Побудова перерізів многогранників

грань ребро вершина Площина – грань Пряма – ребро Точка – вершина

Многогранники Тетраедр Паралелепіпед

Якщо дві точки прямої лежать на одній площині, то і вся пряма належить даній площині.

Якщо дві паралельних площини перетинаються третьою площиною, то лінії їх перетину паралельні.

Скільки площин можна провести через виділені елементи?

1. Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С. А В С

А В С 2. Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С. К АВ || СК

3. Через ребро АВ і точку М ребра СD тетраедра АВСD провести переріз. М А В С D

А С D В 4. Побудувати переріз, що проходить через вершину C і точки М і N, що лежать на гранях ADC і АВС тетраедра АВCD N M

5. Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С. C B А

А С В D 6. Побудувати переріз, що проходить через вершину D і точки М і N тетраедра АВС N M

Методи побудови перерізів многогранників. Метод слідів. Метод внутрішнього проектування або метод допоміжних перерізів Комбінований метод

Якщо площина α перетинає площину β по прямій т, то пряму т називають слідом площини α на площину β. α β т

Метод слідів включає три важливих пункти: Будується лінія перетину (слід) січної площини з площиною основи многогранника. знаходимо точки перетину січної площини з ребром многогранника. Будуємо і заштриховуємо переріз. М C B А К Р

Задачі на побудову перерізів методом сліду. Поетапна побудова перерізів; По заданій побудові записати етапи; Складні приклади перерізів;

1. Побудувати переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С. А С В

2. Побудуйте переріз піраміди АВСD площиною, що проходить через внутрішні точки M, N, P ребер AD, AB, DC відповідно, при умові, що MN не паралельна DP. A P C N M D B

A P C N M D B О К 6) Чотирикутник MNKP – шуканий переріз

3. Побудуйте переріз піраміди АВСD площиною, що проходить через внутрішні точки M, N, P ребер AD, DC відповідно, і площини АВС. А N М Р D С В

А N М Р D С В K H G 8) Чотирикутник MNGH – шуканий переріз.

4. Побудувати переріз куба АВСDА1В1С1D1 площиною, що проходить через внутрішні точки M, N, K ребер BB1, CC1, A1D1 відповідно А C B D А1 D1 C1 B1 K N M

А C B D А1 D1 C1 B1 K N M Е

А C B D А1 D1 C1 B1 K N M Е F

А C B D А1 D1 C1 B1 K N M Е F G H

А C B D А1 D1 C1 B1 K N M Е F G H Многокутник KFNMH – шуканий переріз.

M N K 5. Побудуйте переріз чотирикутної піраміди, заданої точками М, N і К. Прослідкуйте за ходом побудови перерізу і запишіть його

M N K 6. Побудуйте переріз п'ятикутної призми, що проходить через точки M, N, K. Прослідкуйте за ходом побудови перерізу і запишіть його.

8. Побудувати переріз чотирикутної піраміди АВСDM в основі якої лежить трапеція. На ребрах МА і МВ, а також на грані МСD взяті відповідно точки Р, Q, R. B A C D Q M R P

M N K Розглянемо більш складні приклади.

M N K Пам'ятаємо про те, що вершина піраміди – спільна точка для всіх бічних граней Розглянемо більш складні приклади.

K M N Розглянемо більш складні приклади.

M Метод внутрішнього проектування X Y A A1 N M1 N1 T D1=T1 B C D E E1 C1 B1 Це метод використовується при побудові перерізів в тих випадках, коли незручно знаходити слід січної площини, наприклад, слід знаходиться дуже далеко від заданої фігури

Побудова перерізу п'ятикутної призми площиною, що проходить через точки M, N, K, які належать відповідно граням АА1В1, ЕDD1, CDD1. A C B M D E A1 C1 B1 D1 E1 K N M1 N1 K1 A2

Комбінований метод. При побудові перерізу цим методом на яких етапах побудови використовуються прийоми методі слідів або метода внутрішнього проектування, а на інших етапах використовуються теореми вивченні в розділі “Паралельність прямих і площин!”

Побудувати переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точку S паралельно площині PQR. P належить А1В1, Q належить(DCC1), R належить (АDD1) Q P R B А D C B1 А1 C1 D1 S

B А D C B1 А1 C1 D1 1. Через три точки P, Q, R проводимо площину α. Побудуємо цю площину використовуючи метод слідів. Q P R S 2. Використовуючи властивості і ознаки паралельності площин будуємо шуканий переріз. V T U 3. Чотирикутник SUTV – шуканий переріз.