =1; q = = 5;      b6 = b1 q5 = ∙ 55 = 54 = 625.

Відповідь: 625.

Приклад 2. Знайдемо перший член геометричної прогресії (bп), якщо      b7 = 32; q = -2.

Розв'язання b7 = b1 ∙ q6 b1 = = = .

Відповідь: .

Приклад 3. Знайдемо знаменник геометричної прогресії (bn), у якої         b7 = -12, b9 = -108.

Розв'язання

b9 = b1q8; b7 = b1q6 = q2; q2 = = 9, тоді q = 3 або q = -3.

Відповідь: 3 або -3.

 

 

Формули суми перших п членів геометричної прогресії

Якщо (bп) — геометрична прогресія, q — її знаменник, a Sn — сума перших п її членів, то:

(1)

або (2)

! Зауваження: якщо q = 1, то Sn = b1 n (b1 = b2 =... = bn).

Приклад 1. Знайдемо суму перших восьми членів геометрич­ної прогресії

(bn): 3; -6; 12; ... .

Розв'язання

Маємо b1 = 3, q = = -2, тоді за формулою (2):

S8 = = = = -255.

Відповідь: -255.

Приклад 2. Знайдемо перший член геометричної прогресії (bп), якщо її четвертий член утричі більший за третій, а сума перших п'яти членів дорівнює -12,1.

Розв'язання

Оскільки b4 = 3b3, то q = 3. За умовою S5 = -12,l, тому, оскільки , тобто ; -12,1 = ;   -12,1 = 121b1;     b1 = -0,1.

Відповідь: -0,1.

 

Нескінченна геометрична прогресія - це геометрична прогресія , у якої | q | < 1

Приклади:

а) 1; ; ; ; ...    q = ,    | q | < 1;

б) 3; ; ; ...     q = ,    | q | < 1;

в) 100; 10; 1; ; ...     q = ,   | q |< 1;

г) 32; 0,32; 0,0032; ...    q = ,   | q | < 1.

Якщо (bn) — нескінченна геометрична прогресія, у якої | q | < 1, то сума всіх її членів S обчислюється за формулою

Приклад 1. Знайдемо суму нескінченної геометричної про­гресії (bn): 6; -2; ... .

Розв'язання

За умовою b1 = 6; b2 = -2, отже, q = = . Маємо геометрич­ну прогресію, у якої | q | < 1. За формулою  знаходимо:

.

Відповідь; 4,5.

Приклад 2. Запишемо число 0,(7) у вигляді звичайного дробу.

Розв'язання

Запис 0,(7) означає нескінченний періодичний дріб 0,7777....

Його можна подати як нескінченну суму + + + … .

До­данки цієї суми є членами нескінченної геометричної прогресії, у якої

b1 = , q = : = , | q | < 1. Тоді ця сума дорівнює:

. Тому 0,(7) = .

Відповідь: .

 

Усні вправи

№1. За означенням перевірте, чи є геометричною прогресією по­слідовність:

а) 1; 2; 4; 8; 16; ...;                                   ( так бо q=2)

б) 1; 8; 27; 64; ... .                                     (ні)

 

№2. Укажіть перший член та знайдіть знаменник геометричної про­гресії:

1) 1; -5; 25; ...;  2) -6; -6; -6; ...;  3) 9; 3; 1; ...;

4) 7; ; ; ...;  5) -3; 3; -3; ... .

№3. Знайдіть другий і третій члени геометричної прогресії (bп), якщо:

                  1) b1 = 3, q = 2;  2) b1 = 5, q = -1.

 

Відповідь:  1) b2 = 6     b3 = 12             2) b2 = - 5     b3 =  5

 

Тестові завдання

№1. Яка з наведених послідовностей є геометричною прогресією?
а) 4; 8; 32; 64; б) 80; 40; 20; 5; в) 2; 6; 18; 54; г) 2; -10; 50; 250.

 

Відповідь: в) 2; 6; 18; 54 бо q=

№2. Знайдіть знаменник геометричної прогресії (bп), якщо b5 = , b6 = .

а) ;   б) ;   в) ;   г) .

 

(Відповідь: б)   бо     = )

№3. Дев'ятий член геометричної прогресії дорівнює 12, а знаменник дорівнює 3. Знайдіть десятий член геометричної прогресії.

а) 15;   б) 36;   в) 39;   г) 108.

 

(Відповідь: b10 = b9 q=123 = 36)

 

 

Розв’язання письмових вправ

№1. Дана геометрична прогресія (bп). Знайдіть b3, якщо:

1) b4 = 7, q = -0,1

b4 = b3 q   

b3 = =

 

2) b6 = 1, b5 = 2

q = =    

 b5 = b1

2 = b1         2 = b1            b1 = 216 = 32

 

3) b2 = 0,2, b4 = 5

1 спосіб:

 b2 b4 = 0,25 = 1, b3 = 1 (властивість) 

2 спосіб:

b4 = b2  

5 = 0,2              =        q=    b3 = = = 1

 

№2. Дана геометрична прогресія, у якої  q =3, b6 = 486. Знайти b1 .

b6 = b1

486 =  b1

486 = b1 243

b1 = 2

Відповідь:2

 

№3.

1) Між числами 2,5 та 20 вставте два числа так, щоб вийшла геометрична прогресія.

2,5     __      __      -20

b1       b2       b3      b4    

   b4 = b1        

-20 = 2,5        

= - 8

q= -2

Відповідь: 2,5     -5      10      -20 

 

2) Між числами 5 і 405 вставте три числа так, щоб вийшла геометрична прогресія. Запишіть цю прогресію.

5      __      __      __      405

b1       b2      b3      b4        b5      

b5 = b1        

4055 = 5        

q=

У відповіді дві прогресії:

5     15      45     135     405   та

5     -15    45     -135     405    

 

 

№4. Дана геометрична прогресія, у якої  S6 = 63  q = -2. Знайти b1.

Sn =     S6 =

 

63 = 

63 = 

63 = -21 b1

b1 = -3

Відповідь: -3

 

№5. Дана геометрична прогресія, у якої b1=8, b6 = 0,25. Знайти q та S7.

b6 = b1

0,25 =  8

=

q =

S7 =

 

Відповідь: q = ; S7 =

 

6.  Дана нескінченна спад­на геометрична прогресія  125;  -25;  5;  … Знайти суму  цієї прогре­сії.

b1 = 125   b2 = - 25   q =

S = =

Відповідь:

 

7.   Знайти  q  нескінченної   геометричної  про­гресії  (bn),  якщо

 b1 = 54, S =81.

S =

81 =           1 – q =            1 – q =          q =                                    

Відповідь:

Самостійна робота

 

В -1

В - 2

 

1

Знайдіть перші чотири члени геометричної прогресії (bn), якщо

b1 = -2,    q = -3.

Знайдіть перші чотири члени геометричної прогресії (bn), якщо

b1 = 25,    q = - 0,2.

2

Знайдіть знаменник і 5-й член геометричної прогресії -72; 12; -2; ... .

 

Знайдіть знаменник і 5-й член геометричної прогресії

; , , ... .

3

Між числами 3 та 729 вставте чотири таких числа, щоб разом із даними числами вони утворювали геометричну прогресію.

Між числами 64 і 27 вставте два таких числа, щоб разом із даними числами вони утворювали геометричну прогресію.

4

Дана геометрична прогресія, у якої 

S6 = 63  q = -2. Знайти b1.

 

Дана геометрична прогресія, у якої  S5 = 217  q = 2. Знайти b1.

 

5

Дана нескінченна спад­на геометрична прогресія, у якої  q = ,  S = -81.

Знайти  b4.

 

Знайти  b4  нескінченної   геометричної  про­гресії  (bn),  якщо  b1 = 54, S =81.

 

 

 

docx
До підручника
Алгебра 9 клас (Бевз Г.П., Бевз В.Г.)
До уроку
Розділ 3. ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ
Додано
15 травня
Переглядів
62
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку