Показникові рівняння та нерівності. Основні види та способи їх розв'язування.

Показникові рівняння та нерівності. Основні види та способи їх розв'язування. Стьопа Г. С.

Математичний диктант

Показникові рівняння Рівняння, яке містить змінну тільки у показнику степеня при сталій основі, називається показниковим. Розв’язання показникових рівнянь базується на властивості степенів: два степені з однією і тією ж додатною і відмінною від одиниці основою рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх показники.

Методи розв'язування показникових рівнянь1) зведення до однієї основи;2)зведення до спільного показника; 3) винесення спільного множника за дужки;4) ділення обох частин на степінь;5) зведення до квадратного шляхом заміни;6) розв᾽язування однорідних рівнянь.7) функціонально - графічний метод.

32х+4=243 ; 32х+4=35;2х+4=5;2х=1;х=0,5 Відповідь:0,5 Розв'язати рівняння: 6х+4=368х−6=17х²−4=1  Зведення до спільної основи:

Зведення до спільного показника :2х·5х=0,01; 2·5х=0,12;10х=10−2;х=−2. Відповідь:-2 

Зведення до спільного показника :4х·3х=144; 4·3х=144;12х2=122; х2=2; х=4. Відповідь:4 

Винесення спільного множника за дужки2х+2−2х=96;2х·22−2х=96;2х·4−1=96;2х=96:3;2х=32;2х=25;х=5. Відповідь:5  

Розв’язування показникових рівнянь, що зводяться до квадратних відносно показникової функції𝟒х+𝟐х=𝟕𝟐;(𝟐·𝟐)х+𝟐х=𝟕𝟐;𝟐𝟐х+𝟐х−𝟕𝟐=𝟎;Робимо заміну:  𝟐х=у;у𝟐+у−𝟕𝟐=𝟎 ;у𝟏=−𝟗;у𝟐=𝟖. Робимо  обернену заміну:𝟐х=−𝟗 . Оскільки ах>0 завжди, то 2х≠−9𝟐х=𝟖;𝟐х=𝟐𝟑;х=𝟑. Відповідь:3 

Однорідні показникові рівняння6·𝟒х−𝟏𝟑·𝟔х+𝟔·𝟗х=𝟎;      :𝟗х,(𝟗х≠𝟎)𝟔·(𝟒𝟗)х−𝟏𝟑·(𝟔𝟗)х+𝟔=𝟎6·(23)2х−13·(23)х+6=0;   Робимо заміну: (𝟐𝟑)х=у;   𝟔у𝟐−𝟏𝟑у+𝟔=𝟎;      у𝟏=𝟐𝟑;    у𝟐=𝟑𝟐(𝟐𝟑)х=𝟐𝟑;  х=1(𝟐𝟑)х=𝟑𝟐;  х=−1. Відповідь:-1;1. 

Функціонально - графічний метод.(13)х = х+1 Побудуємо графіки функцій у= (13)х і у=х+1 в одній системі координат. Графіки і перетинаються в точці (0;1). Відповідь:0 

Розв᾽язуємо вправи ЗНО

Розв᾽язуємо вправи ЗНО

Розв᾽язуємо вправи ЗНО

Показникові нерівностіПоказниковими нерівностями називають нерівності вигляду 𝒂𝒇(𝒙)> 𝒂𝒈(𝒙),де a - додатне число, відмінне від 1, і нерівності, що зводяться до цього вигляду. Нерівності розв'язуються за допомогою властивості зростання або спадання показникової функції:- для зростаючої функції більшому значенню функції відповідає більше значення аргументу- для спадної функції більшому значенню функції відповідає меньше значення аргументу. 

Властивості показникової функціїах<ау⇔х> у ах<ау⇔х< у 

Показникові нерівностіПоказникова нерівність  𝒂𝒇(𝒙)> 𝒂𝒈(𝒙)  рівносильна нерівності протилежного змісту f(x)125 Маємо  (15)2х−1 >  (15)−3 Ця нерівність рівносильна нерівності протилежного змісту 2x−1˂-3, оскільки основа дорівнює 𝟏𝟓˂1 (  0˂ a ˂ 1),звідки знаходимо x ˂ −1. Відповідь:х∈(−∞;-1) 

Показникові нерівностіПоказникова нерівність  𝒂𝒇(𝒙)> 𝒂𝒈(𝒙)  рівносильна нерівності того ж змісту f(x)>g(x), якщо a>1 Приклад: Розв'язати нерівність: 22х−1 > 64 Маємо  22х−1 >2⁶ Ця нерівність рівносильна нерівності того ж змісту 2x−1 > 6, оскільки основа дорівнює 2>1 ( a>1),звідки знаходимо x>3,5. Відповідь:х∈(3,5;+∞) 

Розв᾽язуємо вправи ЗНО

Розв᾽язуємо вправи ЗНО