Тема уроку.   Перетворення подібності та його властивості.

Мета уроку: формування знань учнів про подібність просторових фігур, вивчення властивостей перетворення подібності та застосування їх до розв'язування задач.

Обладнання: моделі куба і тетраедра.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1. Колективне обговорення контрольних запитань № 9—11 та розв'я­зування задач № 23—25 (1).

2. Математичний диктант.

При паралельному перенесенні точка А переходить у точку В:

варіант 1 — А (6; 7; 8), В (8; 2; 6); варіант 2 — A(2; 1; 3), В(1; 0; 7). Запишіть:

1) формули паралельного перенесення;

2) координати точки С, яка утворилася в результаті цього паралельно­го перенесення точки О (0; 0; 0);

3) координати точки D, яка утворилася в результаті цього паралель­ного перенесення точки С;

4) координати точки F, в яку перейшла точка M (1; 1; 1) в результаті цього паралельного перенесення;

5) формули паралельного перенесення, при якому точка В перейде в точку А.

Відповідь.  Варіант 1. 1) х₁ = х + 2, у₁ = у – 5, z₁ = z – 2; 2) С(2; -5; -2);

3) D(4; -10; -4); 4) F(-1; 6; 3); 5) x₁ = х - 2, у₁ = у + 5, z₁ = z + 2 .

Варіант 2.1) x₁ = х – 1, y₁ = y –1, z₁ = z + 4 ; 2) C(-1; -1; 4);

3) D(-2; -2, -8); 4) F(2; 2; -3); 5) x₁ = x + 1, y₁ = y + 1, z₁ = z - 4 .

II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Перетворення подібності в просторі

Перетворення фігури F в фігуру F₁ називається перетворенням подібності, якщо будь-які довільні точки Х і Y фігури F переходять у точки X₁, і Y₁ фігури F₁ такі, що Х₁Y₁ = k XY .

Перетворення подібності в просторі, як і на площині, переводить прямі у прямі, півпрямі у півпрямі, відрізки у відрізки і зберігає кути між півпрямими.

Дві фігури в просторі називаються подібними, якщо вони пе­реводяться одна в одну перетворенням подібності.

Найпростішим перетворенням подібності в просторі є гомотетія.

Гомотетія відносно центра О з коефіцієнтом k — це перетво­рення, яке переводить довільну точку Х у точку X₁ променя ОХ таку, що ОХ₁ = k OX . (рис. 270).

Далі формулюється теорема:

Перетворення гомотетії у просторі переводить довільну площину, яка не проходить через центр гомотетії, у пара­лельну площину (або в себе, коли k = 1).

Доведення проводиться так, як це зроблено в підручнику.

Розв'язування задач

1. Що являє собою фігура, подібна до куба з коефіцієнтом подібності:

а) k = 2;          б) k = ;     в) k = 1?

2. Побудуйте фігуру, гомотетичну даному тетраедру ABCD відносно точки S (рис. 271) з коефіцієнтом гомотетії:              а) k = 2;          б) k = ;     в) k = 1.

3. В яку фігуру переходить площина при гомотетії, якщо ця площина проходить через центр гомотетії?

4. Побудуйте фігуру, в яку перейде куб при гомотетії відносно точки S (рис. 272) з коефіцієнтом гомотетії:

5. Трикутник АВС гомотетичний трикутнику А₁В₁С₁ відносно початку координат з коефіцієнтом гомотетії k = 2. Знайдіть координати вер­шин трикутника А₁В₁С₁, якщо А (1; 0; 0), В (0; 3; 0),   С (0; 0; - 3).

6. Задача № 29 із підручника (с. 56).

III. Домашнє завдання

§ 4, п. 30; контрольні запитання № 12—13; задача № 28 (с. 56).

IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Що таке перетворення подібності? Перелічіть його властивості.

2) Яке перетворення називається гомотетією з центром О і коефіцієнтом А?

3) У трикутній піраміді SABC проведено переріз MNK  так,  що   SM = 2MA,   SK = 2KC, SN = 2NB (рис. 273). Укажіть, які з поданих тверджень правильні, а які — неправильні:

а) при гомотетії з центром S і коефіцієнтом точка М переходить у точку А;            

б) при гомотетії з центром S і коефіцієнтом площина АВС переходить у площину MNK;

в) AB = MN;

г) при гомотетії з центром S і коефіцієнтом — піраміда SABC пе­реходить у піраміду SMNK;

4) У кубі ABCDA₁B₁C₁D₁ проведено перерізи BDC₁ і MNK, де точки М, N, К — середини ребер СС₁, ВС, DC (рис. 234). Укажіть, які з поданих тверджень правильні, а які — неправильні:

а) при гомотетії з центром С і коефіцієнтом 0,5 точка М переходить у точку C₁;

б) при гомотетії з центром С і коефіцієнтом 2 площина MNK переходить у площину BDC₁;

в) BD = 2NK ;

г) площа перерізу BDC₁ у 4 рази більша пло­щі перерізу MNK.