Піраміда, поверхня піраміди

Про матеріал

Конспект уроку з геометрії для 11 класу на тему: "Піраміда, поверхня піраміди". У даній розробці уроку розглядали піраміду з різних аспектів: історичного, географічного, астрономічного, філологічного і медичного.

Перегляд файлу

Тема заняття: Піраміда, поверхня піраміди.

Мета заняття: поглибити, привести в систему і розширити відомості про піраміди; формувати вміння знаходити невідомі елементи, площу поверхні піраміди. Розвивати просторову уяву, культуру математичного мовлення, пізнавального інтересу через творчу активність. Виховувати вольові якості, цілеспрямованість, наполегливість у досягненні мети.

Вид заняття: Застосування знань, умінь і навичок.

Обладнання: Презентація, моделі пірамід, картки із завданнями для роботи в підгрупах.

Література:

1. Державний стандарт початкової освіти – 2011, 20.02.

2. Програма для середньої загальноосвітньої школи. 1-4 класи. – Київ: Початкова школа, 2006.

3. Г. П. Бевз, В. Г. Бевз Математика: 11 кл. : підруч. для загальноосвіт. нав. закл. : рівень стандарту – К. : Генеза, 2011.

4. Богданович М. В. Математика : підруч. для 4 кл. загальоосвіт. навч. закл. – Київ : Генеза, 2015.

5. Інтернет-ресурси.

Знання можуть бути купою каміння, що задавило особистість.

І знання можуть бути вершиною піраміди, на якій стоїть особистість.

В. Розов Хід заняття:

I. Організація студентів до заняття.

II. Перевірка домашнього завдання.

1. Фронтальне опитування студентів

а) Інтерактивна технологія «Закінчи речення» - усно.

1) Многогранник, одна грань якого – довільний многокутник, а решта – трикутники, що мають спільну точку, називається …(пірамідою)

2) Точка, яка не лежить у площині основи піраміди називається…(вершиною)

3) Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами її основи, називаються…(бічними ребрами)

4) Кожна бічна грань піраміди є…(трикутник)

5) Перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину її основи називається…(висотою піраміди)

6) Чотирикутна піраміда має ребер…(8)

7) Піраміду, в якої всі бічні грані правильні трикутники називають…(тетраедром)

8) поверхня піраміди складається…(з основи і бічних граней)

9) Піраміда називається правильною, якщо її основа є…(правильний многокутник), а основа висоти збігається…( з центром цього многокутника)

10) У правильній піраміді бічні ребра…(рівні)

11) Висота бічної грані піраміди, проведена з її вершини, називається…(апофемою)

12) У правильній піраміді бічні грані є…(рівнобедрені трикутники)

б) Усно завдання «Пастка» (зображені трикутна піраміда, чотирикутна

піраміда, трикутна призма):

- як називається кожна піраміда?

- скільки вершин має n-кутна піраміда? (n+1).

- скільки ребер має n-кутна піраміда? (2n).

А зараз питання до вас, як до майбутніх вчителів:

- чи знайомляться з пірамідою учні початкової школи? - в якому класі учні вперше зустрічаються з цим поняттям?

в) Елементи піраміди

Вершина, паралелепіпед, грань, основа, призма, трикутник, висота, куб, ребро, радіус, двогранний кут, правильний многокутник. Які з цих понять мають відношення до піраміди.

Тепер повторимо як знаходити поверхню піраміди, зробимо це через усне розв’язування задач.

№1. Периметр основи правильної п’ятикутної піраміди дорівнює 24 см, а її апофема – 10 см. Обчислити бічну поверхню піраміди.

S_b=0,5 24 10=120 (см²).

№2. Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює 12 см, а сторона її основи

– 10 см. Обчислити S_b і S_п.

S_b=0,5 40 10=240 (см²).

S_п=240+100=340 (см²).

III. Мотивація навчальної діяльності студентів.

Студенти групи працювали над проектом «Піраміда та її властивості», де розглядали піраміду не тільки як геометричну фігуру з її елементами і площею бічної та повної поверхні. Їх цікавили питання які дещо виходити за межі вимог програми, зокрема:

- коли, хто і для чого вперше використав піраміду?

-чи має піраміда вплив на організм людини?

- чи є якийсь зв'язок між зірками на небі і пірамідами на Землі?

Отже, в ході роботи над цим проектом студенти розглядали піраміду з різних аспектів: історичного, географічного, астрономічного, філологічного і навіть медичного. Тому й сидять студенти сьогодні за партами, поділившись на підгрупи, представляючи ці напрями.

А звідси і мета заняття: поглибити, привести в систему і розширити відомості про піраміду. Формувати вміння знаходити невідомі елементи піраміди і площу її поверхні.

IV. Формування практичних вмінь і навичок студентів.

1. З історії виникнення пірамід.

У стародавньому Єгипті понад 4 тис. р. тому усипальниці фараонів будувалися у формі пірамід. Піраміди – найдавніші й водночас найвеличніші у світі монументальні споруди, які здіймаються в небо між сріблясто-жовтою Лівійською пустелею та величним Нілом і тягнуться на десятки кілометрів.

Упродовж кількох тисячоліть стоять ці кам’яні дива на рівнині і мільйони людей приїздять, щоб побачити їх. Вони стоять перед пірамідами в німому зачарування. Кому могло спасти на думку нагромадити такі гори каміння, до того ж у таку сиву давнину? Версій щодо виникнення пірамід у наш час дуже багато. Найбільш реальна версія, яку підтвердили сучасні науковці, така: піраміди це величезні гробниці фараонів.

Нині відкрито близько 90 пірамід. Найвеличніші – Хеопса, Хефрена, Микерина. Та найбільша з них велика піраміда Хеопса біля Гізи, збудована в XXVI ст. до н. е. На її будівництва витратили 20 років. Фараон сам спостерігав за зведенням власної гробниці. Кожна із сторін Великої піраміди має довжину 232 м, що в два рази більша, ніж розміри футбольного поля. Площа її основи близько 55 000 м², що відповідає площі 10 футбольних полів. Що не кажіть, а із Семи Чудес Світу, піраміди залишаються дивом №1.

Ці піраміди складалися з величезних кам’яних брил. Кожна така брила мала форму прямокутного паралелепіпеда. Брили укладали у формі сходів. За легендами, піраміда служила фараонам тією драбиною, якою вони сходили на небо. Маса кожної такої брили перевищувала 2,5 т. Брили перевозили по Нілу, але їх прив’язували під човном, бо з човна брила могла б упасти. а крім того, занурена у воду брила була легшою на масу води, яку вона витісняла. Тобто, єгиптяни використовували відомий закон Архімеда на багато років раніше, ніж він був відкритий самим Архімедом. Цікаво, що кожна кам’яна брила була настільки відшліфована. а всі глиби так точно підігнані одна до одної, що між ними не можливо просунути навіть лезо гострого ножа.

- Отже, в основі піраміди Хеопса лежить який многокутник?(квадрат, сторона якого 232 м)

- Яка висота була цієї піраміди? Відповідь на це питання ми одержимо розв’язавши задачу.

Задача. Знайти висоту піраміди Хеопса, якщо відомо, що бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під кутом, тангенс якого дорівнює 1,27.

Нехай SABCD – правильна чотирикутна піраміда, сторона основи якої AB=232 м. Тангенс кута між бічною гранню SDC і площиною основи ABCD = 1,27. Кут нахилу бічної грані до площини основи – це кут між двома перпендикулярами, опущеними на спільне ребро.

Виконуємо добудову: SK CD, OK CD tg SKO = tg = 1,27

1. Розглянемо SOK : SO ABCD, OK є цій площині, то SO OK (за означення перпендикулярності прямої до площини), тобто SKO – прямокутний.

2. ACD – прямокутний (за умовою).

т. О – т. перетину діагоналей, тому АО = ОС; ОК – середня лінія цього трикутника:

OK AD;

OK =

3. За означенням тангенса знайдемо висоту:

tg = SO : OK;

SO = OK tg;

SO = 116 1,27 = 147,32 (м) = 147 (м).

Відповідь: Висота піраміди 147 м.

2. Піраміди з точки зору географів.

Припускають, що піраміди люди використовували як годинник і як календар, бо побудовані вони згідно з математичними та астрономічними законами. Бічні сторони піраміди розташовані під кутом до її основи і дають змогу відбивати сонячні промені далеко в море, тому піраміди можна вважати ще й маяками. Цікаво, що грані піраміди відбивають сонячне світло в різні частини доби різними кольорами: вранці вони рожеві, вдень - золотисті, а з настанням сутінків стають темно-червоними. Ще з XVII ст. відомо, що піраміди на диво точно орієнтовані щодо сторін світ (тобто їх сторони точно зорієнтовані в напрямках північ-південь, захід-схід).

Полярний діаметр Землі дорівнює 12 713 560м. Земна доба дорівнює

24 год=86400с. Якщо поділити діаметр Землі у метрах на кількість секунд у добі, то одержимо…147 м. Це і є висота піраміди Хеопса.

Висота піраміди Хеопса становить 1/1000 000 000 частину відстані від Землі до

Сонця. Дослідники встановили, що якщо периметр основи піраміди Хеопса поділити на її подвоєну висоту, то одержимо 3,14159 – число з досить великою точністю.

Задача. Знаючи параметри піраміди Хеопса, знайти площу її бічної поверхні.

Нехай SABCD – правильна чотирикутна піраміда, сторона основи якої AB=232 м, висота SO = 147 м.

Площу бічної поверхні піраміди знаходимо за формулою: , де =, =SK.

1.Так як в основі піраміди лежить квадрат, то її периметр знайдемо за формулою: а;

4232 = 928(м) 2. SOK – прямокутний (обгрунтування аналогічне до попередньої задачі) За теоремою Піфагора:

Знайдені значення периметра і апофеми піраміди підставляємо в робочу формулу:

Відповідь: =86907 м².

3. Піраміда очима астрономів.

Інженер Роберт Боваль, мешканець Каїру, звернув увагу на логічне розташування основних пірамід Гізи – Хеопса, Херфена, Микерина. Він досконало вивчив письмові джерела. У Прокла (485-411 р. до н.е.) дослідник прочитав для чого саме будувалися єгипетські піраміди: «Велика піраміда Хеопса побудована для спостереження за Сиріусом сузір’я Великого Пса – найяскравішою зіркою на нічному небосхилі». Якось один із друзів показав йому сузір’я Оріона.

Найменша з трьох зірок поясу Оріона трішки зсунута у східному напрямку. І ось тут Бовалю пригадалися фотографії трьох пірамід Гізи, зроблені під час аерофотозйомки. Боваль порівняв схему розташування пірамід. яка з великою точність відповідала положенню трьох зірок сузір’я Оріона! Більш того, співвідношення розмірів цих пірамід відповідає розмірам трьох зірок за інтенсивністю їх сяяння. Тобто будівельники Стародавнього Єгипту перенесли на плато Гізи копію «царства мертвих».

А ще дослідники встановили, що три піраміди Гізи утворюють трикутник Піфагора ( сторони їх основ знаходяться у відношенні 3:4:5).

Задача. У правильній трикутній піраміді бічне ребро дорівнює 5 см, а висота - . Обчислити бічну поверхню піраміди.

Нехай SABC – правильна трикутна піраміда, висота якої SO = , бічне ребро SB = 5 см.

Для обчислення площі бічної поверхні

піраміди використовую формулу: , де ABC,

1.Розглядаю SOB: так як SO ABC, OB є цій площині, то SOOB (за означенням

перпендикулярної прямої до площини),

тому SOB – прямокутний.

За наслідком з теореми Піфагора:

OB = ;

OB = (см);

OB = R (радіус описаного кола навколо ABC)

OB = BK ;

;

3 = 6(см)

(cм)

2) SOK – прямокутник (аналогічно)

KB = KB =

За наслідком з т. Піфагора:

SK = ;

SK =

Знайдені значення периметра основи піраміди та її апофеми підставляємо в робочу

формулу: 4 = 36 ()

Відповідь: 36

4. Про піраміду з філологічного аспекту.

Знавців мови завжди цікавить походження та значення слів. Слово «піраміда» можна вважати багатозначним, бо так називають і геометричну фігуру, і споруду-гробницю, і акробатичну фігуру групи людей, і дитячу іграшку. Коли ж мова йде про походження цього слова, то тут теж є різні версії.

Термін «піраміда» запозичений з грецької «пірамід» або «пірамідос». Вважають, що греки, у свою чергу, запозичили це слово з єгипетської мови. У папірусі Ахмеса зустрічається слово «піранус» у значенні ребра правильної піраміди. Як відомо, наші пращури, готуючи собі їжу, розпалювали багаття. На той час у них також були особливі, як ми тепер говоримо, святкові дні. Щоб приготувати їжу для всіх членів общини – розпалювали велике вогнище. Саме тоді й зауважили, що форма вогню нагадує образ піраміди. Тому середньовічні вчені вважали, що термін походить від грецького слова «пір», у розумінні «бенкет» - вогонь. Ось чому в деяких підручниках геометрії XVII ст. піраміда названа «вогнеформним тілом».

Робота у підгрупах Задача для підгрупи істориків.

Площа повної поверхні правильної трикутної піраміди дорівнює , а площа її основи – . Знайти площу однієї бічної грані піраміди.

Задача для підгрупи географів.

Знайти площу повної поверхні правильної чотирикутної піраміди, кожне ребро якої дорівнює а.

Задача для підгрупи астрономів.

Площа повної поверхні правильної чотирикутної піраміди дорівнює

234 ;площа її бічної поверхні - 170 . Знайти сторону основи.

Задача для підгрупи філологів.

В основі піраміди лежить ромб, висота якого дорівнює 6 см, і його площа 60 . Висоти всіх бічних граней дорівнюють 12 см. Обчислити бічну поверхню піраміди.

Задача для підгрупи медиків.

В основі піраміди лежить трикутник із сторонами 8см, 9см і 13см. Висоти всіх бічних граней піраміди дорівнюють 10 см. Обчислити бічну поверхню піраміди.

Розв’язання задачі підгрупи «істориків».

= ;

; = 39:3=13 ().

Відповідь: = 13 .

Розв’язання задачі підгрупи «географів».

1)(кв. од.)

= + 1)(кв. од.)

Відповідь: + 1)

Розв’язання задачі підгрупи «астрономів».

;

a = 8 (см)

Відповідь: a = 8 см

Розв’язування задачі підгрупи «філологів».

;

(см);

(см)

;

Відповідь:

Розв’язування задачі підгрупи «медиків».

;

);

Відповідь:

5. Медицина про цілющі властивості піраміди.

Лікарів теж зацікавили піраміди. Віддавна було помічено, що біля Алтайських пірамід людину охоплює почуття гармонії з навколишнім світом, особлива радість, просвітління. Вважається, що піраміди можуть зцілювати. Дослідники стверджують, що досить посидіти в піраміді пів години, як проходить головний біль, нормалізується тиск і серцева діяльність, зігрівається усе тіло навіть під час сильних морозів. Ліки, мазі, трав’яні настої в піраміді посилюють свою дію в кілька разів. Дуже корисна вода і сіль, які певний час полежали в піраміді.

Навіть за сильних морозів вода не замерзає. цією

властивістю користувалися і наші предки: вони будували амбри та клуні з дахами у вигляді пірамід; і в таких приміщеннях взимку тримали овочі та фрукти, які не замерзали.

Кубинські пірамідологи, наприклад, пробують лікувати астму, гастрит, поліневрит, гіпертензію водою, заряджену в спеціальних пірамідах. Кілька років тому один із українських пірамідологів вирішив випробувати силу пірамід на собі. Змайстрував декілька невеличких конструкцій з підручного матеріалу, ватману, споляризував їх відповідно до сторін світу за допомогою компаса й почав ставити туди скляні посудини з водою – заряджатися. «Пив її щодня, - розповідає, - і організм почав працювати інакше».

Вплив енергії пірамід на організм людини вчені довели дослідом. Вони помістили в піраміду шматок печінки сантиметрової товщини. Через тиждень він перетворився на «мумію» - засушена печінка була абсолютно позбавлена запаху м’яса, яке псується. Через три тижні дослідники на 2 години помістили цей шматочок у звичайну воду. Печінка знову набула початкові розміри і запах. Такий результат наштовхнув на думку, що за допомогою пірамід без затрат електричної і теплової енергії можна сушити різноманітні продукти.

Пірамідальні конструкції досі простежуються у наших ирадиційних будівлях. Ви ж бачили хатки, особливо в Західній Україні, у вигляді шатрових конструкцій. Це не що інше, як «розтягнута» піраміда.Якщо людина правильно будувала свій дім, то він був для неї як храм.

Кількашарова структура старовинних гуцульських храмів – також не випадкова. Придивіться, це конструкція з декількох «зрізаних» пірамід (які мають більшу силу), розташованих одна над одною. Виявляється, в такий спосіб вони додатково підсилюють одна одну, відтак добра, світла енергетика храму потроюється. Таку ж позитивну функцію виконують і пірамідальні дашки над криницями (тільки якщо вони не металеві) – вода стає ще й цілющою, і структурованою. Дійшли до наших днів і інші взірці пірамідальних конструкцій, щоправда, уже як експонати у старовинних палацах-музеях. Це не що інше, як ліжка з балдахінами. Ясновельможне панство, виявляється, не тільки солодко спало на них, але водночас захищалось від негативних впливів та оздоровлювалось. В наш час молоді батьки, піклуючись про здоров’я своїх діток, використовують колиски і маленькі ліжечка з балдахінами.

Мабуть, багатьох з вас зацікавила інформація про вплив піраміди на організм людини, і вже дехто уявляє або себе самого у цілющій піраміді, або якісь предмети потрібні вам під куполом цього цікавого многогранника. Але щоб її використовувати – спочатку треба мати її, а якщо нема - то виготовити.

І так, задача (усно). Знайти скільки дроту потрібно, щоб виготовити каркас піраміди, в основі якої лежить квадрат із стороною 16 см, а бічне ребро дорівнює 15 см.

Розв’язування: 4 16 + 4 15 = 4 (16 + 15) = 4 31 = 124 (см). Відповідь: для виготовлення каркасу піраміди треба взяти 124 см дроту.

Додатково. Задача

Основа піраміди – квадрат, її висота проходить через одну з вершин основи. Знайти бічну поверхню піраміди, якщо сторона основи дорівнює 20 дм, а висота – 21 дм.