Піраміда, її види, властивості елементів. Формула об'єму.

Методика вивчення многогранників. Піраміда, її види, властивості елементів. Формула об'єму.

Піраміда. Пірамідою називається многогранник, який складається з плоского многокутника— основи піраміди, точки, яка не лежить у площині основи — вершини піраміди, і всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами. Висота піраміди — перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину основи. Бічна грань піраміди — трикутник. Однією з його вершин є вершина піраміди, а протилежною стороною — сторона основи піраміди.

Піраміда називається n-кутною, якщо її основою є n-кутник. Трикутна піраміда називається також тетраедром. SO — висота піраміди — кут між бічним ребром і площиною основи (SO — перпендикуляр, SА — похила, OА — проекція)

Для розв’язування задач про піраміду дуже важливо з’ясовувати, де розміщена основа її висоти.1. Якщо виконується хоча б одна з таких умов: усі бічні ребра піраміди рівні; усі бічні ребра нахилені до площини основи під одним і тим самим кутом;усі бічні ребра утворюють однакові кути з висотою піраміди; усі бічні ребра рівновіддалені від основи висоти, то основою висоти піраміди є центр кола, описаного навколо основи піраміди.

Завдання

Бічне ребро l, висота H і радіус R описаного навколо основи кола утворюють прямокутний трикутник:

Завдання

2. Якщо виконується хоча б одна з таких умов: всі бічні грані нахилені до площини основи під одним і тим самим кутом; усі бічні грані мають однакові висоти; висоти бічних граней утворюють однакові кути з висотою піраміди; бічні грані рівновіддалені від основи ви­соти, — то основа висоти лежить у центрі кола, вписаного в основу піраміди. Трикутник OSP- прямокутний OP=r — радіус вписаного кола в ABCDEF SO- висота SP — висота бічної грані — ліній­ний кут двогранного кута між бічною гранню й площиною основи; О— центр вписаного в основу кола, тобто точка перетину бісектрис ABCDEF.

3. Якщо бічне ребро перпендикулярне до площини основи, то це ребро є висотою піраміди У цьому випадку і — кути нахилу бічних ребер SВ і SС до площини основи. є лі­нійним кутом двогранного кута між бічними гранями SAC і SBA.

4. Якщо бічна грань перпендикулярна до площини основи, то ви­сотою піраміди буде висота цієї грані (за теоремою «Якщо пряма, яка лежить в одній із двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до прямої їх перетину, то вона пер­пендикулярна до другої пло­щини»)5. Якщо дві бічні грані перпендикулярні до площини основи, то висотою піраміди є їх загальне бічне ребро.

Правильна трикутна піраміда. В основі правильної трикутної піраміди лежить рівносторонній трикутник, який зображується довільним трикутником. Центром трикутника ABC є точка перетину його бісектрис, котрі водночас є висотами і медіанами. \Площина осьового перерізу ASD є площиною симетрії правильної трикутної піраміди.

Правильна чотирикутна піраміда. В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат, який зображується довільним паралелограмом. Його центром є точка перетину діагоналей. Ця точка — основа висоти піраміди.

Правильна шестикутна піраміда. В основі правильної шестикутної піраміди лежить правильний шестикутник . Його центром є точка перетину діагоналей.

Завдання

Формули об'єму піраміди

Завдання

продовження розв'язання

Завдання

Дякую за увагу!