13 травня о 18:00Вебінар: Як навчати майбутніх програмістів: практичні кейси для уроків інформатики

Урок "Система уроків з теми "Тригонометричні рівняння""

Про матеріал

Узагальнити методи розв'язування тригонометричних рівнянь, відбір коренів; розвивати вміння творчо мислити, виховувати етику та культуру спілкування.

Перегляд файлу

ОЗ Великочернеччинська спеціалізована школа І-ІІІ ступенів Сумської районної ради Сумської області

 

 

 

 

 

Система уроків з теми:

«Тригонометричні рівняння»

Алгебра 10

 

 

 

 

 

 

Вчитель математики

Саранчук О. В.

Урок 1-2

Тема:  Розвʼязування найпростіших тригонометричних рівнянь.

Мета: познайомити учнів з методами розв’язування тригонометричних рівнянь, а також з різними способами запису множини коренів рівняння. Розвивати логічне мислення, виховувати акуратність та наполегливість.

 

ХІД    УРОКУ

І. Оголошення мети уроку.

       Сьогодні  на уроці ми вивчатимемо рівняння, в записах яких є тригонометричні функції. Існує багато різних способів розв’язання тригонометричних рівнянь, але ці методи об’єднує те, що всі тригонометричні рівняння зводяться до найпростіших. Тому вміння розв’язувати найпростіші рівняння – це перший крок до розв’язання більш складних.

ІІ. Нова тема.

       До найпростіших тригонометричних рівнянь відносяться рівняння виду      

а) Розв’яжемо рівняння      на відрізку   . Нехай

 

з урахуванням періодичності приходимо до формули:

,  якщо 

б) Знайомство з розвʼязанням рівнянь виду ,  також починаємо з розвʼязання  рівняння 

                          

з урахуванням періодичності приходимо до формули:

,  якщо 

Після цього розвʼязуємо рівняння:

  ;    ;  ; 

в) Розв’язування вправ  №460  (стор. 217, алгебра 10 клас, Шкіль, Колесник, 2000 рік )

г) Розвʼязуємо рівняння     (графічно ілюструючи, показуємо лінії тангенсів і котангенсів)    і розв’язуємо №461(а-г)

ІІІ. Розв’язування вправ.

1). Розглянемо рівняння виду:  .

Наприклад:  

  а)  ,   тоді      

              ;               ;

;

         

б)             Дане рівняння рівносильне рівнянню:

    ;

        ;

так як ліва частина не менше нуля, то і      ,   отже може приймати значення     0;1;2;3;4…, тому  ,    де  

в) Знайти помилку в розв’язанні :     

Так як один іє коренів рівняння, то всі корені можна записати, як

 

Помилка в тому, що функція    не є періодичною. Правильна відповідь:

2) Розглянемо рівняння виду   

І спосіб

                                                                                                              

 

ІІ- спосіб

Використовуємо формулу пониження степеня: 

   ;      ;      1-cos2x=1    ;   cos2x=0

2x=   ;   x= .

Доводимо, що розвʼязки в першому і другому способах співпадають.

Звертаємо увагу на те, що розвʼязки першого рівняння можна обʼєднати в одну серію розвʼязків другого рівняння.

Наприклад:

 розв’язком деякого рівняння є    .

Знайдемо обʼєднання   . Ці множини мають спільні елементи. Запишемо їх:       

   ;      ;        ;…

Тобто множина міститься в множині . Отже загальна відповідь .

3)  Розвʼязати  систему рівнянь:

    ;      ;     

Для написання відповіді необхідно знайти перетин серій розв’язків.

Відповідь: 

ІV. Самостійна робота.

              І варіант                                                            ІІ варіант 

             №403(а)                                                             №403(б)

               №406(а)                                                             №406(б)

               №409(а)                                                             №409(б)

               №415(а)                                                             №415(б)

Вправи за збірником екзаменаційних завдань. Алгебра 11 клас. Донецьк-1997.

V.  Підсумок.  Домашнє завдання.

Опрацювати  п.38, розв’язати :   А: №463  ,     Б: №464(а-г)  ,   В: №465(в,г).

 

Урок 3-4

Тема:    Методи розв’язування тригонометричних рівнянь

Мета:   Узагальнити методи розв’язування тригонометричних рівнянь, відбір коренів; розвивати вміння творчо мислити, виховувати етику та культуру спілкування.

ХІД   УРОКУ

І. Актуалізація опорних фактів

Розв’язати усно:     а)   3

                                 б)   4

                                  в)   2 sin3x-2=0

                                  г)    sin2x=
                                  д)   

ІІ. Нова тема

Складаємо схему розв’язування тригонометричних рівнянь.

  1. Спробуємо звести всі тригонометричні функції до одного і того ж аргументу.
  2. Якщо всі функції вдалося звести до одного аргументу, то спробуємо всі тригонометричні вирази записати у вигляді однієї  функції.
  3. Якщо до одного аргументу вдалося звести, а до однієї функції ні, то спробуємо звести рівняння до однорідного.
  4. В інших випадках переносимо всі члени в одну частину і пробуємо розкласти на множники, або використовуємо спеціальні прийоми розв’язування.
  5. Якщо потрібно, проводимо відбір коренів на періоді, спільному для всіх функцій, і записуємо відповідь.

ІІІ. Розвʼязування вправ.

Колективно біля дошки розв’язуємо рівняння:

№1.     (зводимо до одного аргументу)

            (зводимо до однієї функції)

            

          .              Позначимо   , тоді

         

                       або             

                                                 

Відповідь:  

 

№2.             2

                    =0

                    2 =0

                     (2)=0

 

                  ;    ;   n,k

№3.      (зводимо до однорідного)

          

Якщо , то і , що не можливо. Отже .

Поділимо ліву і праву частини рівняння на . Маємо

 

    ;        ;   n,k

№4.     

Використовуємо формулу      , маємо:

                       або                   

Розв’язуємо перше рівняння:  

Розв’язуємо друге рівняння:     (ОДЗ  не записуємо, зробимо потім перевірку )

-

2       Звідки:      m,n

В інтервалі трьох множин розв’язків, попадають тільки числа  0 ; ; ; ; . Виконавши перевірку, переконуємося, що 

Відповідь : k

№5. Спеціальні прийоми розв’язування тригонометричних рівнянь.

2

Оцінимо множину значень функцій в лівій і правій частинах рівняння. Позначаємо функції в лівій і правій частині рівняння через                       f       g(x)=.

Так як, ,  то  ,  але , тому

Отже, рівняння рівносильне системі:     ;

 

           ;      ;   

Перевіримо, чи задовольняє розвʼязок  першого рівняння друге рівняння. Якщо    то тоді                                                      

Отже, 

Відповідь:    

  Розв’язати:   №467(а,б,д)     і    №468(а,б,д)

ІV. Самостійна робота

                 І варіант                                                                    ІІ варіант

             № 466(а,г,є)                                                                №466(б,д,ж)       

V. Підсумок уроку.  Домашнє завдання

а) №467-468(ІІ стовпчик)             б) №471(а-в)

 

Урок 5

Тема:  Розвʼязування тригонометричних рівнянь.

Мета: узагальнити методи розв’язування тригонометричних рівнянь, відбір           коренів; розвивати творчо мислити, виховувати етику та культуру спілкування.

ХІД УРОКУ

І. Перевірка домашнього завдання.

ІІ. Розв’язування вправ колективно біля дошки.

  а) рівняння які зводяться до алгебраїчних:

   3(1-)=1+

    3-3 =1+1-2

   1-3   =-2

    2

    ;   

б) Пониження степені в тригонометричних рівняннях:

Позначимо  =t

                                                                                     Розкриваємо дужки використовуючи 5 рядок трикутника Паскаля.

    Підстановка  

        ;        

     ;    

     ;         ;      ; 

Використовуючи одиничне коло запишемо відповідь: .

в) Рівняння, які зводяться до алгебраїчних за допомогою заміни

.  Розвʼяжемо рівняння:

           Нехай  ,    тоді

  ;  

Підставляємо в задане рівняння, маємо:

     ;        ;      маємо:

  1.    (дане рівняння не має коренів)
  2.      ділимо на  

        ;    ,   

Розкладання на множники

   ;   ОДЗ:

2

    

     або    

                                

д) Універсальна підстановка. Цей метод вимагає використання формул:

Основна перевага – в будь-якому випадку отримаємо одну тригонометричну функцію .

Недоліки:

а) часто отримуємо рівняння високого степеня;

б) заміна може привести до втрати коренів.

Наприклад:  

Розвʼязати рівняння:    

ОДЗ:

.    Нехай   , тоді:

    Один із коренів рівняння дорівнює  -1. Тоді

                                                                                                        1   -3   -3   1

                                                                                                             -1    4   -1

                                                                                                  -1    1   -4   1    0

()

                                                                 

                                                                

                      

Чи була втрата коренів? Ні, так, як початкове рівняння містило  , а після застосування формул ОДЗ не звузилось.

ІІІ. Підсумок уроку. Домашнє завдання.

За збірником завдань для екзамену з математики «Алгебра і початки аналізу», Донецьк, 1997 р.

Б:   № 443-453(б)   ;    В:   №552-525(б)

 

Урок 6-7

Тема:  Розв язування   вправ.

Мета:  Узагальнити методи розв’язування тригонометричних рівнянь.  

             Перевірка знань.

ХІД  УРОКУ

І. Перевірка домашнього завдання.  Актуалізація  опорних знань.

Доповнити розв’язання рівняння:

()() (3+sinz)=4                 ОДЗ:

   ;    

Запишемо рівняння  в вигляді:  ()· (3+sinz)=4

Щоб рівність виконувалася, необхідно, щоб добуток трьох множників лівої частини дорівнювала 4, а це можливо, коли 2·1·2. Отже:

   ;             ;        ;  

ІІ Розвʼязування вправ.

Учні працюють в трьох групах. Можна використати гру «Лабіринт». По сигналу капітани підкидають грального кубика, числа, які випали на гранях і будуть стартовими номерами рівнянь, які потрібно виконати, далі стрілка підкаже, над яким завданням слід працювати, переможці отримають оцінки високого рівня.

Завдання взяті із збірника під редакцією М. І. Сканаві

 

1

2

3

4

5

6

І група

8.035

8.038

8.045

8.055

8.059

8.083

ІІ група

8.013

8.014

8.020

8.021

8.022

8.024

ІІІ група

8.182

8.183

8.201

8.203

8.208

8.211

 

ІІІ. Самостійна робота.

           І варіант                                                                        ІІ варіант

  1. 2                                      1) 1-2
  2. )                                2)
  3. 4-4()-                3) 1+
  4. 8         4)
  5.                            5)
  6.             6)

+ 

Додатково: М.І. Сканаві  група В: №8.421;  №8.422;  №8.431

ІV. Підсумок уроку.  Домашнє завдання.

Розв’язати за збірником екзаменаційних завдань з математики «Алгебра і початки аналізу», Донецьк, 1997 р.

№487-489(б)    ;     №534-537(б)

 

 

Урок 8

Тема:  Контрольна робота.

 

Мета:  Перевірка знань.

Розв’язати за збірником екзаменаційних завдань з математики «Алгебра і початки аналізу», Донецьк, 1997 р.

     І варіант                                                                       ІІ варіант

№ 418(а)                                                                      № 418(б)

№ 419(а)                                                                      № 419(б)

№ 421(а)                     3 бали                                     № 421(б)    

№ 432(а)                                                                      № 432(б)

№ 434(а)                                                                      № 434(б)

№ 435(а)                                                                      № 435(б)

 

№ 449(а)                                                                      № 449(б)

№ 452(а)                                                                      № 452(б)

№ 457(а)                      5балів                                    № 457(б)    

№ 462(а)                                                                      № 462(б)

№ 472(а)                                                                      № 472(б)

№ 474(а)                                                                      № 474(б)

 

№ 524(а)                                                                      № 524(б)

№ 528(а)                                                                      № 528(б)

№ 529(а)                        4 бали                                  № 529(б)

№ 538(а)                                                                      № 538(б)

docx
До підручника
Алгебра і початки аналізу (профільний рівень) 10 клас (Мерзляк А.Г., Номіровський Д.А., Полонський В.Б., Якір М.С.)
До уроку
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
Додано
27 липня 2018
Переглядів
1524
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку