Перпендикуляр і похила. Розв'язування задач

Тема. Перпендикуляр і похила. Розв'язування задач

Мета: сформувати в учнів свідоме розуміння змісту понять похилої до прямої, проекції похилої на пряму, а також властивостей перпенди­куляра, похилих та їх проекцій.

Сформувати вміння:

• відтворювати зміст вивчених понять;
• знаходити названі геометричні об'єкти на рисунку;
• виконувати рисунок із зображенням названих об'єктів за даним описом;
• застосовувати   формулювання   властивостей   перпендикулярів, похилих та проекцій для розв'язування задач.

Тип уроку: застосування знань, умінь та навичок.

Наочність та обладнання: конспект «Перпендикуляр і похила».

Хід уроку

І. Організаційний етап

II. Перевірка домашнього завдання

Математичний диктант

III. Формулювання мети і завдань уроку

Учитель повідомляє проте, що в математиці існують поняття, влас­тивості яких мають пряме відношення до теореми Піфагора. На уроці відбудеться ознайомлення учнів з цими поняттями, а також будуть до­сліджені їх властивості, що випливають із тверджень теореми Піфагора.

IV. Актуалізація опорних знань

З метою успішного засвоєння учнями змісту поняття похилої до прямої, проекції похилої на пряму, а також розуміння учнями їх властивостей, слід активізувати знання і вміння щодо означення перпендикуляра, проведеного з точки поза прямою, та його властивостей: означення Прямокутного трикутника та властивостей його сторін; теореми Піфагора.

Виконання усних вправ

1. Два креслярські трикутники розміщені так. як показано на рис. 1. Що можна сказати з цього приводу?
2. Чи може діагональ прямокутника бути мен­шою за одну з його сторін?
3. Чи може діагональ ромба бути в два рази
   довшою за його сторону?
4. У теоремі Піфагора назвіть умову і висновок.

V. Засвоєння знань

План вивчення нового матеріалу

1. Похила, проведена з точки до прямої; основа перпендикуляра та основа похилої; проекція похилої на пряму.
2. Властивості перпендикуляра, похилих та їх проекцій.

VI. Формування первинних умінь

Засвоєння змісту понять «похила...» та їх властивостей відбувається у процесі розв'язування усних задач.

Виконання усних вправ

1. Із точки поза прямою проведено до неї дві похилі, одна з яких має довжину 10 см і утворює зі своєю проекцією на пряму кут 30°. Знайдіть довжину другої похилої, якщо вона утворює з прямою кут 45°.
2. У трикутнику ABC  1 = 90°. Назвіть:

а) похилу до прямої АВ , проведену з точки С;

б) проекцію похилої ВС на пряму АС .

3. Відрізки о, і а₂ — проекції похилих l₁ і l₂, проведених з однієї точ­ки до однієї прямої. Порівняйте:

а) l₁ і l₂, якщо а₁ < а₂;

б) а₁ і а₂, якщо l₁ = l₂.

4. Дві похилі до однієї прямої мають рівні проекції. Чи обов'язково ці похилі рівні?
5. Скільки рівних похилих до даної прямої можна провести з точки,
   яка не лежить на цій прямій?

Під час розв'язування задач бажано виконувати відповідні ілюстрації.

6. Сформулюйте теорему Піфагора, використовуючи поняття «пер­пендикуляр», «похила», «проекція похилої».

Виконання графічних вправ

1. Дано прямі т і п, точку А поза ними (див. рис. 2). Проведіть перпендикуляри з даної точки до даних прямих. Із даної точки проведіть по дві похилі до кож­ної з прямих. Виконайте записи влас­тивостей перпендикуляра, похилих та їх проекцій на відрізки, що утворилися на вашому рисунку, виконавши необхідні вимірювання.
2. Із точки, що лежить на відстані 4 см від даної прямої, треба про­
   вести дві похилі довжиною 5 см і 6 см. Як виконати цю побудову?
   Скількома способами це можна зробити?

Виконання письмових вправ

1. Із точки, взятої на відстані 12 см від прямої, проведено до неї дві похилі. Знайдіть відстань між основами похилих, якщо їх сума дорівнює 28 см, а проекції похилих відносяться як 5 : 9.
2. Із однієї точки до даної прямої проведено дві рівні похилі. Відстань між їх основами 14 см. Визначте проекції похилих на дану пряму.
3. Точка знаходиться на відстані 6 см від прямої. З неї до прямої про­ведено похилу, яка утворює з прямою кут 45°. Знайдіть проекцію похилої на цю пряму.
4. Із точки поза прямою проведено до неї дві похилі; довжина однієї з них дорівнює 25 см, а довжина її проекції — 15 см. Знайдіть дов­жину другої похилої, якщо вона утворює з прямою кут 30°.
5. Із точки до прямої проведено перпендикуляр завдовжки 8 см і дві похилі з довжинами 10 см і 17 см. Знайдіть відстань між основами похилих. Скільки розв'язків має задача?
6. Знайдіть висоту, проведену до найбільшої сторони трикутника зі сторонами 15, 41 і 52.

VII. Підсумки уроку

Тестове завдання

1. Нехай MN — перпендикуляр, опущений із точки М на пряму а, а Р і R — будь-які точки прямої а (рис. 3). Яке твердження не­правильне?

1) Відрізки MP і MR називаються похилими, проведеними з точки М до прямої а.

2) PN і RN  — проекція похилих MP і  MR.

3) Якщо PN < NR, то MP < MR.

4) З даної точки поза прямою можна провести до неї три похилі однакової довжини.

2. Похила довжиною 10 см, проведена з даної точки до прямої, має
   проекцію довжиною 6 см. Обчисліть довжину перпендикуляра,
   опущеного з тієї самої точки на пряму.

1) 9 см; 2) 8 см; 3) 7 см; 4) 6 см.

3. Із точки К до прямої а проведено перпендикуляр і похилу дов­жиною відповідно 15 см і 17 см. Знайдіть проекцію похилої.

1) 6 см; 2) 7 см; 3) 8 см; 4) 9 см.

4. У трикутнику ABC C = 90°, CD AB, AC = 13 см, CD = 5 см, AB = 20 см (рис. 4). Знайдіть проекцію катета СВ на гіпотену­зу АВ.

1) 5 см; 2) 6 см; 3) 7 см; 4) 8 см.

5. Відрізок MN дорівнює 25 см. Його кінці лежать від прямої а на відстані 4 см і 11 см. Знайдіть проекцію відрізка MN на цю пряму.

1) 22 см; 2) 23 см; 3) 24 см; 4) 20 см.

VIII. Домашнє завдання

Вивчити зміст основних понять уроку.

Розв'язати задачі.

1. З точки до прямої проведено перпендикуляр і похилу. Знайдіть дов­жину:

а) похилої, якщо її проекція дорівнює 9 см, а перпендикуляр має довжину 40 см;

б) перпендикуляра,   якщо   похила  та  її  проекція  дорівнюють відповідно 29 см і 20 см.

2. Знайдіть висоту, проведену до найбільшої сторони трикутника зі
   сторонами 15, 13 і 14.
3. із точки до прямої проведено перпендикуляр і дві похилі, різни­ця довжин яких складає 8 см. Знайдіть довжину перпендикуляра, якщо проекції похилих дорівнюють 8 см і 20 см.

Повторити ознаки подібності прямокутних трикутників, означення бісектриси   трикутника,   властивість   бісектриси   рівнобедреного

трикутника, проведеної до основи.