Перпендикулярність прямих і площин у просторі

Перпендикулярність прямих і площин у просторіКут між двома прямими. Кут між прямою і площиною. Кут між двома площинами10 клас. Рівень стандарт

Тема1. Кут між прямими

{18603 FDC-E32 A-4 AB5-989 C-0864 C3 EAD2 B8}Взаємне розміщення прямих у просторі{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Не лежать в одній площині{5 DA37 D80-6434-44 D0-A028-1 B22 A696006 F}a___baba1b1 О(a;b)=(a1;b1)a||a1b||b1{5 DA37 D80-6434-44 D0-A028-1 B22 A696006 F}aba{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Лежать в одній площині{5 DA37 D80-6434-44 D0-A028-1 B22 A696006 F}а||bba{5 DA37 D80-6434-44 D0-A028-1 B22 A696006 F}abab(a;b)=0(a;b)=0(a;b)= 0<90b2(a;b)=(a;b2)b||b2b

ОЗНАЧЕННЯ: Кутом між мимобіжними прямими називають кут між прямими, які перетинаються і відповідно паралельні мимобіжним.abb2(a;b)=(a;b2)b||b2

Знайти кут між прямими куба{21 E4 AEA4-8 DFA-4 A89-87 EB-49 C32662 AFE0}ПряміВзаємне розміщення. Кут. A1 D1 і BCB1 D1 і BB1 AC і A1 B1 DC і BB1 ABCDA1 B1 C1 D1 A1 D1 II BC<(A1 D1 ; BC) =O 0 B1 D1  BB1<(B1 D1 ; B1 В ) =9 O 0 АВСД – квадрат. АС - діагональ. АС – бісектриса

Тема 2. Перпендикулярність прямої і площини

ОЗНАЧЕННЯ: Пряму називають перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площиніbаb  аb 

ОЗНАКА:bас. Якщо а є  , с є , b  , так що b  a, b  c і а с, то b  Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, що лежать у площині та перетинаються, то вона перпендикулярна до цієї площини

ЗАДАЧА: Через центр трикутника АВС проведено пряму КО, перпендикулярну до площини АВС. Знайдіть відрізок КО, якщо АО = 4см, КА = 6 см. ОКАВСДано: т. О – центр ∆ АВС,  КО АВС,АО = 4см, КА = 6см. Знайти: КО- ? Розв`язання1. Проведемо відрізок АО.2. КО  АО ( за означенням перпендикулярності прямої і площини) 3.∆ АВС – прямокутний ( < O = 90 0)  4. За теоремою Піфагора: КО = АК2−АО2=62 − 42=36 −16=20=4∗5 =25(см)  Відповідь: 25см.  

Тема3. Перпендикуляр і похила

Якщо < (b;𝛽)=90°,  то b – перпендикуляр до площини 𝛽 b. Якщо < (b;𝛽)≠90°,  то b – похила до площини 𝛽 b. Перпендикуляр і похила. ОКт.. О – основа перпендикулярат. К – основа похилої

Проекція похилої на площину. Проекція похилої на площину – це відрізок між основою цієї похилої і основою перпендикуляра, опущеного з будь-якої точки похилої, що не належить цій площиніbпохилаперпендикулярпроекція

ОЗНАЧЕННЯ: Відстанню між точкою і прямою (точкою і площиною, паралельними прямою і площиною, двома паралельними площинами) називають перпендикуляр опущений з цієї точки до прямої ( з точки до площини, з будь-якої точки прямої до площини, з будь-якої точки площини до площини)1

ТЕОРЕМА ПРО 3 ПЕРПЕНДИКУЛЯРАЯкщо пряма, яка належить площині, перпендикулярна до проекції похилої до цієї площини, то вона перпендикулярна й до самої похилоїЯкщо пряма, яка належить площині, перпендикулярна до похилої до цієї площини, то вона перпендикулярна й до проекції похилої на цю площинуАВm. СЯкщо m є 𝛽, 𝐴𝐵 ∩𝛽=𝐵 ,  <𝐴𝐵;𝛽≠90°,  𝐴𝐶 𝛽 𝑖m  BC, тоm  AC Якщо m є 𝛽, 𝐴𝐵 ∩𝛽=𝐵 ,  <𝐴𝐵;𝛽≠90°,  𝐴𝐶 𝛽 𝑖m  AC, тоm  BC АВm. С

Тема4. Кут між прямою та площиною

{18603 FDC-E32 A-4 AB5-989 C-0864 C3 EAD2 B8}Взаємне розміщення прямої і площини у просторі{5 DA37 D80-6434-44 D0-A028-1 B22 A696006 F}a(a ; )=90{5 DA37 D80-6434-44 D0-A028-1 B22 A696006 F}a є {5 DA37 D80-6434-44 D0-A028-1 B22 A696006 F}a||(a ; )=0(a; )=0aaaaa АООВА  a, А АВ , В  (a ; )= АОВ

ОЗНАЧЕННЯ: Кутом між прямою і площиною називають кут між цією прямою і її проекцією на площину.a. АОВ

Назвіть кут між прямою і площиною{21 E4 AEA4-8 DFA-4 A89-87 EB-49 C32662 AFE0}Пряма. Площина. Кут. B1 DABСA1 DA1 ABАC1 D1 DCABCDA1 B1 C1 D1

Тема5. Кути між площинами

{18603 FDC-E32 A-4 AB5-989 C-0864 C3 EAD2 B8}Взаємне розміщення площин у просторі{5 DA37 D80-6434-44 D0-A028-1 B22 A696006 F}{5 DA37 D80-6434-44 D0-A028-1 B22 A696006 F}{5 DA37 D80-6434-44 D0-A028-1 B22 A696006 F}||(;)=0(;)=0 (;)=?

ОЗНАЧЕННЯ: Величиною кута між площинами називають величину двогранного кута, що менше 90° – фігура, утворена двома півплощинами (грані) та спільною прямою (ребро).  ребро

ОЗНАЧЕННЯВеличиною двогранного кута називають величину лінійного кута, утвореного двома променями, що належать різним граням кута, мають спільну вершину та перпендикyлярні до ребра двогранного кута 𝛼 АОВ(𝛼;𝛽)=AОB 

ЗАДАЧА: Трикутники АВС і АСК лежать у різних площинах, причому пряма ВК перпендикулярна до площини АВС. Знайдіть двогранний кут, грані якого містять дані трикутники, якщо АСК = 90°, ВС=6см, СК=12см. Дано:       ∆АВС,  ∆АСК, ВК АВС, АСК = 90°,  ВС=6см, СК=12см Знайти:  ( АВС; АСК) - ? АКСВРозв`язання:1. АВС ∩АСК=АС; 2. АСК = 90° за умовою, отже СКАС; 3. ВК ВС ( за означенням перппенд. прямої та площини); 4. ВС АС ( за теоремою про три перпендикуляра); 5. Оскільки ВС АС і СКАС, то ВСК − лінійний кут двогранного кута ;  6. Розглянемо ∆СКВ −прямокутний;ВС=6см, СК=12 см  за умовою. ВС=12 СК , отже ВКС= 30° ( за властивістю катета); 7. ( АВС; АСК) = ВСК = 90° −30° = 60° Відповідь: ( АВС; АСК) =60°