Многоугольник и его элементы. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника

Конспект урока по геометрии
в 8 классе
«Многоугольник и его элементы. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника»

Цели урока:

• Образовательные: изучение понятия многоугольник, его элементы; выпуклые и невыпуклые многоугольники; сумма углов выпуклого многоугольника.
• Развивающие: активизация познавательной деятельности учащихся через решение практических задач, умение выбирать правильное решение, лаконично излагать свои мысли, анализировать и делать выводы.
• Воспитательные: организация совместной деятельности, воспитание у учащихся интереса к предмету, доброжелательности, умения выслушивать ответы товарищей.

Тип урока: урок изучения нового материала

Оборудование:

Ход урок:

1. Организационный момент

- Здравствуйте, дети! Проверьте, все ли, что нужно к уроку лежит у вас на партах? (тетрадь, ручка, дневник, линейка, карандаш)

- Садитесь!

2. Мотивация урока.

- Дорогие ребята!Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушел с глубоким убеждением, что геометрия – интересный и нужный предмет.

Французский писатель XIX столетия Анатоль Франс однажды заметил: “Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”.

- Давайте последуем совету писателя на сегодняшнем уроке: будьте активны, внимательны, поглощайте с большим желанием знания, которые пригодятся вам в дальнейшей жизни.

3. Актуализация опорных знаний.

Какие геометрические фигуры нами уже изучены? (треугольники, четырехугольники, круг)

Каковы их элементы? (вершины, стороны, углы)

Фронтальный опрос:

•                 Какая фигура называется треугольником?

•     Какая фигура называется четырехугольником?  (Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков)

•     Какие вершины четырехугольника называются соседними, какие противолежащими? (Вершины четырех угольника называются соседними вершинами, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими вершинами.)
•     А какие вершины называются противоположными у треугольника?
•     Что такое диагонали четырехугольника? (Диагональ - отрезок, соединяющий противоположные вершины)
•     Какие стороны четырехугольника называются соседними? Какие стороны называются противолежащими? (Соседние стороны - стороны четырехугольника, выходящих из одной вершины.  Противоположные стороны - стороны четырехугольника, которые не имеют общего конца.)
•     А какие вершины называются противоположными у треугольника?
• Что такое периметр треугольника?
• А периметр четырехугольника? (сумма всех сторон четырехугольника.)
•     Как проверить, можно ли из четырех данных отрезков построить четырехугольник?
• Чему равна сумма внутренних углов треугольника?
•     А чему равна сумма внутренних углов четырехугольника? (Сумма углов любого четырехугольника равна 360)
•     Могут ли все углы четырехугольника быть тупыми? острыми? прямыми? А в треугольника?

- Молодцы!

4. Изучение нового материала.

- Среди множества различных геометрических фигур на плоскости выделяется большое семейство МНОГОУГОЛЬНИКОВ.

Названия геометрических фигур имеют вполне определенный смысл. Присмотритесь внимательно к слову “многоугольник”, и скажите из каких частей оно состоит?

- Слово “многоугольник” указывает на то, что у всех фигур этого семейства “много углов”.

Подставьте в слово “многоугольник” вместо части “много” конкретное число, например 5. Что получили?

- Правильно! Вы получите ПЯТИУГОЛЬНИК. Или 6. Тогда – ШЕСТИУГОЛЬНИК. Заметьте, сколько углов, столько и сторон, поэтому эти фигуры вполне можно было бы назвать и многосторонниками.

- На рисунке геометрические фигуры. Используя рисунок, назовите эти фигуры.

(восьмиугольник, шестиугольник, пятиугольник, четырехугольник, треугольник)

- Каким наименьшим числом можно заменить “много” в многоугольнике? (Ответ: 3)

- Давайте попробуем определить, что такое ломаная? (Ло́маная— геометрическая фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединенных своими концами.)

- Ребята, а если первая и последняя точки ломаной совпадают, то как называется такая ломаная (называется замкнутой)?

- Имея всю необходимую информацию, давайте попробуем сами сформулировать, что же такое многоугольник?

- Правильно! Фигура, ограниченная простой замкнутой ломаной, называется многоугольником.

• Вершины ломаной называются вершинами многоугольника,
•  стороны ломаной - сторонами многоугольника,
•  а углы, образованные соседними сторонами, - углами многоугольника.
• Точки многоугольника, не принадлежащие его сторонам, называются внутренними.
• Периметром многоугольника называется сумма длин всех его сторон.
• Многоугольник, у которого n углов называется n - угольником.
• Многоугольник называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками он содержит и соединяющий их отрезок.

Любой треугольник выпуклый.  Среди многоугольников, с числом углов большим трех, могут быть выпуклые и невыпуклые.

- В чем отличие данных многоугольников?

Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий его несоседние вершины. Подсчет диагоналей

•      Сколько диагоналей выходит с одной вершины четырехугольника, пятиугольника, шестиугольника?
•      Давайте сравним их с количеством углов. Что мы видим?
•      Какую формулу вы бы записали?
•      Правильно, n-3.
•      Давайте проверим, что это проходит и для треугольника. 3-3=0.
•      А сколько вершин у n-угольника?
•      Тогда, может нужно умножить количество углов n на количество диагоналей, которые выходят с одной вершины n-3?
•      Хорошо! Но при этом мы посчитали каждую диагональ дважды. Как же исправить эту формулу?
• По этому, произведение  n*(n-3)  делят на два.

Диагоналей нет у треугольника на плоскости и у тетраэдра в пространстве, поскольку все вершины этих фигур попарно связаны сторонами (ребрами).

Количество диагоналей N у многоугольника легко вычислить по формуле:

N = n·(n – 3)/2, - запишем формулу в тетради, и выдилим ее.

где n — число вершин многоугольника. По этой формуле нетрудно найти, что

• у треугольника — 0 диагоналей 
• у прямоугольника — 2 диагонали
• у пятиугольника — 5 диагоналей
• у шестиугольника — 9 диагоналей
• у восьмиугольника — 20 диагоналей
• у 12-угольника — 54 диагонали
• у 24-угольника — 252 диагонали

Исследовательская работа по группам

Каждая группа работает по учебно-исследовательской карте.

1.Задача.

Чему равна сумма углов выпуклого пятиугольника?

2.Проблема.

Как зависит сумма углов выпуклого n-угольника от числа углов

многоугольника и от числа треугольников, на которые он разбивается

диагоналями, проведенными из одной вершины?

3.Пробы.

1 проба-180⁰                 2 проба-360⁰          3 проба-540⁰                     4 проба-720⁰

n=3 n=4 n=5 n=6

- Что мы видим? (Количество треугольников (n-2)).

- Давайте заполним таблицу.

4.Таблица результатов.

- Так как, сумма углов одного треугольника – 180, то сумма углов выпуклого n-угольника равна 180° (n-2 )

Вывод: Формула для суммы внутренних углов n-угольника. 180° (n-2 ).

- Сумма внешних углов выпуклого многоугольника не зависит от числа сторон п- угольника и равна 360.

5. Закрепление нового материала.

Задача 253

- Сколько диагоналей можно провести из одной вершины выпуклого семиугольника? Найдите общее количество диагоналей выпуклого семиугольника. (можно провести 4 диагонали из одной вершины выпуклого семиугольника. Общее количество диагоналей выпуклого семиугольника – N=14: )

Задача 254

6. Итоги урока. Рефлексия.

• Что больше всего запомнилось на уроке?
• Что удивило?
• Что понравились больше всего?
• Каким ты хочешь увидеть следующий урок?
• Таким образом, мы самостоятельно вывели формулу для количества диагоналей многоугольника.

Домашнее задание:  № 253, 254, 257 Вариант 2 с ваших сборников