Методичний посібник "Параметри в тригонометрії"

 

 

 

 

 

 

 

Зміст.

Введення………………………………………………………..5

§1. Тригонометричні рівняння з параметром

     1.1 Розв’язування тригонометричних рівнянь…………..7

      1.2  Умови існування рішень у рівняння………………..14

      1.3  Кількість коренів рівняння…………………………..28

§2. Тригонометричні нерівності з параметрами…………….33

§3. Завдання підвищеної складності…………………...…….38

Список використаної літератури……………….…………….51

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введення.

У посібнику розглядаються розв’язування задач з параметрами, які для абсолютної більшості учнів традиційно є завданнями підвищеної труднощі.  Завдання з параметрами відіграють важливу роль у формуванні логічного мислення й математичної культури у школярів, але їхнє рішення викликає у них значні труднощі. Це пов'язано з тим, що кожне рівняння чи нерівність з параметрами являє собою цілий клас звичайних рівнянь і нерівностей, для кожного з них має бути отримано рішення.

Посібник адресовано абітурієнтам, учням старших класів. Однак, починати знайомити учнів шкіл з подібними завданнями потрібно значно раніше - паралельно з відповідними розділами шкільної програми з математики. У запропонованому посібнику розглянуто задачі на рішення, з'ясування умов існування рішень, а також  на визначення кількості рішень на певному інтервалі тригонометричних рівнянь, нерівностей і систем.

Мета даного посібника - створення умов для формування знань і умінь, необхідних для вирішення таких завдань, формування цілісного уявлення про методи їх розв’язування, розгляд різних типів завдань, підготовка учнів до випускних іспитів і зовнішнього незалежного оцінювання.

Представлено різні методи й підходи до вирішення завдань з метою найкращої підготовки учнів до ЗНО. Дана добірка матеріалу для самостійної підготовки.

 Завдання, що містять параметри є свого роду критерієм засвоєння навчального матеріалу. У шкільному курсі алгебри і початків аналізу такі завдання розглядаються, але у вигляді окремої теми вони виділені тільки для профільних класів, тому у вчителів, які працюють із класами академічного рівня, найчастіше немає можливості приділити їм належної уваги, а учні, які хочуть і повинні знати даний матеріал, – є.

Вирішення представлених в посібнику завдань дозволяє:

• систематизувати та узагальнити раніше вивчений матеріал і розглянути його на більш високому рівні складності;
• вивчити методи і способи розв’язування різних типів завдань;
• формувати у школярів уміння застосовувати свої знання з різних розділів шкільного курсу математики для конструювання способу вирішення завдання в нестандартній ситуації;
• формувати дії самоконтролю у школярів;
• розвивати логічне мислення школярів;
• розвивати творчі здібності школярів при конструюванні способів вирішення завдань високого рівня складності;
• виховувати раціональність і креативність мислення учнів.

Посібник призначений  для вчителів математики, керівників математичних  гуртків, факультативів та для учнів, які прагнуть розширити й поглибити свої знання з математики.

 

 

 

 

 

    §1. Тригонометричні рівняння з параметром.

1.1 РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ

Вирішити рівняння з параметрами - це означає, що для кожного допустимого значення параметра треба знайти всі рішення даного рівняння. Основний принцип рішення рівняння з параметром полягає в необхідності розгляду різних випадків залежно від значень параметра. Відповідь до рівняння з параметром записується у вигляді переліку проміжків зміни параметра із зазначенням для кожного проміжку рішень рівняння.

 

Приклад 1.1.01.

Розв’язання.

1.                Якщо то тоді

                            , к Z

2) ;             

Якщо  , то треба розв’язати рівняння 

                                        

Якщо  , то треба розв’язати рівняння  ,        

                               

3)  Якщо      Рівняння розв’язків не має.

Відповідь: якщо

                    якщо

                     якщо

                     якщо    то розв’язків не має.

Приклад1.1.02. Розв’яжіть  рівняння для всіх значень параметра.

Розв’язання.

Застосовуючи формулу різниці косинусів, одержимо

Звідси    

                .           .

                                                  .

Друге рівняння має рішення, якщо   ,  або   .

Відповідь. Якщо    то            

             .

                                   Якщо  

 

Приклад 1.1.03. Розв’язати рівняння:

Розв’язання.

Так як    то ,

Маємо два випадки.

1. При  рівняння не має рішень.

2. При   маємо  рівняння

:

а.

Так як рівняння має рішення, якщо і ми знаємо, що  то n може приймати значення

Рішенням рівняння є

б)    

   Так як рівняння має рішення за умови, що

а    і рішення рівняння

 

                         Відповідь: Якщо то розв’язків не має;

                   якщо |

                                                          при  

Приклад 1.1.04.  Розв’язати рівняння:

Розв’язання.

Нехай  тоді рівняння прийме вигляд

Дискримінант рівняння: 

Очевидно, що при

Якщо , то рівняння не має рішень.

Нехай Тоді 2+  або .

Так як то повинна виконуватись нерівність

Неважко помітити, що

З′ясуємо, при яких значенняхвиконується нерівність

Ця нерівність рівносильна системі        Тоді    

Звідси 

Усі знайдені значення a належать проміжку.

Отже, при

                             

                Відповідь.

   Якщо  або то розв’язків немає

Якщо то

Приклад 1.1.05. Розв’язати рівняння: .

Розв’язання.

Помноживши обидві частини рівняння на , отримаємо    .

Перетворюючи добуток синусів, матимемо

,

тобто

     Звідки 

          

Так як обидві частини рівняння помножили на , то це призвело до розширення області визначення рівняння, а значить могло привести до появи сторонніх коренів. Оберемо із найденої сукупності серій розв’язків такі серії, які являються розв’язками початкового рівняння. Для цього виключимо із найденої сукупності серій розв’язків те значення , при яких

Ясно, що серії          

спільних значень не мають.

Якщо    тоді   . Зазначимо далі, що    є  розв’язком початкового рівняння лише при значенні 

 Це означає, що серія    є розв’язком  початкового рівняння лише при значеннях

.

Відповідь. Якщо  

                  Якщо

                                                                   

 

Розв’яжіть самостійно.

 Розв’яжіть  рівняння для всіх значень параметра.

1. 

Відповідь: якщо ,  то

                                                                        
                   якщо  ,

       якщо то                якщо то розв’язків немає.

2.   

Відповідь:  якщо  то розв’язків немає;  

            якщо

3. .

Відповідь: якщо   то                        якщо

                           

4. 

Відповідь:  якщо  то

якщо

якщо

   якщо , то розв’язків немає.

 

5. 

Відповідь: якщо | a | ≤ , то

                       

                          якщо | a | = , то х =  +πn, n Z

                          якщо  a | > , то розв’язків немає.

 

6. 

Відповідь:  якщо

                         то розв’язків немає;

якщо то

      якщо  , то

                   якщо  , то   

якщо , то

 

7. ;

Відповідь: якщо ;

                    якщо

 

8. Знайдіть усі значення параметру а, при яких система рівнянь

          

має розв’язки і розв’яжіть систему.

Відповідь:  система має розв’язки тільки при а = 0. 

                         x = +π(k +n),      у = (k – n), n,k Z.  

 

 

1.2. УМОВИ ІСНУВАННЯ РІШЕНЬ.

    У цьому параграфі розглянуті рівняння, в яких треба встановити, при яких значеннях параметра а рівняння має рішення або не має їх.

Приклад 1.2.01. При якому значенні параметра а рівняння  

не має  рішення.

Розв’язання.

Нехай    тоді 

                            Отже,  .

(Можна, записавши  рівняння у вигляді

 і застосувавши теорему Вієта, отримати

Врахуємо, що Знаходимо, що рівняння

має корені за умови

Рівняння має корені за умови

Таким чином, наше рівняння має розв’язки, якщо

 

 

                                 0              2                   4              6                х

                                               

Тоді воно не має рішень, якщо .

Відповідь. .

 

Приклад 1.2.02. Знайдіть усі значення параметра при кожному з яких рівняння

має рішення.

Розв’язання.

Введемо нову змінну:,  t∈[0;1]. Тоді дане рівняння приймає вигляд  

       Щоб розв’язати  квадратне рівняння зі змінною t, знайдемо його дискримінант:

 

.

Тоді  квадратне рівняння має рішення.

 

Число не належить проміжку  таким чином, задане нам тригонометричне рівняння з параметром має рішення за умови

          Відповідь. Рівняння має рішення при

 

Приклад 1.2,03. При яких значеннях рівняння

        має рішення?

Розв’язання.

Застосовуючи формулу суми кубів, наведемо рівняння до виду

,

Вказуючи, що , отримуємо

      Замінюючи     на    будемо мати

      Так як то повинна виконуватись               нерівність  Звідси, 

                 Відповідь.

 

 Приклад1.2.04 (№35, ЗНО 2011). Знайдіть найменше значення , при якому має розв’язок рівняння

Розв’язання.

Якщо    тоді .

 

Розв’яжемо кожну з нерівностей методом інтервалів:

1.            

  

 ;

                                                                

                                  +                                    +                   a

   

2.  

;                    

Маємо    

 

Порівняємо від’ємні та додатні корені квадратних тричленів:

 

.

Можемо розв’язати останню систему:

                                                                        1                    a

                                 

      Отже, .

Найменше значення параметра a ,  що задовольняє умову задачі дорівнює

Відповідь.

 

Розв’язання.

 Оскільки  

То рівняння набуває вигляду

.

Враховуючи, що для будь-яких х виконується подвійна нерівність         

 Доходимо висновку, що подане рівняння матиме корені, якщо вираз набуватиме будь-якого значення з проміжку .

   Розв’яжемо нерівність .  Вона рівносильна системі

      

Найменшим з-поміж розв’язків є число -4,5.

Відповідь: -4,5.

Приклад 1.2.06 (№34 ЗНО 2014, додаткова сесія).

Знайдіть найбільше значення параметра a, при якому система рівнянь

має безліч розв’язків.

Розв’язання

Помножимо перше рівняння системи на і віднімемо друге. У результаті дістанемо:

рівняння перетворюється на неправильні рівності).

     З першого рівняння маємо:       Щоб система мала безліч розв’язків здобуті значення мають задовольняти основну тригонометричну тотожність

.

Отже,

звідки

Умову задачі задовольняє значення – найбільше значення параметра.

Відповідь: 3.5.

 

  Приклад 1.2.07.    Знайдіть усі значення параметра  , при яких рівняннях      не має коренів.

Розв’язання.

   

       Введемо нову змінну: , тоді  тригонометричне рівняння прийме такий вигляд

.

      Розглянемо функцію   Треба дослідити її на найбільше і найменше значення на відрізку

Знаходимо похідну

      Визначаємо критичні точки функції: 

Число не належить проміжку , тому обчислюємо значення функції в точці 0 і на кінцях відрізка:                      

        ;

              

Значить, при  дане нам рівняння  не має коренів.

Відповідь.  Рівняння не має коренів

при р

За даним завданням можуть бути задані наприклад такі питання:

1) При якому найбільшому цілому від'ємному значенні параметра р рівняння не має коренів?

2.      При якому найменшому натуральному значенні параметра р дане рівняння  має корені?

 

Приклад 1.2.08 .  Знайдіть всі значення параметру р, при     яких рівняння

        має  розв’язки.

Розв’язання.

     Область визначення для параметра р:               Маємо   .

           Застосуємо метод допоміжного аргументу

   Поділивши обидві частини рівняння на , отримаємо

      Зауважимо, при цьому у нас коефіцієнти перед синусом і косинусом володіють наступними властивостями:

Зауважимо, що невідому х шукати не треба

. 

Тоді  .

Враховуючи, що ця дріб приймає додатні значення, маємо .

Обидві частини нерівності теж беруть додатні значення. Отже, можна піднести обидві частини в квадрат.

;

                              Отримаємо,

Відповідь:

Приклад 1.2.09   Знайдіть значення параметру а , при яких  рівняння         має рішення.

Розв’язування.

.

Поділимо частини рівняння на   і отримуємо

  .;

;

    Так як тоді позначимо

 

Тоді  ,  де .

Відомо що  

;

 Якщо  , тоді      

 

Відповідь:

Приклад 1.2.10   Знайдіть значення параметру а , при яких  рівняння

     має рішення.

Розв’язування.

     .

Якщо ,      тоді 

  .       Наше рівняння приймає вид .

Розглянемо параболу .

.   

Тоді рівняння на відрізку може мати не більш одного кореня.  і    мають різні знаки, отже

 

Відповідь:

Приклад 1.2.11   Знайдіть значення параметру а , при яких  рівняння

     має рішення.

 Розв’язування.

;

;

Відомо,що Тоді ;  

 Якщо ; то   ;   Отже   

 З другого рівняння    .

А перше рівняння виконується лише за умови:

                         

Якщо    , то   ;

                    

Ця рівність неможлива, бо  - непарне число, а-парне.

Отже, і наше рівняння при жодному значенні параметру не має рішень.

                                                                                    Відповідь:

Розв’яжіть самостійно.

   Знайдіть усі значення параметру, при яких рівняннях має  розв’язки:

1.                .    

     Відповідь:

2. .                  

                 Відповідь:

3.  .                                                                                                            Відповідь:

4.         

    Відповідь: 

5. .         

                                                                          Відповідь: 

6.                              

                                                                     Відповідь: 

 

      Знайдіть всі значення параметру, при яких рівняннях не має      рішень:

7.                  

                                                              Відповідь: 

8.             

Відповідь: 

 

1.3 КІЛЬКІСТЬ КОРЕНІВ РІВНЯННЯ.

У цьому пункті розглядатимуться деякі  приклади на визначення кількості коренів рівняння. Найбільш часто зустрічаються завдання в яких потрібно визначити значення параметру при якому рівняння має певну кінцеву  кількість коренів. Через те що зазвичай тригонометричні рівняння (в силу періодичності тригонометричних функцій)  мають цілу серію рішень, то в умові вказується певний проміжок, якому повинні належати корені рівняння.

 

Приклад 1.3.01При яких значеннях параметра рівняння

                       має більш ніж один корінь на проміжку ?

Розв’язання.

Нехай , тоді

(, враховуючи умову задачі).

Тоді рівняння набуває вигляду

1.           Розглянемо рівняння при , тоді воно набуває ввигляду , звідки.

     Тоді рівняння      ;

;

    Має єдиний корінь на проміжку ,

що не  задовольняє умову задачі.

2. Розглянемо рівняння при   

,

 

,                

 

За умовою задачі нам потрібно, щоб рівняння мало більше ніж один корінь на інтервалі , тобто має виконуватися нерівність

Отже, рівняння матиме більше ніж один корінь на проміжку , за виконання умов:

           

Звідки маємо:

                                         Відповідь: При

 

Приклад 1.3.02. Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння        має шість коренів.

 

Розв’язання.

Рівняння       рівносильне рівнянню

При рівняння не має коренів.

При рівняння має два корені.

Розглянемо рівняння при .

Графіком рівняння    є  півколо з центром у точці О (0;0), радіусом R=.

Графіком рівняння є прямі, паралельні осі абсцис. Наприклад,

 

                                                         у

 

 

 

                                                                   

                                                                      

                                                                                                       

 

                                                                    x

 

Якщо то рівняння має 5 рішень, а при то рішень вже 7.

Отже, при рівняння матиме шість коренів.

Відповідь: При .

 

має тільки три кореня на відрізку

 

Розв’язання.

Нехай спочатку .

Тоді при    можна отримати три кореня   ,   лежачих на даному відрізку

Це означає, що другий множник не дорівнює нулю при на цьому відрізку і може  перетворитися на нуль при

Якщо  , то коренями другого множника будуть числа   і хоча б один з них потрапить на відрізок  .

Отже, має бути   звідки отримуємо 

Відповідь:

 

Розв’яжіть самостійно.

1.При яких значеннях параметра a рівняння

має рівно чотири кореня на відрізку

                                                 Відповідь. .

2. Знайдіть усі значення параметру , при яких рівняння

має рівно три корені, що належать проміжку ?                                                                                          

                     Відповідь.

3. Знайдіть найменше значення параметру ,при якому рівняння має на інтервалі єдиний розв'язок.   

                                                         Відповідь.

4. При яких значеннях параметра a рівняння

      має на проміжку   не менш 3 коренів?

  Відповідь.

§2.Нерівності з параметрами.

Приклад 2.01.При якому найменшому  значенні параметру a  нерівність    

    має  хоча б  єдиний  розв’язок?

Розв’язання.

Розглянемо  наступні  випадки:

Випадок 1: 

Якщо  a < –1, то  скористаємося наступними нерівностями:

;

 

.
 

Додавши  ці нерівності, отримаємо, що

 ,

.
       Тому при  нерівність  не має розв’язків.

Випадок  2: 

     Якщо  то, наприклад, число  є розв’язком:     .

Відповідь: a = –1.

Приклад 2.02  При яких значеннях параметра  нерівність

має  рішення?

Розв’язування.

;

.

Скористаємося тотожністю . Отримаємо 

Так як функція монотонно зростає на всій області визначення,то остання нерівність рівносильна системі нерівностей:

               

 

 

Треба розглянути питання взаємного  розташування на  числовій прямій точок    

Отже, остання система має рішення, якщо і тільки якщо:

Тобто,        

       При    нерівність

має  рішення.

Відповідь:

 

Приклад 2.03. При всіх значеннях параметра a розв’язати нерівність

.

Розв’язування.

Перетворимо нерівність:

Скористаємося тим, що ліва частина останньої нерівності не перевищує 1, а його права частина завжди не менше, ніж 1. Тому нерівність рівносильна наступній системі рівнянь:

           

   

Відповідь: Якщо ,  то нерівність не має рішень;

                  Якщо  .

Приклад 2.04. При яких значеннях параметра a нерівність

має кінцеве додатне число рішень на інтервалі

Розв’язування.

;

;

;

Розглянемо наступні випадки:

Випадок1:

 Якщо , то нерівність приймає вигляд:

          

Корні рівняння , які входять до інтервалу це:

Отже, останнє рівняння має кінцеве додатне число рішень на інтервалі тому входить у відповідь завдання.

Випадок 2:  

Нехай Отримаємо квадратну нерівність:

                     

Розв’яжемо рівняння  

 

;  

Якщо ,  то .  Врахуємо, що гілки параболи спрямовані вниз. Тому рішення квадратного нерівності задаються сукупністю

1.    і має кінцеве позитивне число рішень на інтервалі .
2. Тоді треба,щоб нерівність чи зовсім не мала рішень на інтервалі , чи мало на цьому інтервалі кінцеве число рішень, що відповідає умові   , тобто

Випадок 3:  

Нехай Отримаємо квадратну нерівність: 

   Якщо ,  то     та  

Врахуємо, що гілки параболи спрямовані до верху. Але треба розглянути, два випадки  взаємного  розташування  коренів рівняння.

1.   Якщо , тобто  ;     .

   Маємо ,що при ,  рішення нерівності    ,       тобто  .

Ця нерівність має на інтервалі ) нескінченно багато рішень.

2) Якщо , тобто  ;  то отримаємо .

Тоді при , наша нерівність має розв’язок  ,   

Ця нерівність рівносильна  рівнянню  і має кінцеве додатне число рішень на інтервалі .

Відповідь:

Розв’яжіть самостійно.

       1.При яких значеннях параметра  нерівність

   має кінцеве додатне число рішень на інтервалі

Відповідь:

2.Знайдіть всі значення параметра а, при яких для будь-якого дійсного значення х   виконується  нерівність

          

Відповідь:

 

§3. Завдання підвищеної складності

Приклад. Для кожного значення параметру розв’яжіть рівняння:

Розв’язування.

;

;

або   

Нехай тоді

  (1)                   (2)

Якщо то

                      або           

                                          

Отже, якщо то

При знайдемо рішення систем (1) и (2) і об'єднаємо їхні рішення.

1.      

Введемо функцію Різні можливі випадки визначаються знаками функції   в точках  , знаком , положенням і значенням екстремуму функції .

Маємо:

;

Так як  = , то екстремум функції знаходиться в точці 

і є мінімумом при , максимумом при     Значення в точці екстремуму

 Рівняння має два дійсних корні  (при

      Порівняємо      . 

        Знайдемо їх різницю   .

Значить , 

    ,  якщо   і  При .

Значення функції  в точках и в точці екстремуму зміняють знак при значенні  :   Тому розіб'ємо числову пряму на наступні проміжки: .

1)Якщо то   . Від'ємне значення і у точки екстремуму, тобто  не належить проміжку . А значення в точці екстремуму (сам екстремум) приймає додатні значення  У цьому випадку (мал.1) функція від'ємна у всіх точках проміжку . Система не має рішень на даному проміжку.     

  2)Якщо  , то . Точка екстремуму - точка мінімуму додатна

і лежить поза проміжку , а значення в ній від’ємне Отримуємо, що (мал.2)  від'ємна у всіх точках проміжкуНаша система і для цих значень a не має рішень.

2. Якщо  ,то , а

Функція має тільки один корінь на , а саме  (рис.3). Значить, враховуючи заданий інтервал, функція додатна на .                             

     Так як якщо  ,то  значення змінюється залежно від значення a. Розіб’ємо цей інтервал на два.

                      Якщо то , тобто .

                     Якщо то , тобто 

 

Якщо наша функція додатна на всьому інтервалі

4) Якщо то . Точка мінімуму належить  проміжку , а сам мінімум від’ємний, то на нашому інтервалі функція додатні значення не приймає.

5) Відзначимо, що при   система не  має рішень.

Отже, якщо , то рішень не має. 

                    . 

 , то

II.

      Різноманітні можливі випадки визначаються знаками функції   в точках 

, знаком и положенням та значенням екстремуму функції  .

Маємо:.

 Екстремум функції знаходиться в точці 

І  .

Значення функції в точках   и в точці екстремуму змінює знак при таких значеннях  :  

Тому числову пряму розіб’ємо на  проміжки:

  

1.           Якщо то . Від’ємна точка екстремуму належить промежутку . А значення в точці екстремуму (максимуму) додатне,  

        Функція має тільки один корінь на , а саме Отже, враховуючи заданий інтервал, функція від’ємна на . Якщо то . Тоді,   і   .

2)Якщо , то . Точка екстремуму - точка максимуму - від’ємна и належіть проміжку , а значення в ній додатне

Получаємо, що функція  має два корені на   Від’ємна вона, якщо  .                     

        Так я інтервал містить , то  різні на різних частинах проміжку. 

                          Якщо .

                        Якщо , то

При функція від’ємна на всьому інтервалі, окрім .

Отже,

      3) Якщо , то Точка максимуму від’ємна и не належить проміжку .  Значення у ній - . Функція має тільки один корінь на , а саме Значить, враховуючи заданий інтервал, функція від’ємна на .        

   Так я , то  і  ,  .

 

4) Якщо , то . , .

Значить, функція має тільки один корінь на , а саме Тоді функція    від’ємна на .                                                                

Якщо то   .    і

                то .    ,  .

При       Функція від’ємною  не може бути.

5)  При , . , .  Значить, функція на нашому інтервалі має еще один корінь . Вона  від’ємна на

Так як  получимо   .

6) Аналогічно получаємо, при А именно

Отже, ми з’ясували рішення другої системи:

           якщо, то .

                  

                  

                     .

                   , то рішень не має.

Об’єднаємо отримані рішення двох систем.  Маємо:

    при  

    при

    при

    при

     при  ;

     при , . 

Додаємо, що при , . І звернемося до заміни .

При     Так як для даних  значень  значення      завжди із проміжку , то

 

    при      Так як для цих     , то

 

( мал.7)

 

    при

 

    при   Так як , то

 

     при   Так як, то 

 

     при ,

 

Маємо:

;

     при  ,   

 

 

 Відповідь:

При  

При

при

при

при 

при ,

;

при  , то  

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ.

1. Нелин Е.П. Алгебра и начала анализа : учеб. для 10 кл. общеобразоват. учебн. заведений: академ. уровень. [Текст] / Е.П. Нелин // Х.: Гимназия, 2010.-416 с.
2. Локоть В.В. Задачи с параметрами и их решение. [Электронный ресурс] / В.В. Локоть // Тригонометрия: уравнения, неравенства, системи.10 класс. – 3-изд., испр. и доп.- М.: АРКТИ,2008.- 64с.– Режим доступа: http://edu-lib.net/matematika-2/dlya-shkolnikov/lokot-v-v-zadachi-s-parametrami-i-ih-re.
3. Ястребинецкий Г.А.  Задачи с параметрами [Текст] / Г.А. Ястребинецкий //  М.,1986. – 127 с.
4. Горнштейн П.И. Задачи с параметрами [Текст]  / П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир. // М.: Илскса, Харьков: Гимназия, 2005. ‑ 328 с.
5. Козко А. И. Задачи с параметром и другие сложные задачи [Текст] / А. И. Козко, В. Г. Чирский // М.: МЦНМО, 2007. — 296 с.
6. Захарійченко Ю.О., Репета В.К., Макарова І.С., Карпік В.В. Математика ЗНО-2015,або в Новий рік за новими правилами. Математика в школах України. Науково-методичній журнал: №6, №7-8, 2015.
7. В.М.Чорна Параметри в шкільному курсі математики. Методичні поради. Математика в школах України. Науково-методичній журнал: №7-8, 2015.