Науково-дослідницька робота

Про матеріал

До дня народження числа ПІ проведено позашкільний захід "Хаос серед чисел". На якому учні познайомилися з історією числа , практичним застосуванням, зробили цікаві висновки.

Перегляд файлу

УПРАВЛІННЯ ОСВІТИ ДЕПАРТАМЕНТУ РОЗВИТКУ ЛМР

Хаос серед чисел

Науково-дослідницька робота

з математики

учнів 10-Б класу

середньої загальноосвітньої школи 60

Рейтар Вікторії

Соболь Уляни

Керівник :

вчитель математики

Гевало Галина Іванівна

Львів - 2023

Зміст:

1. Вступ

2. Загальні відомості про число пі

3. Історія розрахунків

4. Застосування

5. Цікаві факти

6. Висновок

7. Використана література

Вступ

Чи ніколи ми не ставили собі питання, чому число Пі так називається? Ну якщо ж дати на це питання відповідь, то воно походить від грецького слова «вимірюю навколо», яке починається з букви Пі.

Число Пі виражає відношення довжини кола до діаметру і приблизно дорівнює 3,14. Вперше його позначив грецькою буквою π британець Вільям Джонс у праці «Огляд досягнень математики», надрукованій в 1706 році. Він керувався тим, що з неї починається слово περιμετρέο – «вимірюю навколо». Стара назва - лудольфове число, а загальноприйнятим воно стало після робіт Леонарда Ейлера у 1737 році.

Широке поширення це позначення отримало завдяки великому математику Леонарду Ейлеру (1707-1783), який часто ним користувався. Як і коли було відкрито саме число, невідомо. Те, що відношення довжини кола до його діаметра – число постійне, відомо ще з давніх часів. Вавилоняни в III тисячолітті до н. е. вже знали, що Пі дорівнює трохи більше трьох. Обчислити значення цього числа з точністю до трьох знаків вдалося лише в III столітті до н. е. Архімеду. А в XVIII столітті Йоганн Ламберт довів, що Пі не можна виразити у вигляді відношення двох цілих чисел, тобто у вигляді кінцевого або періодичного десяткового дробу. На час Ламберта Пі вже було обчислено з точністю до ста з гаком знаків. А влітку 2010 року була досягнута точність 5 трлн знаків. Пі - ірраціональне число, тобто його значення не може бути точно виражено у вигляді дробу. Отже, його десяткове подання ніколи не закінчується і не є періодичним. Ірраціональність числа Пі була вперше доведена Іоганном Ламбертом в 1761 році. Історія числа Пі йшла паралельно з розвитком всієї математики. Деякі автори розділяють увесь процес на 3 періоди: стародавній період, протягом якого π вивчався з позиції геометрії, класична ера, що прослідувала за розвитком математичного аналізу в Європі в XVII столітті, і ера цифрових комп`ютерів. Ще в давнину люди широко користувалися цим числом, будуючи піраміди, проводячи зрошувальні системи, стягуючи податки. У Вавилоні це співвідношення виражали чомусь числом три. Чому? Невідомо. Але воно виявилося правильним!

Загальні відомості про число пі

Число Пі – математична константа, що виникла в геометрії як відношення довжини кола до довжини його діаметра. Вперше позначенням цього числа грецькою літерою π скористався британський математик Вільям Джонс у 1706 році. Визначити точне значення числа Пі у десятинній системі обчислення є неможливим. Перші десять цифр числа Пі – 3,141592653.

Назва та позначення π походить від початкової букви грецького слова πεϱιφε´ϱεια — периферія, коло.

Наприкінці XVIII ст. німецьким математиком І. Ламбертом і французьким математиком А. Лежандром було доведено, що число пі є ірраціональним, а в 1882 р. німецький математик Ф. Ліндеман довів, що воно не може задовольняти ніякому алгебраїчному рівнянню з цілими коефіцієнтами, тобто є трансцендентним.

Оскільки π є ірраціональним числом, його не можна виразити дробом (або що те саме, його десяткове представлення є нескінченним та неперіодичним). Проте дроби такі як 22722/7 і інші часто застосовуються для наближення числа π.

Найвідомішими формулами з числом �π є такі:

Історія розрахунків

Існування константи охоплює близько 4 тисячоліть. Іншими словами, вона трохи молодша за саму математичну науку.

Перше свідчення того, що число Пі було відоме ще в Прадавньому Єгипті, міститься в папірусі Ахмеса, одному з найстарших знайдених задачників. Документ датується приблизно 1650 роком до нашої ери. У папірусі константа приймалася рівною 3,1605. Це досить точне значення, якщо врахувати, що інші народи використовували 3 для обчислення довжини окружності по її діаметру.

Трохи більш точне число Пі розрахував Архімед, давньогрецький математик. Йому вдалося приблизно представити значення у вигляді звичайних дробів 22/7 і 223/71.

Над розрахунками постійної працював засновник алгебри Аль-Хорезмі, що жив в VIII-IX вв. З невеликою погрішністю він одержав число Пі, рівне 3,1416.

Через 8 століть математиком Людольфом ван Цейленом були правильно визначено 36 символів після коми. За це досягнення число Пі іноді називають людольфовою константою (інші відомі найменування – архімедова константа або кругова постійна)

Лише на початку XVIII століття константу почали називати числом Пі. Позначення у вигляді букви π обране невипадково – саме з неї починаються 2 грецьких слова, що означають окружність і периметр. Назва була запропонована вченим Джонсом в 1706 році, і вже через 30 років зображення цієї грецької літери стало постійно використовуватися серед інших математичних позначок.

В XIX столітті Вільям Шенкс працював над обчисленням перших 707 символів константи. Йому не вдалося повністю досягти поставленого завдання – у розрахунки закралася помилка

Наприкінці XIX століття неправильне значення числа, рівне 3,2, ледве було не прийняли на рівні держави в штаті Індіана. На щастя, математики встигнули виступити проти законопроекту й запобігти помилці.

В XX-XXI століттях із застосуванням обчислювальної техніки точність і швидкість розрахунків константи підвищилася в тисячі раз. До 2002 року в Японії за допомогою комп’ютера було визначено понад 1 трильйон цифр постійної. Через 9 років точність обчислення склала вже 10 трильйонів символів після коми.

Застосування

Незважаючи на те, що Пі – це математична константа, протягом багатьох років люди намагалися використовувати ірраціональне й загадкове значення й в інших сферах життя, у тому числі у творах мистецтва.

Найперші ознаки постійного минулого знайдені в пам’ятнику архітектури в Гізі. При визначенні розмірів Великої піраміди з’ясувалося, що відношення периметра її підстави до висоти рівно π. Невідомо тільки, чи архітектор хотів використати свої знання про це число, чи це випадкове співпадіння.

У цей час число Пі також не обділене увагою у творчості. Приміром, якщо позначити кожну ноту мінорної гами цифрою від 0 до 9, а потім награти отриману послідовність у вигляді числа Пі на музичному інструменті, можна насолодитися незвичайною мелодією із цікавим звучанням.

Постійна також не обійшла стороною кінематограф. Драматичний фільм за назвою «Пі: віра в хаос» одержав нагороду за кращу режисуру на фестивалі кіно Санденс. По сюжету головний герой перебуває в пошуках простих і зрозумілих відповідях на запитання про константу, що в результаті майже довело його до божевілля. Згадки про число зустрічаються також в інших кінофільмах і серіалах.

Цікаві факти:

1.Константа є ірраціональною величиною. Це значить, що її неможливо представити у вигляді відношення двох чисел. Крім того, у його записі відсутня яка-небудь закономірність.

2. Повторювані підряд знаки в константі – не рідкість. Так, на кожні 20-30 символів звичайно зустрічається хоча б 2 цифри, що йдуть підряд. Послідовності з 3 знаків уже більш рідкісні, вони попадаються із частотою близько 1 повторення на 150-300 символів. А на 763 знаку починається ланцюжок з 6 дев’яток, що йдуть підряд. Це місце в записі навіть має власне ім’я – точка Фейнмана.

3. Якщо розглядати перший мільйон символів, то по статистиці найрідшими цифрами в ньому виявляться 6 і 1, а найчастішими – 5 і 4.

4. Цифра 0 з’являється в послідовності пізніше інших, лише на 31 знаці.

5. У тригонометрії кут в 360 градусів і константа тісно зв’язані. Як не дивно, але на 358, 359 і 360 позиції після коми розташоване число 360.

6. У Палаці відкриттів (музей науки в Парижі) існує кругова кімната, яка називається «пі-кімната». На її стіні вписано 707 цифр π. Ці цифри було засновано на розрахунку 1853 року англійського математика Вільяма Шенкса, який містив помилку, починаючи з 528-ї цифри. Цю помилку було виявлено 1946 року й виправлено 1949 року.

7. 14 березня 1592 року 6:53:58 — це ідеальний час Дня числа Пі. Якщо цю дату і час записати в американському форматі — 3,14 1592 6:53:58, то записаний порядок цифр збігається з першими 12 цифрами в числі Пі

8. Значення числа «Пі» відіграє важливу роль при будівництві. Тому його намагалися отримати ще в доісторичні часи. Найточніше значення отримав відомий вчений Архімед, який жив у Давній Греції.

9. У послідовності знаків числа "Пі" немає логічних повторень, а це значить, що ця послідовність підпорядковується теорії хаосу.

10 Існують навіть змагання і світові рекорди, присвячені числу пі. Станом на 17 серпня 2021 року Швейцарські вчені обчислили число Пі до 62,8 трильйона знаків після коми. Досягти рекордного результату вченим з Університету прикладних наук Граубюнден вдалося після 108 днів і 9 годин безперервних розрахунків на суперкомп'ютері.Попереднім рекордом обчислення числа Пі було обраховано значення 50 трильйонів знаків після коми.

Висновок:

Число Пі – дивна константа, яка знайшла своє застосування в абсолютно різних областях, починаючи від техніки й будівництва й закінчуючи сферами мистецтва. Як і будь-яка інша величина, яка застосовується часто і яку неможливо обчислити повністю, вона завжди буде привертати до себе увагу математиків, фізиків і інших учених. Порахувати розмір окружності? Пі вам допоможе. Допомогти побудувати будинок? Без пі обійтися буде складно. Розрахувати відстані до планет, що обертаються навколо Сонця? Пі і тут незамінне. Загалом, число застосовується часто і багато де, і замінити його неможливо.