Методичні рекомендації по самостійному вивченню або узагальненню теми "Арифметична прогресія"

Числовою послідовністю називається функція, яка задана на множині всіх натуральних чисел або на множині перших n натуральних чисел.

Числова послідовність позначається так:  (а_n): а₁; а₂; а₃; ...; а_n.

Кожне число а_n — n-й член послідовності; n — номер члена.

Види числових послідовностей

1. Якщо кількість членів п послідовності (а_n) скінченна, то (а_n) — скінченна послідовність.

Якщо кількість членів п послідовності (а_n) нескінченна, то (а_n) —  нескінченна послідовність.

Приклади:

а) послідовність (а_n) натуральних чисел нескінченна;

б) послідовність (а_n) коренів рівняння (х – 1)(х – 2)(х + 3) = 0 скінченна.

2. Якщо кожний наступний член послідовності, починаючи з другого, більший за попередній, то послідовність є зрос­таючою.

Якщо кожний член послідовності, починаючи з другого, менший від попереднього, то послідовність є спадною.

Приклади:

а) (а_n): 1; 2; 3; ... — послідовність натуральних чисел є зростаючою;

б) (b_n): -1; -2; -3; ... — послідовність цілих від'ємних чисел є спадною.

Способи задання числових послідовностей:

1) описом знаходження її членів.

Приклад. Числова послідовність дільників числа 15, за­писаних у порядку зростання: (а_n): а₁= 1; а₂ = 3; а₃ = 5;  а₄ = 15

2) переліком її членів.

Приклад. (a_n): 54; 1; 33; 27, тоді а₁ = 54; а₂ = 1; а₃ = 33; а₄ = 27

3) таблицею. Приклад.

n

1

2

3

4

5

а_n

-2

1

-4

1

- 6

Тоді а₁ = -2; а₂ = 1; а₃ = - 4; а₄ = 1; а₅ = - 6;

4) формулою n-го члена.

Приклад. а_n = n² – 1, тоді а₁ = 1² – 1 = 0; а₂ = 2² – 1 = 3; а₃ = 3² – 1 = 8 і т.п.;

5) рекурентною формулою.

Приклад. а_n = а_n-1 ∙ а_n-2, якщо а₁ = 1; а₂ = 2,

тоді а₁ = 1; а₂ = 2; а₃ = а₁ ∙ а₂ = 2; а₄ = а₂ ∙ а₃ = 2 ∙ 2 = 4; а₅ = а₃ ∙ а₄ = 4 ∙ 2 = 8.

Сума перших п членів арифметичної прогресії

1. Якщо a₁ і a_n — перший і n-й члени арифметичної прогре­сії (а_n), то сума S_n перших п членів цієї прогресії дорівнює:

2. Якщо a₁ і d — перший член і різниця арифметичної про­гресії (а_n), то сума S_n перших n її членів дорівнює:

Приклад. Знайдемо суму перших десяти членів арифметич­ної прогресії (а_n), у якої:

1) a₁ = 10, а₁₀ = -10;   2) а₁ = 2, d = -3.

Розв'язання

1) S₁₀ = ∙ 10 = ∙ 10 = 0;

2) S₁₀ = ∙ 10 = (2a₁ + 9d) ∙ 5 = (2 ∙ 2 + 9 ∙ (-3)) ∙ 5 = (4 – 27) ∙ 5 =

     = -23 ∙ 5 = -115.

     Відповідь: 1) 0; 2) -115.

Властивість членів арифметичної прогресії

  a_n =

Приклад.

(а_n):   ___  ___   190  ___   218    ___   Знайдіть невідомі члени арифметичної прогресії

а₃ = 190    а₅ =  218

а₄ =      d = 218- 204 = 14

а₆ = 218 + 14 = 232

а₂ = 190 – 14 = 176

а₁ = 176 – 14 = 162

(а_n):   162  176   190  204   218    232  

1. скільки членів має ця послідовність

6

2. третій член послідовності

0,2

3. який номер має член послідовності, що дорівнює 0,3

5

4. який член послідовності є наступним за числом 8;
5. попере­днім до числа 7.

0,3

0,1

умова

а₁

а₂

d

яка

а₄

1) 2; 7; 12;

2

7

7 – 2 = 5

зростаю­ча

а₄ = а₃+ d =12+5 =17

2) 6; 5,5; 5;

6

5,5

5,5 – 6 = - 0,5

спадна

5 – 0,5 = 4,5

3) -9; -7; -5;

-9

-7

-7 - (-9) = 2

зростаю­ча

- 5 + 2 = - 3

4) -10; -15; -20

-10

-15

-15 - (-10)= -5

спадна

- 20 – 5 = - 25

№

В -1

В - 2

В - 3

В - 4

1

Знайти а₂₁, якщо

а₁ = 4, d = 5.

Знайти а₂₁, якщо

а₁ = 0,1, d = 0,3.

Знайти а₂₁, якщо

а₁ = 5, d = 4.

Знайти а₂₁, якщо

а₁ = 0,3, d = 0,1.

2

Знайти а₁, якщо

а₄₁ = 23, d = 5.

Знайти а₁, якщо

а₉₁ = 14, d = 2.

Знайти а₁, якщо

а₃₆ = 15, d = 4.

Знайти а₁, якщо

а₂₆ = 57, d = 3.

3

Знайти номер члена арифмет. прогресії, який дорівнює 294, якщо

а₁ = 102, d = 4.

Знайти номер члена арифмет. прогресії, який дорівнює 39, якщо

а₁ = 6,5, d = 1,3.

Знайти номер члена арифмет. прогресії, який дорівнює 17,2, якщо

а₁ = 5,3, d = 0,7.

Знайти номер члена арифмет. прогресії, який дорівнює 316, якщо

а₁ = 211, d = 15.

4

Між числами 1 та 25 вставте п’ять чисел так, щоб вийшла арифметична прогресія.

Між числами 7 та 35 вставте шість чисел так, щоб вийшла арифметична прогресія.

Між числами 3 та 45 вставте шість чисел так, щоб вийшла арифметична прогресія.

Між числами 2 та 32 вставте п’ять чисел так, щоб вийшла арифметична прогресія.

5

Знайти S₁₂, якщо

а₁ = 7, а₂₆ = 62.

Знайти S₁₂, якщо

а₁ = 11, а₁₆ = 47.

Знайти S₁₂, якщо

а₁ = 14, а₆ = 30.

Знайти S₁₂, якщо

а₁ = 20, а₁₅ = -16.

6

Знайти а₁, d якщо

Знайти а₁, d якщо

Знайти а₁, d якщо

Знайти а₁, d якщо