Означення подібних трикутників

Тема. Означення подібних трикутників

Мета: сформувати в учнів уявлення про подібні трикутники; пра­цювати над засвоєнням учнями означення подібних трикутників, зміс­ту поняття коефіцієнта подібності. Сформувати вміння:

• відтворювати зміст вивчених тверджень;
• виконувати  записи   цих  тверджень  математичною  мовою  за допомогою символу « ~ »;
• використовувати  виконані записи для обчислення  невідомих
  елементів подібних трикутників.

Тип уроку: засвоєння нових знань.

Наочність та обладнання: конспект «Подібність трикутників».

Хід уроку

I. Організаційний етап

II. Перевірка домашнього завдання

Цей етап уроку проводимо у формі перевірки домашнього завдання за зразком або пропонуємо учням виконати тестове завдання.

Тестове завдання

1. За даними рисунка 1 знайдіть х .
   а) 4; б) 8;  в) 9; г) 12.
2. За даними рисунка 2 знайдіть у.
   а) 27;  б) 24;  в) 30; г) 16.

III. Формулювання мети і завдань уроку

Для розуміння учнями вивчення матеріалу уроку пропонуємо розглянути рис. 3 та дати від­повіді на такі запитання:

1) Які геометричні фігури (крім відрізків) зображені на цьому рисунку? Назвіть їх.

2) Чи є трикутники АВВ₁ і ACC₁ рівними?
Які елементи цих трикутників відповідно рівні?
Чому ви так вважаєте?

3) Що можна сказати про відповідні сторони АВ і АС та АВ₁ і АС₁ цих трикутників?

Здобуті відповіді дають учням можливість усвідомити, що узагальнена теорема Фалеса приводить до появи іншого, ніж рівність, виду відношень між фігурами (нового для учнів). Вчителю залишається сформулювати мету уроку як необхідність вивчення означення цього нового виду відношень між геометричними фігурами на прикладі найпростішого многокутника, а також дослідження властивості цього відношення та оволодіння способами його застосування під час розв'язування задач.

IV. Актуалізація опорних знань

З метою успішного засвоєння учнями означення, а також доведен­ня властивостей подібних трикутників, учням слід активізувати знання і вміння щодо понять «рівні трикутники», «відповідні елементи трикут­ників», «периметр трикутника», пригадати властивості кутів трикутника.

Для цього пропонуємо учням виконати усні вправи.

Виконання усних вправ

1. Відомо, що ΔМАС = ΔBDF. Запишіть рівності, що з цього виплива­ють: МС = ...; BD = ...; АС = ...; MCA = ...; BDF = ...; CMA = ...
2. Яким — гострокутним, прямокутним чи тупокутним — є трикут­ник, якщо:

а) один із його кутів дорівнює сумі двох інших;

б) один із його кутів більший від суми двох інших;

в) один із його кутів менший від суми двох інших?

V. Засвоєння знань

План вивчення нового матеріалу

1. Уявлення про подібні фігури.
2. Означення подібних трикутників.
3. Властивості відповідних елементів подібних трикутників.

 Донедавна поняття подібності фігур уводилось після вивчення пе­ретворення подібності, і тому подібні фігури визначали як такі, що переводяться одна в іншу перетворенням подібності. У чинній про­грамі з математики для дванадцятирічної школи порівняно з про­грамою 11-річної школи суттєво змінився порядок вивчення де­яких розділів. Це стосується і розділу «Подібність фігур». З огля­ду на це, поняття подібності фігур у новому підручнику не визна­чається (формується уявлення про подібні фігури на інтуїтивно­му рівні), а одразу формулюється означення подібних трикутників (раніше розглядалось як наслідок того, що для подібних трикутни­ків виконуються властивості перетворення подібності).

Після формулювання математичною мовою означення подібних трикутників корисно записати, як виражаються сторони одного з подібних трикутників через коефіцієнт подібності та сторону іншого трикутника (тобто якщо в подібних трикутниках ABC і А₁В₁С₁  , то АВ = k ∙ А₁В₁), а також сформулювати властивість, що випливає з рівності трьох  відношень відповідних сторін  подібних трикутників: якщо , то             АВ : ВС : АС = А₁В₁ : В₁С₁ : А₁С₁.

Також у новому підручнику порівняно з традиційним підручником геометрії приділяється набагато більше уваги властивостям подібних трикутників: вони сформульовані у вигляді опорної задачі та твердження, що міститься в теоретичній частині (див. с. 106). До властивостей, сформульованих у підручнику, автор запропонував би додати властивість радіусів вписаного в трикутник та описаного навколо трикутника кіл (див. конспект 11). Властивості відповідних лінійних елементів подібних трикутників можна запропонувати для доведення на уроці або як додаткове домашнє завдання для «сильних» учнів.

VI. Формування первинних умінь

Виконання усних вправ

1. Відомо, що ΔАВС ~ ΔKMN. Назвіть відповідно рівні кути цих трикутників.
2. Трикутник ABC і трикутник з вершинами D, Е, F подібні, при­чому . Закінчіть запис ΔАВС ~ Δ ...
3. Чи можуть бути подібними прямокутний і тупокутний трикутники?
4. Два трикутники подібні з коефіцієнтом 0,25. У скільки разів сто­рони одного трикутника більші за відповідні сторони іншого?

Виконання письмових вправ

1. На рисунку 4 ΔАВС ~ ΔА₁В₁С₁. За даними рисунка знайдіть х і у.

2. Відомо, що ΔАВС ~ ΔDEF. Знайдіть кут С, якщо A = 45°, Е = 110°.
3. Відомо, то ΔАВС ~ ΔDEF , причому D = 70°, B = 55°. Доведіть, що АВ = АС .

4*. Відомо, що ΔАВС ~ ΔKMN , причому A + M = 90°. Доведіть, що АВ — найбільша сторона трикутника ABC.

5 (додатково). Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 70°. На продовженні основи взяли точку і з'єднали її з вершиною даного трикутника. Виявилось, що ΔADB подібний до даного трикутника (рис. 5). Знайдіть кути трикутника CBD .

VII. Підсумки уроку

Два трикутники подібні. Чи відповідають цьому твердженню наведені умови?

1. Два кути одного трикутника дорівнюють 40° і 60°, а в іншому із
   трикутників є кут 80°.
2. Сторони одного із трикутників дорівнюють 1 м, 1,5 м, 2 м, а сто­рони іншого з трикутників дорівнюють 10 м, 15 м, 20 м.

VIII. Домашнє завдання

Вивчити означення подібних трикутників та властивості подібних трикутників (з доведенням). Розв'язати задачі.

1. На рисунку 6 ΔАВС ~ ΔА₁В₁С₁. Заданими рисунка знайдіть х і у.

2. Відомо, що ΔАВС ~ ΔDEF. Знайдіть кут F, якщо B = 80°, A = C.
3. Сторони трикутника дорівнюють 2,5 см, 4 см і 5 см. Знайдіть сто­рони трикутника, подібного даному, якщо його найменша сторо­на дорівнює найбільшій стороні даного трикутника.
4. (додатково). Периметр одного трикутника дорівнює периметра іншого, подібного до нього трикутника. Різниця відповідних сторін цих трикутників дорівнює 1 м. Знайдіть ці сторони.