Презентація. Тема "Перпендикулярність прямих і площин у просторі".

Презентація на тему Перпендикулярність прямих і площин в просторі

план перпендикулярність прямих перпендикулярність прямої і площини перпендикуляр і похила до площини кут між прямою і площиною перпендикулярні площини ортогональне проектування самостійна робота тести

Перпендикулярність прямих Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90°. a b до плану

Кутом між мимобіжними прямими називається кут між прямими, які перетинаються і паралельні даним мимобіжним. b a a′ b′

теорема: Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні двом іншим прямим, що перетинаються, то кут між першими прямими дорівнює куту між другими прямими. a b α β

Перпендикулярність прямої і площини (означення) Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину і перпен- дикулярна до кожної прямої, яка лежить у площині і проходить через точку перетину цих прямих. a b c d O α до плану

теорема: Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до площини, то і друга пряма перпендикулярна до цієї площини. Дві прямі, перпенди- кулярні до однієї площини, - паралельні α a 1 a

Перпендикуляром, опущеним з даної точки на площину, називають відрізок прямої, перпендикулярної до площини, що міститься між даною точкою і площиною. АО – перпендикуляр, опущений з даної точки А на площину α О – основа перпендикуляра АВ – похила, проведена з точки А на площину α В – основа похилої ОВ – проекція похилої АВ на площину α a A B O α до плану

теорема про три перпендикуляри: Пряма, проведена на площині перпендику- лярно до проекції похилої, перпендику- лярна і до цієї похилої. І навпаки, якщо пряма на площині перпенди- кулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої. А С В α

Кут між прямою і площиною Якщо пряма паралельна площині або належить їй, то кут між ними дорівнює 0є. до плану а а′ α а α

Кутом між похилою і площиною називають кут між похилою і її проекцією на площину. Кут САВ – кут між похилою АС і площиною α А В С α

Перпендикулярні площини Кутом між площинами, які перетираються, називається кут між прямими, проведеними в цих площинах перпендикулярно до лінії їх перетину. β α М a b c до плану

Теорема: (ознака перпендикулярності площин) Якщо одна з двох площин проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то такі площини перпендикулярні. а b c β α

Пряма, проведена в одній з двох перпендикулярних площин перпендикулярно до прямої їх перетину, перпендикулярна до другої площини. а b c β α

Ортогональне проектування Якщо проектуючі прямі перпендикулярні до площини проекції, то таке проектування називають прямокутним або ортогональним. А С В D A 1 B 1 C 1 D 1 1 1 1 1 до плану

Проекцією фігури на площину називають множину проекцій усіх точок даної фігури на дану площину.

Теорема: Площа проекції многокутника дорівнює площі проектованого многокутника, помноженій на косинус кута між їх площинами. S=S cos S 1 S A B C B 1 C 1 1 A α β γ 1 γ

Самостійна робота до плану

Завдання 1. Доведіть, що пряма, перпендикулярна до діагоналей паралелограма, перпендикулярна і до його сторін.

Завдання 2. ABCDA B C D - куб. Знайдіть кут між прямими: а) BC і СD; б) BC і A D . 1 1 1 1 1 1 1

Завдання 3. Знайдіть відстань між протилежними ребрами куба, ребро якого дорівнює b.

Завдання 4. Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 4 см. Знайдіть площу його проекції на площину, яка з площиною цього трикутника утворює кут 30°.

Тести до плану

1.Які прямі називають перпендикулярними? а) що перетинаються; б) кут між якими 90°; в) кут між якими 45°; г) що не перетинаються.

2. Яку пряму називають перпендикулярною до площини? а) яка перетинається з площиною; б) яка при перетині з площиною утворює кут 90° лише з однією прямою на цій площині; в) яка при перетині з площиною перпендикулярна до кожної прямої, що лежить на площині і проходить через точку перетину цих прямих; г) яка не перетинається з площиною.

3. Дві прямі, перпендикулярні до однієї площини: а) паралельні; б) перпендикулярні; в) мимобіжні; г) перетинаються будь-як.

4. Відрізком прямої, перпендикулярної до площини, що міститься між даною точкою і площиною, називають: а) перпендикуляром до похилої; б) похилою; в) проекцією похилої на площину; г) основою похилої.

5. Якщо пряма паралельна площині або належить їй, то кут між ними дорівнює: а) 45°; б) 90°; в) 180°; г) 60°.

6. Якщо одна з двох площин проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то такі площини: а) перетинаються; б) утворюють кут 30°; в) перпендикулярні; г) паралельні.

Про автора: Учитель математики Решетилівського ліцею імені І.Л.ОЛійника Мовчан Т. В. 2019р.