Опорний конспект з алгебри
( 10 клас , рівень стандарт )
з теми « Формули зведення»
Формули зведення – це формули перетворення тригонометричних функцій кута, за допомогою яких тригонометричні функції від аргументів виду πk α і (2k+1) α , де k∈Z , зводяться до тригонометричних функцій від аргумента α.
Щоб використовувати цю таблицю, необхідно мати гарну пам’ять. Тому для спрощення тригонометричних функцій від аргументів виду πk α і (2k+1) α , де k∈Z , пропонуємо наступний алгоритм.
Алгоритм використання формул зведення
-
Якщо кут отриманий відхиленням на α від горизонтального діаметра (одиничного кола), то назва заданої
функції не змінюється.
-
Якщо кут отриманий відхиленням на α від вертикального діаметра (одиничного кола), то назва заданої функції змінюється на конфункцію ( синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс).
-
Знак отриманого виразу визначається знаком початкової функції ( кут α умовно вважаємо гострим).
Повторимо опорні факти :
1.
2. Знаки тригонометричних функцій за чвертями:
Приклади розв’язування вправ:
-
Спростити вираз -
Розв’язання:
-
Кут – ) знаходиться у III чверті. Значення функції у III чверті від’ємне, тому у правій частині ставимо знак «-»
-
Кут – ) утворений відхиленням на від вертикального діаметра , тому задана функція косинус змінюється на конфункцію синус.
Відповідь : - Sin
|
-
-
Sin, тому маємо
- Sin
|
-
Спростити вираз +
Розв’язання:
-
Треба звернути увагу на те, що у даному прикладі гострий кут (див. пункт 3 алгоритму) записаний у вигляді .
-
Кут + знаходиться у II чверті. Значення функції у II чверті від’ємне, тому у правій частині ставимо знак «-»
-
Кут + утворений відхиленням на від вертикального діаметра , тому задана функція косинус змінюється на конфункцію синус.
Відповідь : + Sin
|
+
+
Sin, тому маємо
+ Sin
|
-
Спростити вираз -
Розв’язання:
-
Кут - ) знаходиться у IV чверті. Значення функції у IV чверті додатнє, тому у правій частині ставимо
знак «+»
-
Кут - ) утворений відхиленням на від горизонтального діаметра, тому задана функція косинус не змінюється.
Відповідь : -
|
-
-
, тому маємо
-
|
-
Спростити вираз -
Розв’язання:
-
Кут - ) знаходиться у II чверті. Значення функції у II чверті від’ємне, тому у правій частині ставимо знак «-»
-
Кут - ) утворений відхиленням на від горизонтального діаметра, тому задана функція косинус не змінюється.
Відповідь : -
|
-
-
, тому маємо
-
|
-
Спростити вираз +
Розв’язання:
-
Кут + знаходиться у IV чверті. Значення функції у IV чверті від’ємне, тому у правій частині ставимо знак «-»
-
Кут + утворений відхиленням на від вертикального діаметра , тому задана функція синус змінюється на конфункцію косинус.
Відповідь : +
|
+
+
, тому маємо
+
|
-
Спростити вираз -
Розв’язання:
-
Треба звернути увагу на те, що у даному прикладі гострий кут записаний у вигляді .
-
Кут - знаходиться у II чверті. Значення функції у II чверті додатнє, тому у правій частині ставимо знак «+»
-
Кут утворений відхиленням на від горизонтального діаметра, тому задана функція синус не змінюється.
Відповідь : - Sin
|
-
-
, тому маємо
- Sin
|
-
Спростити вираз 5π +
Розв’язання:
-
Кут 5π + знаходиться у III чверті. Значення функції у III чверті додатнє, тому у правій частині ставимо
знак «+»
-
Кут 5π + утворений відхиленням на від горизонтального діаметра , тому задана функція котангенс не змінюється.
Відповідь :5π +
|
5π +
5π +
не змінюється, тому маємо
5π +
|
8.Спростити вираз +
Розв’язання:
-
Треба звернути увагу на те, що у даному прикладі гострий кут записаний у вигляді .
-
Кут + знаходиться у II чверті. Значення функції у II чверті від’ємне, тому у правій частині ставимо знак «-»
-
Кут + утворений відхиленням на від вертикального діаметра , тому задана функція тангенс змінюється на конфункцію котангенс.
Відповідь : +
|
+
+
, тому маємо
+
|
Приклади застосування формул зведення.
Приклади
|
Розв’язання
|
1 . Знайти значення виразу:
А) =
Б) =
В)
Г) =
|
Розв’язання :
А) =
Б) = = =
В) + ) = + ) = =
Г) = ctg ( ) = ctg
|
2. Спростити вираз:
А)
Б) + · -
+
|
Розв’язання :
А)
=
Б) + · +
= – (– )
|