♥ Переміщення та його властивості. Центральна та осьова симетрії. Поворот і паралельне перенесення ♥

Переміщення (рух) та його властивості. Рівність фігур. Симетрія. Дубровіна Катерина 9 клас

Перетворення фігури F у фігуру F` називають таку відповідність, при якій: Кожній точці фігури F відповідає певна точка фігури F’ 2) Кожна точка фігури F’ є образом деякої точки фігури F 3) Різними точками фігури F відповідають різні точки фігури F’

ПЕРЕМІЩЕННЯ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

Зауважимо, що поняття переміщення (руху) зустрічається й у фізиці, але там воно має інший зміст. Фізичний рух характеризується траєкторією, швидкістю тощо. Натомість у геометрії мають значення лише початкове й кінцеве положення фігури. Сформулюємо деякі властивості переміщення. Очевидно, що коли фігуру F′ отримано деяким переміщенням фігури F, а фігуру F′′ — іншим переміщенням фігури F′, то відстані між відповідними точками фігур F, F′ і F′′ рівні, тобто два послідовні переміщення знову дають переміщення. Якщо певне перетворення переводить фігуру F у фігуру F′, то існує перетворення, яке переводить фігуру F′ у фігуру F. Таке перетворення називають оберненим до даного. Якщо дане перетворення зберігає відстань між точками, то обернене також має цю властивість. Це означає, що перетворення, обернене до переміщення, також є переміщенням. ПЕРЕМІЩЕННЯ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

Доведемо основну властивість переміщення ПЕРЕМІЩЕННЯ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ Унаслідок переміщення точки, що лежать на прямій, переходять у точки, що лежать на прямій, і порядок їх взаємного розміщення зберігається.  Нехай на прямій AC точка B лежить між точками A і C, а точки A′, B′ і C′ — образи точок A, B і C, отримані в результаті переміщення (рис. 44). Доведемо, що точка B′ лежить на прямій A′C′ між точками A′ і C′. Якщо точка B лежить між точками A і C, то за аксіомою вимірювання відрізків AC = AB + BC. За означенням переміщення AC = A′C′, AB = A′B′, BC = B′C′, отже, A′C′ = A′B′ + B′C′. За наслідком з нерівності трикутника це означає, що точка B′ лежить на прямій A′C′ між точками A′ і C′, тобто точки A′, B′ і C′ лежать на одній прямій. Теорему доведено. 

ПЕРЕМІЩЕННЯ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

ПЕРЕМІЩЕННЯ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ Будь-яке накладання є переміщенням, і навпаки: будь-яке переміщення є накладанням. Рівні фігури переводяться одна в одну переміщенням, і навпаки: внаслідок переміщення будь-яка фігура переходить у рівну їй фігуру Таким чином, можна дати таке означення рівних фігур. Дві фігури називаються рівними, якщо вони суміщаються переміщенням.

Центральна та осьова симетрії Дубровіна Катерина 9 клас

Cиметрія — від грецького «симетріа» — узгодженість розмірів, однаковість у розміщенні частин. Симетрія відносно точки

Сайт:http://pedsovet.su/ Симетрія відносно точки Центральна симетрія є переміщенням  Нехай унаслідок центральної симетрії відносно точки O точки X і Y переходять у точки X′ і Y′ відповідно. Розглянемо загальний випадок (рис. 50), коли точки O, X і Y не лежать на одній прямій (інший випадок розгляньте самостійно). Трикутники XOY і X′OY′ рівні за першою ознакою (XO  =  X′O і YO  =  Y′O за означенням центральної симетрії, ∠XOY  =  ∠X′OY′ як вертикальні), отже, XY  =  X′Y′. Таким чином, центральна симетрія зберігає відстань між точками, отже, є переміщенням.  Із доведеної теореми випливає, що центральна симетрія має всі властивості переміщення.

Симетрія відносно прямої Точки X і X′ називаються симетричними відносно прямої l, якщо ця пряма перпендикулярна до відрізка XX′ і проходить через його середину.

Симетрія відносно прямої Доведення

Поворот і паралельне перенесення Дубровіна Катерина 9 клас

ПОВОРОТИ В РЕАЛЬНОСТІ

Означення Поворотом фігури F навколо точки O на кут α називається перетворення фігури F у фігуру F′, унаслідок якого кожна точка X фігури F переходить у точку X′ фігури F′ так, що OX′ = OX і ∠XOX′ = α. Точку O називають центром повороту, а кут α — кутом повороту41* . Окрім центра й кута, поворот задається також напрямом — за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки. Унаслідок повороту фігури F навколо точки O на кут α кожна точка X даної фігури зміщується по дузі кола з центром O і радіусом OX (рис. 59). Очевидно, що внаслідок будь-якого повороту положення центра повороту не змінюється.

Теорема (основна властивість повороту) Поворот є переміщенням. Доведення  Розглянемо випадок, коли кут повороту менший від 180°. Нехай унаслідок повороту навколо точки O на кут α точки X і Y переходять у точки X′ і Y′ відповідно. Розглянемо загальний випадок (рис. 60), коли точки O, X і Y не лежать 4* У шкільному курсі геометрії розглядатимуться кути повороту в межах від 0° до 360°. Рис. 58. Поворот точки X навколо точки O на кут α проти годинникової стрілки Рис. 59. Поворот фігури F навколо точки O на кут α за годинниковою стрілкою 107 § 11. Поворот і паралельне перенесення на одній прямій (інший випадок розгляньте самостійно). Трикутники XOY і X′OY′ рівні за першою ознакою: OX = OX′ і OY = OY′ за означенням повороту, ∠ XOY = ∠ X′OY′ (у випадку, поданому на рис. 60, кожен із цих кутів дорівнює сумі (рис. 60, а) або різниці (рис. 60, б) кута повороту α і кута X′OY). Із рівності трикутників випливає, що XY = X′Y′. Отже, поворот зберігає відстань між точками, тобто є переміщенням. Випадки, коли 180° α 360°, розгляньте самостійно.  З перетворенням повороту також пов’язаний певний вид симетрії. Якщо внаслідок повороту навколо деякої точки O на кут α (0° < α 180°) фігура F переходить у себе, то кажуть, що ця фігура має поворотну симетрію (або симетрію обертання). Наприклад, поворотну симетрію має рівносторонній трикутник: справді, він переходить у себе внаслідок повороту на кут 120° навколо точки О — центра даного трикутника (рис. 61).

Означення Два промені називаються співнапрямленими (або однаково напрямленими), якщо виконується одна з двох умов: 1) дані промені паралельні й лежать по один бік від прямої, що проходить через їхні початкові точки; 2) дані промені лежать на одній прямій, причому один із них є частиною іншого. Означення Два промені називаються протилежно напрямленими, якщо один із них співнапрямлений з променем, доповняльним до іншого. Означення Паралельним перенесенням фігури F у напрямі променя OA на відстань a називається перетворення фігури F у фігуру F′, унаслідок якого кожна точка X фігури F переходить у точку X′ фігури F′ так, що промені XX′ і OA співнапрямлені і XX′ = a.

Паралельне перенесення є переміщенням. Доведення Нехай унаслідок паралельного перенесення в напрямі променя OA на відстань a точки X і Y переходять у точки X′ і Y′ відповідно. Розглянемо загальний випадок (рис. 65), коли відрізок XY не паралельний променю OA і не лежить на ньому (інші випадки розгляньте самостійно). За означенням паралельного перенесення XX′ ′ YY ., XX′ = YY′ = a. Таким чином, чотирикутник XX′Y′Y, дві сторони якого паралельні й рівні, — паралелограм, звідки XY = X′Y′. Отже, паралельне перенесення зберігає відстань між точками, тобто є переміщенням. Теорему доведено.  Якщо внаслідок деякого паралельного перенесення фігура F переходить у себе, то кажуть, що ця фігура має переносну симетрію. Серед фігур, які вивчаються в шкільному курсі планіметрії, таку властивість має лише пряма. Але приклади переносної симетрії можна знайти в інших науках, мистецтві й повсякденному житті. На рис. 66 подано ескіз графіка функції y = sinx, яку ви будете вивчати в курсі алгебри; цей графік має переносну симетрію в напрямі осі абсцис.

Дякую за увагу!