Урок "Система уроків з теми "Тригонометричні рівняння""

Про матеріал

Узагальнити методи розв'язування тригонометричних рівнянь, відбір коренів; розвивати вміння творчо мислити, виховувати етику та культуру спілкування.

Перегляд файлу

ОЗ Великочернеччинська спеціалізована школа І-ІІІ ступенів Сумської районної ради Сумської області

Система уроків з теми:

«Тригонометричні рівняння»

Алгебра 10

Вчитель математики

Саранчук О. В.

Урок 1-2

Тема: Розвʼязування найпростіших тригонометричних рівнянь.

Мета: познайомити учнів з методами розв’язування тригонометричних рівнянь, а також з різними способами запису множини коренів рівняння. Розвивати логічне мислення, виховувати акуратність та наполегливість.

ХІД УРОКУ

І. Оголошення мети уроку.

Сьогодні на уроці ми вивчатимемо рівняння, в записах яких є тригонометричні функції. Існує багато різних способів розв’язання тригонометричних рівнянь, але ці методи об’єднує те, що всі тригонометричні рівняння зводяться до найпростіших. Тому вміння розв’язувати найпростіші рівняння – це перший крок до розв’язання більш складних.

ІІ. Нова тема.

До найпростіших тригонометричних рівнянь відносяться рівняння виду

а) Розв’яжемо рівняння на відрізку . Нехай

з урахуванням періодичності приходимо до формули:

, якщо

б) Знайомство з розвʼязанням рівнянь виду , також починаємо з розвʼязання рівняння

з урахуванням періодичності приходимо до формули:

, якщо

Після цього розвʼязуємо рівняння:

; ; ;

в) Розв’язування вправ №460 (стор. 217, алгебра 10 клас, Шкіль, Колесник, 2000 рік )

г) Розвʼязуємо рівняння (графічно ілюструючи, показуємо лінії тангенсів і котангенсів) і розв’язуємо №461(а-г)

ІІІ. Розв’язування вправ.

1). Розглянемо рівняння виду: .

Наприклад:

а) , тоді

; ;

;

б) Дане рівняння рівносильне рівнянню:

;

так як ліва частина не менше нуля, то і , отже може приймати значення 0;1;2;3;4…, тому , де

в) Знайти помилку в розв’язанні :

Так як один іє коренів рівняння, то всі корені можна записати, як

Помилка в тому, що функція не є періодичною. Правильна відповідь:

2) Розглянемо рівняння виду

І спосіб

ІІ- спосіб

Використовуємо формулу пониження степеня:

; ; 1-cos2x=1 ; cos2x=0

2x= ; x= .

Доводимо, що розвʼязки в першому і другому способах співпадають.

Звертаємо увагу на те, що розвʼязки першого рівняння можна обʼєднати в одну серію розвʼязків другого рівняння.

Наприклад:

розв’язком деякого рівняння є .

Знайдемо обʼєднання . Ці множини мають спільні елементи. Запишемо їх:

; ; ;…

Тобто множина міститься в множині . Отже загальна відповідь .

3) Розвʼязати систему рівнянь:

; ;

Для написання відповіді необхідно знайти перетин серій розв’язків.

Відповідь:

ІV. Самостійна робота.

І варіант ІІ варіант

№403(а) №403(б)

№406(а) №406(б)

№409(а) №409(б)

№415(а) №415(б)

Вправи за збірником екзаменаційних завдань. Алгебра 11 клас. Донецьк-1997.

V. Підсумок. Домашнє завдання.

Опрацювати п.38, розв’язати : А: №463 , Б: №464(а-г) , В: №465(в,г).

Урок 3-4

Тема: Методи розв’язування тригонометричних рівнянь

Мета: Узагальнити методи розв’язування тригонометричних рівнянь, відбір коренів; розвивати вміння творчо мислити, виховувати етику та культуру спілкування.

ХІД УРОКУ

І. Актуалізація опорних фактів

Розв’язати усно: а) 3

б) 4

в) 2 sin3x-2=0

г) sin2x=
д)

ІІ. Нова тема

Складаємо схему розв’язування тригонометричних рівнянь.

Спробуємо звести всі тригонометричні функції до одного і того ж аргументу.
Якщо всі функції вдалося звести до одного аргументу, то спробуємо всі тригонометричні вирази записати у вигляді однієї функції.
Якщо до одного аргументу вдалося звести, а до однієї функції ні, то спробуємо звести рівняння до однорідного.
В інших випадках переносимо всі члени в одну частину і пробуємо розкласти на множники, або використовуємо спеціальні прийоми розв’язування.
Якщо потрібно, проводимо відбір коренів на періоді, спільному для всіх функцій, і записуємо відповідь.

ІІІ. Розвʼязування вправ.

Колективно біля дошки розв’язуємо рівняння:

№1. (зводимо до одного аргументу)

(зводимо до однієї функції)

. Позначимо , тоді

або

Відповідь:

№2. 2

2 =0

(2)=0

; ; n,k

№3. (зводимо до однорідного)

Якщо , то і , що не можливо. Отже .

Поділимо ліву і праву частини рівняння на . Маємо

; ; n,k

№4.

Використовуємо формулу , маємо:

або

Розв’язуємо перше рівняння:

Розв’язуємо друге рівняння: (ОДЗ не записуємо, зробимо потім перевірку )

2 Звідки: m,n

В інтервалі трьох множин розв’язків, попадають тільки числа 0 ; ; ; ; . Виконавши перевірку, переконуємося, що

Відповідь : k

№5. Спеціальні прийоми розв’язування тригонометричних рівнянь.

Оцінимо множину значень функцій в лівій і правій частинах рівняння. Позначаємо функції в лівій і правій частині рівняння через f g(x)=.

Так як, , то , але , тому

Отже, рівняння рівносильне системі: ;

; ;

Перевіримо, чи задовольняє розвʼязок першого рівняння друге рівняння. Якщо то тоді

Отже,

Відповідь:

Розв’язати: №467(а,б,д) і №468(а,б,д)

ІV. Самостійна робота

І варіант ІІ варіант

№ 466(а,г,є) №466(б,д,ж)

V. Підсумок уроку. Домашнє завдання

а) №467-468(ІІ стовпчик) б) №471(а-в)

Урок 5

Тема: Розвʼязування тригонометричних рівнянь.

Мета: узагальнити методи розв’язування тригонометричних рівнянь, відбір коренів; розвивати творчо мислити, виховувати етику та культуру спілкування.

ХІД УРОКУ

І. Перевірка домашнього завдання.

ІІ. Розв’язування вправ колективно біля дошки.

а) рівняння які зводяться до алгебраїчних:

3(1-)=1+

3-3 =1+1-2

1-3 =-2

;

б) Пониження степені в тригонометричних рівняннях:

Позначимо =t

Розкриваємо дужки використовуючи 5 рядок трикутника Паскаля.

Підстановка

;

; ; ;

Використовуючи одиничне коло запишемо відповідь: .

в) Рівняння, які зводяться до алгебраїчних за допомогою заміни

. Розвʼяжемо рівняння:

Нехай , тоді

;

Підставляємо в задане рівняння, маємо:

; ; маємо:

(дане рівняння не має коренів)
ділимо на

; ,

Розкладання на множники

; ОДЗ:

або

д) Універсальна підстановка. Цей метод вимагає використання формул:

Основна перевага – в будь-якому випадку отримаємо одну тригонометричну функцію .

Недоліки:

а) часто отримуємо рівняння високого степеня;

б) заміна може привести до втрати коренів.

Наприклад:

Розвʼязати рівняння:

ОДЗ:

. Нехай , тоді:

Один із коренів рівняння дорівнює -1. Тоді

1 -3 -3 1

-1 4 -1

-1 1 -4 1 0

()

Чи була втрата коренів? Ні, так, як початкове рівняння містило , а після застосування формул ОДЗ не звузилось.

ІІІ. Підсумок уроку. Домашнє завдання.

За збірником завдань для екзамену з математики «Алгебра і початки аналізу», Донецьк, 1997 р.

Б: № 443-453(б) ; В: №552-525(б)

Урок 6-7

Тема: Розв язування вправ.

Мета: Узагальнити методи розв’язування тригонометричних рівнянь.

Перевірка знань.

ХІД УРОКУ

І. Перевірка домашнього завдання. Актуалізація опорних знань.

Доповнити розв’язання рівняння:

()() (3+sinz)=4 ОДЗ:

;

Запишемо рівняння в вигляді: ()· (3+sinz)=4

Щоб рівність виконувалася, необхідно, щоб добуток трьох множників лівої частини дорівнювала 4, а це можливо, коли 2·1·2. Отже:

; ; ;

ІІ Розвʼязування вправ.

Учні працюють в трьох групах. Можна використати гру «Лабіринт». По сигналу капітани підкидають грального кубика, числа, які випали на гранях і будуть стартовими номерами рівнянь, які потрібно виконати, далі стрілка підкаже, над яким завданням слід працювати, переможці отримають оцінки високого рівня.

Завдання взяті із збірника під редакцією М. І. Сканаві