Подібність трикутників за двома кутами

Тема. Подібність трикутників за двома кутами

Мета: домогтися розуміння учнями змісту першої ознаки подіб­ності трикутників та наслідку з неї, плану їх доведення. Формувати вміння:

• відтворювати зміст вивченої ознаки та наслідку з неї;
• виділяти у трикутниках елементи для визначення їх подібності за двома кутами;
• застосовувати формулювання першої ознаки подібності трикутників до розв'язування задач.

Тип уроку: засвоєння нових знань.

Наочність та обладнання: конспект «Подібність трикутників».

Хід уроку

I. Організаційний етап

II. Перевірка домашнього завдання

Під час усного обговорення контрольних моментів задач домаш­ньої роботи учні мають відтворити аргументовані міркування з вико­ристанням означення й властивостей подібних трикутників та їх лінійних елементів.

III. Формулювання мети і завдань уроку

З метою створення відповідної мотивації навчальної діяльності учнів пропонуємо їм відповісти на низку запитань.

1. Які два трикутники називаються рівними? Чи можна довести, ви­користовуючи означення рівних трикутників, що трикутники, зоб­ражені на рис. 1, є рівними? Яке твердження можна для цього ви­користати?

2. Які два трикутники називаються подібними? Чи можна довести,
   використовуючи означення подібних трикутників, що трикутники, зображені нарис. 2, є подібними? Чи відомо вам твердження, яке можна було б для цього використати?

Відповіді на запитання допомагають учням усвідомити, що: по-перше, так само як і означення рівності трикутників, означення подібності трикутників має певні обмеження під час застосування; по-друге, зважаючи на існування певних аналогій між поняттями рівності та подібності трикутників та на існування ознак рівності трикутників, можна припустити, що є ознаки подібності трикутників, тобто твердження, що за обмеженої кількості даних елементів трикутників дозволяють установити подібність трикутників.

Отже, вивчення ознак подібності трикутників є загальною метою наступних трьох уроків. На цьому уроці (див. запитання вище) має бути встановлено, чи можна стверджувати, що трикутники подібні тільки за двома кутами, і в разі позитивної відповіді слід оволодіти вміннями використовувати цю ознаку для розв'язування задач.

IV. Актуалізація опорних знань

З метою успішного засвоєння учнями ознак подібності трикутників за двома кутами, а також ідеї її доведення, учням слід активізувати знання і вміння щодо теореми про суму кутів трикутника; ознак рівності трикутників; властивостей кутів при паралельних прямих та січній; застосування теореми про пропорційні відрізки.

Виконання усних вправ за готовими рисунками

V. Засвоєння знань

План вивчення нового матеріалу

1. Теорема (ознака подібності трикутників за двома кутами): форму­лювання та доведення.
2. Наслідки з теореми: формулювання і доведення.
3. Перша ознака подібності для окремих видів трикутників.

 З огляду на суттєву відмінність програми з математики для дванадцяти­річної школи від «старої» програми (див. методичний коментарію уро­ку № 26), доведення ознаки подібності трикутників за двома кутами ве­деться не через виконання перетворення подібності (як це було рані­ше), а здійснюється з посиланням на теорему про суму кутів трикут­ника, властивості відповідних кутів при паралельних прямих і січній, другу ознаку рівності трикутників та теорему про пропорційні відрізки. Отже, якщо на попередньому етапі уроку належним чином було про­ведено підготовчу роботу, то доведення ознаки подібності трикутників за двома кутами має бути зрозумілим для учнів, а тому відтворення до­ведення (як не вимагає програма) не становитиме для них труднощів. З метою полегшення запам'ятовування доведення доцільно скласти план, який згодом учні зафіксують у зошитах. Закріплення змісту дове­деної теореми проводиться під час виконання усних вправ (див. нижче).

Крім теореми, що виражає ознаку подібності трикутників за двома кутами, автор вважає за доцільне на цьому уроці розглянути деякі опорні факти (безпосередньо випливають із доведеної ознаки), які мають досить велике практичне значення. Мова йде про такі твердження:

• пряма, що перетинає дві сторони трикутника і проходить паралельно до третьої   сторони,   відтинає   від   даного трикутника подібний до нього трикутник;
• трикутники,  утворені  основами тра­пеції і прилеглими до них відрізками діагоналей, на які вони діляться точкою свого перетину, подібні (див. рис. 3).

ABCD – трапеція  (BC || AD); О – точка перетину діагоналей, ΔAOD ~ ΔСОВ.

Справедливість першого твердження очевидна (див. підручник); для доведення другого твердження достатньо пригадати означення трапеції (основи паралельні) та властивість внутрішніх різносторонніх кутів при паралельних прямих та січній. Попереджаючи можливі типові помилки у застосуванні другого наслідку (для трапеції), вчитель має одразу звернути увагу учнів на те, що різні відповідні вершини подібних трикутників трапеції є кінцями однієї і тієї самої діагоналі. Що стосується трансформації ознаки для окремих видів трикутників (усі рівносторонні трикутники подібні; рівнобедрені трикутники подібні, якщо мають або по рівному куту між бічними сторонами, або по рівному куту при основі), то ці твердження можна довести під час вивчення нового матеріалу, спираючись на доведену ознаку для довільного трикутника, або розв'язати відповідні завдання, після чого узагальнити здобуті відповіді.

VI. Формування первинних умінь

Виконання графічних вправ

1. Накресліть трапецію і проведіть її діагоналі.

а) Виділіть кольором подібні трикутники, які утворилися на рисунку. За якою ознакою можна довести їх подібність?

б) Виміряйте довжини відрізків однієї діагоналі, на які вона ділиться точкою перетину діагоналей. Виміряйте довжину однієї з основ трапеції і обчисліть довжину другої основи, користуючись подібністю трикутників. Перевірте результат вимірюванням.

2. Накресліть трикутник і проведіть пряму, яка паралельна одній із
   його сторін і перетинає дві інші сторони.

а) Виділіть кольором подібні трикутники, які утворилися на рисунку. За якою ознакою можна довести їх подібність?

б) Виміряйте кути, під яким дана пряма перетинає сторони трикутника, і знайдіть усі кути трикутника.

Виконання письмових вправ

1. На рисунку 4 знайдіть подібні трикутники і доведіть їх подібність.

2. За даними рисунка 5 доведіть подібність трикутників ABC і А₁В₁С₁.
3. Продовження бічних сторін АВ і CD трапеції ABCD перетина­ються в точці О.

а) Доведіть, що ΔAOD ~ ΔВОС .

б) Знайдіть AD, якщо ВС = 4 см. ОВ = 6 см, ОА = 9 см.

4. Два рівнобедрені трикутники мають рівні куги при основі. Основа одного трикутника дорівнює 8 см, а бічна сторона — 6 см. Знайдіть периметр другого трикутника, якщо його основа дорівнює 4 см.
5. Доведіть, що будь-які два рівнобедрені прямокутні трикутники подібні.

 Під час розв'язування задач (починаючи вже з усних вправ) слід вимагати від учнів побудови доведення у формі, яка їм знайома із сьомого класу (застосовувалась під час виконання доведення рів­ності трикутників).

Розглянемо трикутники... і ... У них:

(дається перелік пар відповідно рівних кутів трикутників з обґрунтуванням відповідно до ознаки подібності або відповідно до певного наслідку), тому

Трикутники... і ... подібні за двома кутами (або як рівнобедрені...)

VII. Підсумки уроку

Чи можуть бути подібними:

а) прямокутний і рівнобедрений трикутники;

б) прямокутний і рівносторонній трикутники;

в) трикутник із кутом 50° і трикутник із кутом 100°;

г) трикутник із кутом 60° і трикутник із кутом 120°?

VIII. Домашнє завдання

Вивчити зміст за доведення першої ознаки подібності трикутників.

Розв'язати задачі.

1. На рисунку 6 знайдіть подібні трикутники і доведіть їх подібність.
2. Діагоналі трапеції ABCD (AD || BC) перетинаються в точці О .

а) Доведіть, що ΔAOD ~ ΔСОВ .

б) Знайдіть ВС , якщо AD = 16 см, АО : ОС = 4 : 3.

3. Визначте, чи побідні трикутники зі сторонами:

а) 3, 4, 6 і 9, 15, 18; б) 2, 3, 3 і 8, 12, 12.

4. Два рівнобедрені трикутники мають рів­ні кути, протилежні до основи. Перимет­ри цих трикутників дорівнюють відповідно 15 см і 10 см. Знайдіть сторони другого три­кутника, якаю бічна сторона першого три­кутника дорівнює 6 см.
5. На рисунку 7 знайдіть подібні трикутники
   і доведіть їх подібність.