Організація самостійної діяльності учнів на уроках геометрії при вивченні теми "Наслідки аксіом стереометрії" для 10 класу

I група

II група

Через будь – які три точки, що не лежать на одній прямій…

Якщо дві площини мають спільну точку…

Якщо точки А, В і С лежать у кожній з двох різних площин, то…

Через дві точки простору можна провести…

… то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку

… вони лежать на одній прямій

… одну пряму, але безліч площин

… можна провести площину, і до того ж тільки одну

Висновки

Способи задання площини:

•           двома прямими, що перетинаються,
•     прямою і точкою, що не лежить на ній,
•           трьома точками, що не лежать на одній прямій

Структура доведення теореми існування та єдності:

1. Доведення існування – конструктивне, тобто показуємо, як можна побудувати шуканий об'єкт.
2. Доведення єдності – методом від супротивного, тобто припускаємо існування ще одного об'єкта зі вказаними в умові властивостями та спираючись на вивчені теоретичні факти, доходимо протиріччя або з умовою, або із відомими твердженнями

Які  з наведених тверджень є правильними?

1

Сторони кожного кута лежать в одній площині.

2

Сторони кожного кута визначають єдину площину.

3

Суміжні кути лежать в одній площині.

4

Кожні три точки визначають єдину площину.

5

Якщо дві різні площини мають спільну пряму, то, крім точок цієї прямої, у них немає спільних точок.

6

Якщо дві різні площини мають спільні точки А і В, то вони перетинаються по прямій АВ.

7

Через пряму і точку можна провести тільки одну площину.

8

 Три точки простору визначають єдину площину.

Варiант 1

1) Скiльки площин можна провести через три точки?

А) Одну;

Б) жодної;

В) безлiч;

Г) одну або безлiч.

2) Через яку фiгуру можна провести бiльш нiж одну площину?

А) Пряму i точку на нiй;

Б) пряму i точку поза нею;

В) двi прямi, що мають спiльну точку;

Г) три точки, що не належать однiй прямiй.

3) Продовжте речення: «Пряма обов’язково належить площинi, якщо...»

А) Вона має з площиною хоча б одну спiльну точку;

Б) вона перетинає площину;

В) двi точки прямої належать площинi;

Г) жодна точка прямої не належить площинi.

4) На яке запитання треба дати позитивну вiдповiдь?

А) Чотири точки не лежать в однiй площинi. Чи можуть якi-небудь

три з них лежати на однiй прямiй?

Б) Дано чотири точки, з яких жоднi три не лежать на однiй прямiй. Чи можуть цi чотири точки лежати в однiй площинi?

В) Чи завжди можна провести тiльки одну площину через пряму i точку?

Г) Чи правильно, що якщо пряма перетинає кожну з двох прямих, якi перетинаються, то всi цi три прямi обов’язково лежать в однiй площинi?

Варiант 2

1) Скiльки площин можна провести через пряму i точку?

А) Одну;

Б) жодної;

В) безлiч;

Г) одну або безлiч.

2) Через яку фiгуру можна провести тiльки одну площину?

А) Двi точки;

Б) пряму, на якiй позначено три точки;

В) три точки, що не належать однiй прямiй

Г) три прямi, що мають спiльну точку.

3) Продовжте речення: «Через будь-якi двi точки простору можна провести...»

А) площину, i тiльки одну;

Б) пряму, i тiльки одну;

В) безлiч прямих;

Г) жодної площини. 

4) На яке запитання треба дати негативну вiдповiдь?

А) Чи правильно, що всi прямi, якi перетинають пряму i проходять через точку поза прямою, лежать в однiй площинi?

Б) Чи правильно, що якщо через чотири точки можна провести площину, то обов’язково тiльки одну?

В) Чи можна провести через пряму двi рiзнi площини?

Г) Чи правильно, що три прямi, якi проходять через одну точку, можуть не лежати в однiй площинi?

Наслідок  1

Наслідок 2

Через пряму і точку, яка не лежить на ній,можна провести площину і до того ж тільки одну.

Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину і до того ж тільки одну

Чи можна через точку перетину двох даних прямих провести третю пряму, яка б не лежала з ними в одній площині?

Розв’язання

Малюнок

Чому саме так?

Через прямі a i b які мають спільну точку О, можна провести площину a. Візьмемо точку В, яка не належить a. Через точки О і В проведемо пряму с. Пряма с не лежить на площині a, бо якби пряма с належала площині  a, то і точка В належала б площині a. Отже, через точку перетину прямих a i b можна провести третю пряму, яка не лежить з ними в одній площині.

Відповідь: Можна.

Очевидно, що точки площини задаватимуть прямі, які будуть належати цій самій площині. Якщо ж взяти точку перетину двох прямих на площині та точку поза площиною, то через будь-які  дві точки простору можна провести пряму. Ця пряма матиме лише одну спільну точку з площиною, а значить, буде її перетинати.

Доведіть, що всі прямі, які перетинають дві дані паралельні прямі, лежать в одній площині.

Доведення

Оскільки пряма a i b паралельні, то,за означенням, ці

прямі лежать в одній площині a. Довільна пряма с, яка

перетинає a i b, має з площиною a дві спільні точки –

 точки перетину. Згідно з теоремою 2, ця пряма належить

площині a. Отже, всі прямі, які перетинають дві паралельні прямі, лежать в одній площині, що й вимагалося довести.

Доведіть, що коли прямі AB i CD не лежать в одній площині, то прямі AC i BD теж не лежать в одній площині.

Доведення

Чому саме так?

Доведемо методом від супротивного. Припустимо, що прямі AC i BD лежать в одній площині. Тоді точки А, В , С, D належать цій площині, а тому прямі AB i CD належать цій площині, що суперечать умові. Припущення неправильне, тому прямі  AC i BD не належать одній площині, що й вимагалося довести.

Під час доведення належності чи не належності часто використовують метод доведення від супротивного. У цьому випадку він одразу виводить на суперечність, а значить – доводить вимогу задачі.