8 липня о 18:00Вебінар: Проєктне навчання: розвиваємо логічне, критичне та креативне мислення школярів

Методичні рекомендації по самостійному вивченню або узагальненню теми "Арифметична прогресія"

Про матеріал
Методичні рекомендації по самостійному вивченню або узагальненню теми "Арифметична прогресія"
Перегляд файлу

Тема: Поняття послідовності. Задання послідовності. Арифметична прогресія. Формула n-го члена та суми n членів арифметичної прогресії.

 

Числовою послідовністю називається функція, яка задана на множині всіх натуральних чисел або на множині перших n натуральних чисел.

Числова послідовність позначається так:  n): а1; а2; а3; ...; аn.

Кожне число аn n-й член послідовності; n — номер члена.

Види числових послідовностей

1. Якщо кількість членів п послідовності (аn) скінченна, то (аn) — скінченна послідовність.

Якщо кількість членів п послідовності (аn) нескінченна, то (аn) —  нескінченна послідовність.

Приклади:

а) послідовність (аn) натуральних чисел нескінченна;

б) послідовність (аn) коренів рівняння (х – 1)(х – 2)(х + 3) = 0 скінченна.

2. Якщо кожний наступний член послідовності, починаючи з другого, більший за попередній, то послідовність є зрос­таючою.

Якщо кожний член послідовності, починаючи з другого, менший від попереднього, то послідовність є спадною.

Приклади:

а) (аn): 1; 2; 3; ... — послідовність натуральних чисел є зростаючою;

б) (bn): -1; -2; -3; ... — послідовність цілих від'ємних чисел є спадною.

Способи задання числових послідовностей:

1) описом знаходження її членів.

Приклад. Числова послідовність дільників числа 15, за­писаних у порядку зростання: (аn): а1= 1; а2 = 3; а3 = 5;  а4 = 15

2) переліком її членів.

Приклад. (an): 54; 1; 33; 27, тоді а1 = 54; а2 = 1; а3 = 33; а4 = 27

3) таблицею. Приклад.

 

n

1

2

3

4

5

 

 

аn

-2

1

-4

1

- 6

 

 

Тоді а1 = -2; а2 = 1; а3 = - 4; а4 = 1; а5 = - 6;

4) формулою n-го члена.

Приклад. аn = n2 – 1, тоді а1 = 12 – 1 = 0; а2 = 22 – 1 = 3; а3 = 32 – 1 = 8 і т.п.;

5) рекурентною формулою.

Приклад. аn = аn-1 ∙ аn-2, якщо а1 = 1; а2 = 2,

тоді а1 = 1; а2 = 2; а3 = а1 ∙ а2 = 2; а4 = а2 ∙ а3 = 2 ∙ 2 = 4; а5 = а3 ∙ а4 = 4 ∙ 2 = 8.

Сума перших п членів арифметичної прогресії

1. Якщо a1 і an — перший і n-й члени арифметичної прогре­сії (аn), то сума Sn перших п членів цієї прогресії дорівнює:

2. Якщо a1 і d — перший член і різниця арифметичної про­гресії (аn), то сума Sn перших n її членів дорівнює:

Приклад. Знайдемо суму перших десяти членів арифметич­ної прогресії (аn), у якої:

1) a1 = 10, а10 = -10;   2) а1 = 2, d = -3.

Розв'язання

1) S10 = ∙ 10 = ∙ 10 = 0;

2) S10 = ∙ 10 = (2a1 + 9d) ∙ 5 = (2 ∙ 2 + 9 ∙ (-3)) ∙ 5 = (4 – 27) ∙ 5 =

     = -23 ∙ 5 = -115.

     Відповідь: 1) 0; 2) -115.

Властивість членів арифметичної прогресії

 

  an =

Приклад.

n):   ___  ___   190  ___   218    ___   Знайдіть невідомі члени арифметичної прогресії

а3 = 190    а5 =  218

а4 =      d = 218- 204 = 14

а6 = 218 + 14 = 232

а2 = 190 – 14 = 176

а1 = 176 – 14 = 162

n):   162  176   190  204   218    232  

 

 

Закріплення знань

1 рівень

  №1.

Дано послідовність: 0,1;  7;  0,2;  8;  0,3;  9.  Укажіть:

  1. скільки членів має ця послідовність

6

  1. третій член послідовності

0,2

  1. який номер має член послідовності, що дорівнює 0,3

5

  1. який член послідовності є наступним за числом 8;
  2. попере­днім до числа 7.

0,3

0,1

 

 №2. Послідовність (хn) задано формулою хn = n + 5. Укажіть перші три члени цієї послідовності. Чи є ця послідовність зростаю­чою? нескінченною?

Відповіді: х1 = 1 + 5 = 6

                  х2 = 2 + 5 = 7

                  х3 = 3 + 5 = 8

n): 6  7  8  9  10  11 - зростаю­ча (d =1) та нескінчена

№3. Знайдіть четвертий член і різницю арифметичної прогресії:

 

умова

а1

а2

d

яка

а4

1) 2; 7; 12;

2

7

7 – 2 = 5

зростаю­ча

а4 = а3+ d =12+5 =17

2) 6; 5,5; 5;

6

5,5

5,5 – 6 = - 0,5

спадна

5 – 0,5 = 4,5

3) -9; -7; -5;

-9

-7

-7 - (-9) = 2

зростаю­ча

- 5 + 2 = - 3

4) -10; -15; -20

-10

-15

-15 - (-10)= -5

спадна

- 20 – 5 = - 25

 

№4. Знайдіть невідомі для   арифметичної прогресії (ап), у якої:

1) a1 = -2, d = 4,  а7 - ?

а7 = а1 + 6d = -2 + 64 = -2 + 24 = 22

2) a40 = 100, а1 = - 368, d - ?

а40 = а1 + 39d

100 = - 368 + 39d

39 d = 468

d= 12

 

3) а12 = 23  d= 3,  а1 - ?

а12 = а1 + 11d

23 = а1 + 11 3

23= а1 + 33

а1 = -10

 

 №5. Між числами 7 та 35 вставте шість чисел так, щоб вийшла арифметична прогресія. Запишіть цю прогресію.

7      _      _        _        _       _       _      35

а1       а2       а3       а4      а5      а6      а7       а8

а1 = 7   a8 = 35

а8 = а1 + 7d

35 = 7 + 7

7 d = 28

d=4

п): 7  11  15  19  23  27  31  35

 

№6. В арифметичній прогресії (ап) а1 = 1, d = 4. Знайдіть а8, S10.

а8 = а1 + 7d = 1 + 74 = 29

S10= = (21 + 94)5 = (2 + 36)5 =385 = 190

 

№7. Знайти номер члена арифметичної прогресії, який дорівнює 214, якщо

 п) : 6;  14;  22; …?      

а1 = 6   d = 8

аn = а1 + d(n – 1)

214 = 6 + 8(n – 1)

214 = 6 + 8n – 8

8n = 216

n =  27

№8. Знайти перший член арифметичної прогресії, якщо d = 2, S4 = 10.

n = 4

S4= = (

10 = 2 (2а1 +32)

5 = 2а1 + 6

1 = - 1

а1 = - 0,5

 

№9. Знайти а1, d якщо а2 + а5  = 19, а6 + а3  = 13.

                    -

                                                                            - 2d = 6

                                                                                          d = - 3

1 = 19 + 15

а1 = 17

 

№10. Знайти суму 20 членів арифметичної прогресії, якщо а1= 5    а11 = 110.

а11 = а1 + 10d

110 = 5 + 10d

10d= 105

d = 10,5

S20 =

S20 = (

 

2 рівень

№11. Перший член арифметичної прогресії дорівнює  12, а її різниця -2. Скільки треба взяти перших членів прогресії, щоб їх сума дорівнювала   - 48?

а1 = 12  d = -2   Sn = - 48   n - ?

Sn=

- 48 =

-48 2 =

-96 = 24

2- 2

- 13

2 = -3 (не може бути)

 

№12. Скільки додатних членів містить арифметична прогресія 40; 37; 34;…?

а1 = 40   d = - 3    додатні, це  аn

аn = а1 + d(n – 1)  тобто

 а1 + d(n – 1)

40 – 3(n – 1)

40 - 3n + 3

- 3n

n

n

n (номери цілі числа)

 

3 рівень  (ЗНО)

№13.  При якому значенні х задана послідовність є арифметичною прогресією, якщо:

8х – 2;    6х;    х2 + 2

                                                

1 спосіб:

а1 = 8х – 2

а2 = 6х

а3 = х2 + 2

За властивістю маємо:  а2 =

6х =

12х = 8х + х2

х2 – 4х = 0

х(х – 4) = 0

х1 = 0

х2 = 4

 

2 спосіб:

а1 = 8х – 2

а2 = 6х                       

а3 = х2 + 2

 

d = а2 - а1 = 6х – (8х – 2) = - 2х + 2

 

d = а3 – а2= х2 + 2 – 6х

Прирівнюємо:   d = d

х2 + 2 – 6х = - 2х + 2

х2 + 2 – 6х + 2х – 2 = 0

х2 – 4х = 0

х(х – 4) = 0

х1 = 0

х2 = 4

 У ЗНО буває умова – записати ненульове значення х, тоді відповідь х = 4.

 

 

Самостійна робота з теми «Арифметична прогресія»

 

 

 

В -1

В - 2

В - 3

В - 4

1

Знайти а21, якщо

а1 = 4, d = 5.

Знайти а21, якщо

а1 = 0,1, d = 0,3.

Знайти а21, якщо

а1 = 5, d = 4.

Знайти а21, якщо

а1 = 0,3, d = 0,1.

2

Знайти а1, якщо

а41 = 23, d = 5.

Знайти а1, якщо

а91 = 14, d = 2.

Знайти а1, якщо

а36 = 15, d = 4.

Знайти а1, якщо

а26 = 57, d = 3.

3

Знайти номер члена арифмет. прогресії, який дорівнює 294, якщо

а1 = 102, d = 4.

Знайти номер члена арифмет. прогресії, який дорівнює 39, якщо

а1 = 6,5, d = 1,3.

Знайти номер члена арифмет. прогресії, який дорівнює 17,2, якщо

а1 = 5,3, d = 0,7.

Знайти номер члена арифмет. прогресії, який дорівнює 316, якщо

а1 = 211, d = 15.

4

Між числами 1 та 25 вставте п’ять чисел так, щоб вийшла арифметична прогресія.

Між числами 7 та 35 вставте шість чисел так, щоб вийшла арифметична прогресія.

Між числами 3 та 45 вставте шість чисел так, щоб вийшла арифметична прогресія.

Між числами 2 та 32 вставте п’ять чисел так, щоб вийшла арифметична прогресія.

5

Знайти S12, якщо

а1 = 7, а26 = 62.

Знайти S12, якщо

а1 = 11, а16 = 47.

Знайти S12, якщо

а1 = 14, а6 = 30.

Знайти S12, якщо

а1 = 20, а15 = -16.

6

Знайти а1, d якщо

 

Знайти а1, d якщо

 

Знайти а1, d якщо

 

Знайти а1, d якщо

 

 

 

docx
До підручника
Алгебра 9 клас (Бевз Г.П., Бевз В.Г.)
До уроку
Розділ 3. ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ
Додано
15 травня
Переглядів
60
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку