ПЛАН - КОНСПЕКТ уроку за  темою «ПОКАЗНИКОВІ  РІВНЯННЯ»

 Алгебра, 11 клас, за підручником О. Істер

 

Тарасьєва Н.О.,

учитель Великоновосілківської гімназії  з ЗОШ 1 ступеня 

 

 Мета уроку: 

✓навчальна:   

-                                    повторити означення, графік та властивості показникової  функції, основні показникові тотожності;

-                                    сформувати в учнів знання про способи розв’язування показникових рівнянь ;

-                                    навчити застосовувати властивості показникових функцій для

зведення рівняння до одного і того ж основи; 

-                                    відпрацювати навички розв’язування типових задач.

-                                    систематизувати методи розв’язування показникових рівнянь; ✓розвиваюча:  

-                                    розвивати логічне та критичне мислення, математичну мову, вміння аналізувати структуру рівняння, порівнювати, узагальнювати та робити висновки; сприяти формуванню навичок самостійної роботи та

алгоритмічного мислення  ✓виховна: 

-виховувати уважність, наполегливість у досягненні результату, самодисципліну, відповідальне ставлення до навчання; формувати позитивну мотивацію до вивчення математики як основи наукового світогляду. Тип уроку:  комбінований.

 

Форма організації уроку:  онлайн урок 

 

Методи навчання. Пояснювально – ілюстративний: 

•      використання прикладів різних типів показникових рівнянь;

•      пояснення властивостей показникової функції та перетворень показників;

•      візуалізація графіків ( Desmos). Частково-пошуковий:

•      постановка завдання, яке неможливо вирішити без знання нового матеріалу; •  учні формулюють гіпотези щодо способу розв’язання; •  обговорення та виведення загальних правил.

 

Метод розв’язування задач за зразком:

•      учитель розв’язує один приклад крок за кроком. • учні виконують подібні завдання з поступовим ускладненням.

 

Обладнання: комп’ютер, дошка clevermaths

 

Наочність: презентація Canva.

 

Девіз уроку:                   Мало знати, потрібно й використовувати.

                                         Мало бажати, потрібно й робити.

                                                                                                          Й. Гете

 

 

Хід  уроку

 

І. Організаційний етап.

ІІ. Повідомлення теми і мети уроку.

Вступне слово вчителя. На уроці розглянемо різні види показникових рівнянь та методи їх розв’язку. Перед вами стоїть завдання проявити свої знання і вміння застосовувати властивості показникової функції при розв’язуванні рівнянь. ІІІ. Узагальнення й систематизація знань та вмінь.

1. Бліц-опитування  (Слайди №2, 3).

На дошці запитання 

1.        Яка функція називається показниковою?

2.        Назвати область визначення функції   у = 0,1^х ?

3.        Назвати область визначення показникової функції?

4.        Назвати область значень показникової функції?

5.        Дайте визначення зростаючої функції.

6.        При якій умові показникова функція є зростаючою?

7.        Дайте визначення спадної функції.

8.        При якій умові показникова функція є спадною?

9.        Порівняти х₁ і х₂, якщо  3^х1 > 3^х2?

10.   Порівняти х₁ і х₂, якщо  0,4^х1> 0,4^х2 ?

11.   Чи є спільна точка у графіків функцій у = 3^х   і    у =  0,19^х?

12.   Яке рівняння називають показниковим?

13.   Скільки розв’язків може мати рівняння  а^х = b,  де  a > 0, a ≠ 1, b > 0 ?

14.   Чи має розв’язок показникове рівняння  a^x = y,  коли  y = 0 ?     

 

2.  Завдання на застосування властивостей показникової функції.  (Слайди № 4,5,6,7).

 

1.     Які з наведених функцій є показниковими? 

 

 1) у = 7^х;                     2) у = х⁴;                      3) у = 1^х;          

                                                                                   ^хх+3                                                                   ^0,4;

                4) у = (-3) ;                   5) у ;         6) у = х

                7) у = (х – 6)⁸;               8) у ^х;            9) у = 9^-х;

               10) у = х^-х;                    11) у = π^х;                     12) у . 

               (відповідь: 1, 5, 8, 9, 11, 12)

2.     Які з наведених графіків є графіками показникової функції?

         1)                                   2)                                          3)

 

4)                                                                                                              5)                                        6)

  

 

            (відповідь: 3,4)

 

3.Серед наведених функцій виберіть ті, що зростають.

1) у = 3^х ;            2) у =  12^0,4х ;        3)  у =0,7^5х-1 ;      4)  у = 0,25^2,5х; 

                                             1    𝑥                                   8                            𝑥𝑥

5)                                                                                                              у = ( ) ;       6) у = ( )           ;          7) .

                                             4                                         3

 

 

4.     Серед наведених функцій виберіть ті, що спадають.

1)     у = 5^0,3х ;        2) у = 0,9^х ;          3) у = 5,8^3х-1 ;       4)у = 0,2^12х ;

 

                                            3    𝑥                                     𝜋    𝑥+1                                       2     𝑥

                            5) у = ( ) ;         6) у = ( )          ;         7) у = (     ) . 

                                            𝜋                                           3                                                 15

              (відповідь: 2, 4, 5, 7)

 

5.     Порівняти числа m і n та обґрунтувати свою відповідь.  

                                   ⁴   𝑚             ⁴   𝑛

1)     ( )       < ( ) ;                (а = 4/5,    а < 1,   то   m > n) 

                                   5                    5

 

2)     (1,4)^𝑚 < (1,4)^𝑛;          (а = 1,4,    а > 1,   то   m < n)

 

3)     (0,5)^𝑚 > (0,5)^𝑛;           (а = 0,5,    а < 1,   то   m < n)  

  

                                    7   𝑚               7   𝑛

4)     ( )       > ( ) ;                 (а = 7/3,    а > 1,   то   m > n)  

                                    3                      3

 

6.     Порівняти а з одиницею та обґрунтувати свою відповідь:  

 

1)     а⁷ > а¹⁰ ;    (функція  y=a^t   із зростанням аргументу спадає, тому a < 1)             

 

2)     а^-5 < а^-3;   (із збільшенням показника степінь збільшується, тому a > 1) 

3. «Знайдіть пару». (Слайд №8)

Завдання на встановлення відповідності.   

 

1)    a^s =                               а) a^r-s

2)    a^r:a^s =                           б) a^r∙b^r

3)    (a^r)^s =                            в) 1

4)    (ab)^r =                           г) 1/a^r

5)    (а/b)^r =                          д) а

6)    a⁰ =                                е) a^r+s

7)    а¹ =                               є) а^r/b^r          

8)    a^-r=                                ж) a^rs

 

4.        Подайте у вигляді степеня з основою 2 число:

    

 

 ;       ;      0,25;      1024;      0,5;       

               (Відповіді:    8 = 2  ;   0,25 = 2^-2;   1024 = 2¹⁰;    0,5 = 2^-1;  

;     0,0625 = 2^-4 )

 

5.        Подайте у вигляді степеня з основою 3 число:

 

 ;       ;      81^-1 ;        ;      1;      729^0,25 ;     27^π.

(Відповіді:   ;      81^- ;    1 = 3⁰;    

;      27^π = 3^3π ) 

 

 

6.        Визначити, розв’язок якого рівняння зображено на даній схемі.      (Слайд №9).   

 

1)  () ^х= х – 5;

2)  2^х= x – 5 ;           3) () ^х= х + 5;

        4) 2^х = - x + 5.

    𝑥

 Відповідь:   3)   ()       = 𝑥 + 5 .       

 

 

 

 

 

7.        Визначити, розв’язок якої нерівності зображено на даній схемі.

 

1)  3^х  ≥  х – 3;    

2)        1;    

3)  3^х  ≤ 3;               4) 3^х  ≥ 3 – х.

 

Відповідь:  4)  3х  ≥  3 – х.

 

 ІV. Вивчення нового матеріалу (Слайд №10)

 

Рівняння називають показниковим, якщо воно містить змінну лише в показниках степенів.

 

Приклади:                        3^х= 27;   2^х + 4^х= 5;     _х¹ + _х¹ =3 тощо.

                                                                                                                             2 +1       2 −2

        Розв’язування показникових рівнянь.

 

І. Зведення до спільної основи  

При а > 0, а ≠ 1 рівняння 𝑎^𝑓(х)= 𝑎^𝑔(х) рівносильне рівнянню   f(х) = g(х).

Приклади:1) 2^х = 32;                2) ;                  3) 4^х2−2х= 1;

                      2^х = 2⁵;                   ;                      4^х2−2х= 4⁰;

                                Х=5.                          ;                        х² − 2х = 0;                                                         Х-;                х(х-2) = 0;                                                        Х= ;                          х₁ = 0; х₂ = 2.

                                                     Х= 1.

Відповідь: 1) 5; 2) 1; 3) 0; 2.

 

 Розв’язати усно:   (Слайд № 11)   

 

	1	2	3	4	5
1	2х = 16	3х = 81	5х = 125	10х = 10000	4х = 256
2	3х-1 = 9	5х-3 = 25	3х =	12х = 1	 1х = 7    7
3	5-х = 25	2-х = 16	4х = 2	27х = 3	1х = 8   2

ІІ. Зведення показникових рівнянь до найпростіших  способом винесення спільного множника за дужки. (Слайд №12)

 

Приклад:  12∙ 5^х−1+ 3∙ 5^х - 5^х+1=10;

                        12∙ 5^х ∙ 5⁻¹ + 3∙5^х-5^х ∙ 5¹=10;

                        ;

                        ;

                        ;

                  5^х= 25;                5^х= 5²;                   Х=2.

Відповідь: 2.

 

ІІІ Рівняння виду  𝑎^𝑓(𝑥) = 𝑏^𝑓(𝑥), де a> 0, 𝑎 ≠ 1, b>0,b≠ 1.  (Слайд №13)

Приклад: 2^х−1= 5^х−1;  Поділимо ліву і праву частини рівняння на 5^х−1

                         2хх−−22 = 1; 5

            (2) х−1= (2)0;

                   5                    5

                 Х-1 = 0;

                       Х =1.

Відповідь: 1.

 

ІV Введення нової змінної (зведення до квадратного рівняння).

Приклад:    3∙ 25^х - 2∙ 5^х=1.    Нехай 5^х = 𝑡 > 0, тоді 25^х= 5^2х=(5^х) ²= 𝑡².                        3𝑡²-2t – 1 = 0;

      𝑡 – не задовольняє умову t > 0.       Отже, 5^х =  1;         5^х= 5⁰;        Х =0.

Відповідь: 0.

   

V.  Однорідні  рівняння. (Слайд №14)

 

Пояснення. Показникові рівняння виду А∙а^2х+ В(а∙b)^х + С∙b^2х = 0 називаються однорідними. 

Розв’язуються такі рівняння почленним  діленням  або на  а^2х ≠ 0, або на b^2х ≠ 0

(а^2х > 0, b^2х > 0).

 

Приклад. Розв’язати рівняння    3∙16^х + 2∙81^х = 5∙36^х.

Розв’язання. Запишемо рівняння так:

3∙4^2х + 2∙9^2х - 5∙(4∙9)^х = 0;

Поділимо обидві частини рівняння на 4^2х ≠ 0. Отримаємо:

3 + 2∙(9/4)^2х - 5∙(9/4)^х = 0;

Зробимо заміну:  (9/4)^х = t;  t > 0.

Розв’яжемо отримане квадратне рівняння:

2t² – 5t + 3 = 0; t₁ = 1, t₂ = 3/2.

Повернемось до заміни і розв’яжемо показникові рівняння:

                (9/4)^х = 1;                                                        (9/4)^х = 3/2;

(9/4)^х = (9/4)⁰;       (3/2)^2х = (3/2)¹; х = 0.      х = ½.

Відповідь: 0;  ½.

 

Яким методом  можна розв’язати рівняння: (Слайд №15)

1.        7^х+2 - 14∙7^х = 5

2.        9^х – 3^х+1 = 54

3.        3х+1 - 2∙3х-2 = 75

4.        5^2х+1 - 26∙5^х + 5 = 0 5.  4∙3^х+2 + 5∙3^х - 7∙3^х+1 = 60

6.          2^2х - 10∙2^х +16 = 0

7.          2^х+2 – 2^х = 96

 

 

Розв’язок вправ

Розв’язати рівняння: 1.           2х∙3х = 36; 2.           4х + 2х+1 = 80;       3.    52х+1 – 52х-1 = 24.

Розв’язати рівняння:  1.    4х∙5х = 400;       2.    52х-1 + 5х+1 = 250;       3.    3х+2 + 3х-1 = 28.

 

V. Використання показникової функції в різних фізичних процесах, в галузях техніки і в природі. (Слайд № 16). 

 

    Показникова функція дуже часто реалізується в фізичних, біологічних та інших законах.

За допомогою показникової функції описуються процеси природного зростання чи спадання. 

  Розмноження бактерій

Колонія живих організмів (зокрема, бактерії) зростає в результаті розмноження. Якщо за рівні проміжки часу число живих організмів збільшується в одне й те саме число разів, то число N організмів по закінченні часу t після початку спостережень виражається формулою   N=na ^t,

де  a >1  – постійна величина, що характеризує  швидкість росту даної колонії і залежить від біологічного виду організмів та від умов зовнішнього середовища.

Наприклад, для бактерії, що є збудником холери, число  а близьке до 4.   Радіоактивний розпад

Коли радіоактивна речовина розпадається, її кількість зменшується. Через деякий час залишиться половина початкової кількості речовини. Цей проміжок часу Т називається періодом напіврозпаду речовини. Через t років маса М речовини буде дорівнювати  М = М₀(1/2)^t/T,

де М ₀ – початкова маса речовини. Чим більший період напіврозпаду, тим

повільніше розпадається речовина.

Явище радіоактивного розпаду використовується для визначення віку археологічних знахідок, наприклад, визначено приблизний вік Землі, біля 5,5 млрд років, для підтримки еталону часу.

Приріст капіталу в банку.

         Приріст капіталу в банку здійснюється за законом природного зростання.

Всім відома формула складних відсотків: А = А₀(1+р/100)^t,

           де  А — шукана величина,  А₀, — початковий вклад,   Р   — річний відсоток,  t   —  розрахунковий термін.

Ріст населення.

Зміна кількості людей в країні за великий проміжок часу t описується  формулою:

N = N₀ea^t, де    N₀ – кількість людей при   t = 0,    N – кількість людей в момент часу  t, а,  e – постійні величини.

  Приріст деревини.

Дерево росте так, що кількість деревини в початковий момент збільшується з часом за законом:  

m=m ₀ a ^{k t},

де m ₀ – кількість деревини в початковий момент, k – деяка постійна, t – час у роках, який відраховується з моменту, коли об’єм деревини був V.         В природі і техніці часто можна спостерігати процеси, які проходять відповідно до законів вирівнювання, що описуються показниковою функцією. 

         Наприклад, всі, напевно, помічали, якщо зняти киплячий чайник з вогню, то спочатку він швидко охолоджується, а потім зниження температури йде набагато повільніше. Справа в тому, що швидкість охолодження пропорційна різниці між температурою чайника і температурою навколишнього середовища. Чим меншою стає ця різниця, тим повільніше охолоджується чайник.

         Якщо спочатку температура чайника дорівнювала Т₀, а температура повітря – Т₁, то через t секунд температура чайника виразиться формулою:

Т = (Т₁ – Т₀)е^-kt + Т₁,

          де  k – число, що залежить форми чайника, матеріалу, з якого він зроблений та кількості води, що в ньому знаходиться.

 

 

 

       Коливання маятника.

Якщо при коливаннях маятника не нехтувати опором повітря, то амплітуда коливань стає все меншою, коливання затухають. Відхилення точки, що здійснює затухаючі коливання, виражається формулою:  

S = Ae^-kt sin(ωt + φ₀).

Оскільки множник e^-kt зменшується з плином часу, то розмах коливань стає все меншим і меншим.

        Визначення маси палива.

        Багато складних математичних задач доводиться розв’язувати в теорії міжпланетних подорожей. Одною з них є задача про визначення маси палива, необхідної для надання ракеті потрібної швидкості V. Ця маса М залежить від маси m самої ракети (без палива) і від швидкості V₀, з якою продукти горіння витікають з ракетного двигуна. 

Якщо не враховувати опір повітря і земне тяжіння, то маса палива обчислюється за формулою: 

M = m(e^v/v0 – 1)   (формула  К.Е. Ціолковського).

Зміни атмосферного тиску

       При постійній температурі атмосферний тиск змінюється залежно від висоти над рівнем моря за законом:   Р=Р₀ а ^h, 

де Р₀ – атмосферний тиск над рівнем моря, Р – тиск на висоті h, а – деяка

постійна (залежить від температури).

 

VІ. Підсумок уроку.

Сьогодні на уроці розглянули п’ять видів показникових рівнянь, відпрацювали на практиці способи і методи їх розв’язку. Також розглянули приклади використання показникової функції в різних фізичних процесах, в галузях техніки і в природі.

   

VІ. Домашнє завдання. (Слайд № 17)

1.     Параграф 2 «Показникові рівняння»: повторити теоретичний матеріал, необхідний для розв’язування показникових рівнянь. 

2.     Розв’язати вправи:№ 2.6(1,3);  2.8(1,3); 2.12(1,3); 2.20(1); 2.24(1); 2.28(1)