МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Кропивницький фаховий коледж харчування та торгівлі Циклова комісія обліково-економічних дисциплін

Розглянуто

                                                                                                                                                       На    засіданні    циклової

комісії

Протокол №8

Від «01» березня 2024р.

Голова циклової комісії

Щербак І.М. __________

МЕТОДИЧНА РОЗРОБКА ЛЕКЦІЇ

З ПРЕДМЕТУ

«МАТЕМАТИКА» ПО ТЕМІ

«ПОНЯТТЯ ПЕРВІСНОЇ ТА НЕВИЗНАЧЕНОГО

ІНТЕГРАЛА»

Спеціальність 071 «Облік і оподаткування»

Курс ІІ

Семестр ІІІ

Кількість навчальних годин 2 Викладач Мазуренко О.Б.

                                                                                  Кропивницький 2024                                       

Поняття інтеграла пронизує всю сучасну математику. В науках фізичного і технічного та економічного циклів знаходять застосування різні варіації інтеграла. Останнім часом увійшли до ужитку такі терміни, як, наприклад, «інтегральна схема», «економічна інтеграція», які прямого відношення до інтеграла не мають, але смислове навантаження зберігають і знаходять широке розповсюдження в літературі і розмовній мові. Інтеграл має широкий спектр використання як у математиці, так і у фізиці, економіці тощо.

Тема «Інтеграл та його застосування» є продовженням теми «Похідна та її застосування» з алгебри та початків аналізу. На її вивчення у курсі предмету «Математика» відводиться 12 годин. Під час вивчення здобувачі освіти знайомляться з поняттями первісної та інтеграла, формулою Ньютона-Лейбніца. Велика увага приділяється змістовній стороні питань, моделюванню реальних процесів, що призводять до практичного застосування визначеного інтеграла.

Курс алгебри та початків аналізу, що вивчається в шкільному курсі математики, є пропедевтикою для вивчення навчальної дисципліни «Вища математика» для спеціальності 071 «Облік та оподаткування», головною особливістю вивчення інтегралу  є практична спрямованість для суміжних дисциплін. Від успішного засвоєння основних понять аналізу залежить їх подальше вивчення та сприйняття зв'язків математики з іншими галузями науки.

 

           

Цілями вивчення теми «Інтеграл та його застосування» є:

Начальна – формування у здобувачів освіти поняття первісної для функції та її основних властивостей, а також предметних компетенцій по застосуванню первісної та інтеграла при розв’язуванні практичних задач; сприяння формуванню умінь складати математичні моделі реальних ситуацій.

Розвивальна – розвивати логічне мислення, пам'ять, увагу, математичну грамотність, пізнавальні інтереси здобувачів освіти, навички колективної і власної діяльності, уміння вибирати методи і способи розв’язання прикладних задач, розвивати вміння здійснювати пошук інформації, сприяти розвитку мислення, творчих здібностей, самостійності, спостережливості, розвивати культуру математичної мови.

Виховна – виховувати акуратність, наполегливість, інтерес до вивчення математики, формувати вміння приймати рішення в нестандартних ситуаціях, працювати в колективі, виховувати культуру ділового спілкування, розширити кругозір.

           

План

1.     Первісна функція та її властивості

2.     Невизначений інтеграл, його основні властивості

Актуалізація опорних знань

1.    Що називають похідною даної функції?

2.    Назвіть похідні елементарних функцій.

3.    Які правила обчислення похідних ви знаєте?

4.    Назвіть функцію, похідна якої дорівнює:

Похідна	𝑥	𝑥2	𝑥3	cos 𝑥	1   𝑥
Функція	?	?	?	?	?

 

5.    Назвіть дві функції, похідні яких дорівнюють:

− sin 𝑥

𝑒𝑥

1   cos2 𝑥

 

1.     Первісна функція та її властивості

Нехай дано дві функції y  f (x) і y  F(x), причому функція y  f (x) є похідною функції y  F(x), тобтоF(x)= f (x). Тоді функцію y  F(x) називають первісною функції y  f (x) . Ця термінологія природна. Функцію y  f (x) отримують з функції y  F(x) за допомогою операції диференціювання. Навпаки, y  F(x) - це вихідна, початкова функція для y  f (x) . Поняття первісної, як і поняття похідної, одне з основних понять у математиці.

Означення. Функція y  F(x)називається первісною функції y  f (x) на заданому проміжку, якщо для всіх x з цього проміжку виконується співвідношення

F(x)= f (x).

Наприклад, функція ycosx є первісною функції y  sinx на інтервалі

; , оскільки cos x^  sin x для всіх x з цього проміжку.

Функція F(x)  x є первісною функції f (x) _ ¹ на інтервалі 0; , однак 2 x

не є первісною цієї функції на проміжку 0; , оскільки співвідношення F(x)= f (x) не виконується при x0 .

Неважко впевнитись у тому, що первісною функції y  sinx є не тільки функція ycosx, а й довільна функція y  cosx С , де _С - довільна стала. Справді,

(cosx С)  (cosx)C  sinx.

Взагалі, якщо y  F(x) - первісна для y  f (x) , то функції виду y  F(x) C є також первісними для y  f (x) . Це можна перевірити безпосереднім обчисленням, користуючись означенням первісної функції.

Отже, якщо функція має первісну на деякому проміжку, то вона має їх там нескінченну кількість.

Крім того, якщо yF₁(x) і yF₂(x) - дві первісні функції y  f (x) , то вони відрізняються на деяку сталу. Справді, похідна функції yF₁(x)F₂(x) дорівнює нулю:

(F₁(x)  F₂(x))  F₁^(x)  F₂^(x)  f (x)  f (x)  0.

Нагадаємо, що коли похідна функції дорівнює нулю на деякому проміжку, то ця функція стала на цьому проміжку. Тобто F₁(x)F₂(x) C . Цим доведемо основну властивість первісних, яка формується так.

Теорема. Якщо y  F(x) - первісна функції y  f (x) на деякому проміжку, то існує нескінченна кількість первісних для y  f (x) на цьому проміжку і всі вони мають вигляд y  F(x) C , С – довільна стала.

Основна властивість первісних має простий геометричний зміст: графіки будь-яких двох первісних функцій можна отримати один з другого паралельним перенесенням вздовж осі ординат.

Однією з основних задач інтегрального числення є знаходження для даної функції всіх її первісних, якщо вони існують.

При знаходженні первісної звичайно користуються такими її властивостями.

Властивість 1.Якщо y  F(x), y  G(x) - первісні функцій y  f (x) і y  g(x) відповідно, то y  F(x)G(x) є первісною для y  f (x) g(x) на розглядуваному проміжку.

Ця властивість випливає безпосередньо з визначення первісної і відомих правил диференціювання. Справді, оскільки F(x)= f (x), G(x)  g(x), то

(F(x)G(x))  F(x)G(x)  f (x) g(x).

Властивість 2. Якщо  y  F(x) - первісна функції y  f (x) і k - стала, то y  kF(x) є первісною функції y  kf (x) на заданому проміжку.

Справді, якщо F(x)= f (x), то (kF(x))  kF(x)  kf (x).

Властивість 3. Якщо y  F(x) - первісна функції y  f (x) , то y _ ¹ F(kx  b) є

k

первісною функції y  f (kxb), де k0, b - деяка стала.

Справді, якщо F(x)= f (x), то за правилом диференціювання складної функції маємо

^ ¹ F(kx  b)^^  ¹ (F(kx  b)) = ¹ F(kx  b)(kx  b) _ ¹ f (kx  b)k  f (kxb).

                 k                     k                        k                                  k

Іноді з множини первісних y  F(x) C доцільно виділити одну. Тоді задають додаткові умови, наприклад значення первісної у деякій точці. На геометричній мові це означає виділення кривої, що проходить через задану точку.

2.     Невизначений інтеграл, його основні властивості

На відміну від диференціювання, яке зіставляє з функцією другу функцію – її похідну, інтегрування приводить не до однієї конкретної функції а до нескінченної множини первісних, що відрізняються одна від одної сталими доданками.

Сукупність усіх первісних y  F(x) C для функції y  f (x) на деякому проміжку називається невизначеним інтегралом функції на цьому проміжку і позначається символом  f (x)dx :

 f (x)dx  F(x) C .

Функція y  f (x) називається підінтегральною, f (x)dx - підінтегральним виразом, x - змінною інтегрування. Символ  називається знаком інтеграла.

x2

Наприклад,  xdx  ₂  C , оскільки первісними функціями yx є функції

x2

y   C . Аналогічно

2

sin xdx  cos x C, e^xdx  e^x C .

Безпосередньо із означення інтегралу випливає, що 

^ f (x)dx^  f (x)^; F(x)dx  F(x) C .

Перша з цих формул стверджує, що яку з первісних функцій y  f (x) не візьмемо, її похідна дорівнює f (x). Друга формула виражає також очевидний факт: функція y  F(x) є однією з первісних функцій y  F(x).

Ці формули відображають уже відомий зв’язок між операціями диференціювання та інтегрування. А саме: послідовне виконання над деякою функцією інтегрування, а потім диференціювання відтворює дану функцію. Якщо інтегрування відбувається за диференціюванням, то дістаємо сукупність функцій, які відрізняються від даної на деякі сталі доданки.

Першу з наведених формул звичайно використовують для перевірки правильності виконання операції інтегрування.

Оскільки кожній формулі F(x)= f (x) диференціального числення відповідає формула  f (x)dx  F(x) C інтегрального числення, і навпаки, то, використовуючи відомі формули для похідних степеневих, показникових, тригонометричних функцій, дістанемо таблицю невизначених інтегралів:

       ^               x1

 x dx _1 C, ax

_x

dx

1; ^ x  ln x C;

x                      x

a dx  ln a C; e dx  e C;

 

sin xdx cos x C; cos xdx  sin x C; dx        dx

^ cos2 x  tgx C; ^ sin 2 x ctdx C.

Правильність кожної з цих формул можна перевірити за допомогою

dx

диференціювання. Переконаємося, наприклад, що ^ _x  ln x +С. Якщо x0 , то

ln x^  ln x^   ¹ 1 ¹ . Тому розглянута формула правильна на кожному x  x

проміжку, який не містить точку x0 .

Щоб знайти інтеграл, відмінний від наведених вище, досить звести його до табличного або ж до лінійної комбінації табличних інтегралів. Часто це вдається зробити за допомогою перетворення підінтегрального виразу і застосування правил інтегрування.

Правило 1. Невизначений інтеграл від суми (різниці) функцій дорівнює сумі

(різниці) невизначених інтегралів цих функцій, тобто

f (x)  g(x)dx   f (x)dx   g(x)dx .

Правило 2. Сталий множник можна винести за знак інтеграла, тобто kf (x)dx  k f (x)dx.

1

Правило 3. Якщо  f (x)dx  F(x) C , то  f (kx  b)dx  _k F(kx  b)  C , де k0, b

- деякі сталі.

Ці правила інтегрування безпосередньо випливають  з відповідних властивостей первісних.

Доведемо першу властивість.

Якщо y  F(x), y  G(x) первісні функцій y  f (x) і y  g(x) відповідно, то права частина співвідношення являє собою сукупність функцій виду yF(x)С₁ G(x)C₂ F(x)G(x)C , де С - довільна стала. Це згідно з означенням інтеграла і є ( f (x)  g(x))dx .Неважко довести, що формула залишається правильною для довільного скінченого числа доданків.

Обчислювати інтеграли, звичайно, складніше, ніж знаходити похідні. Крім того, є і більш принципова відмінність між операціями диференціювання та інтегрування. Диференціювання не виводить із класу елементарних функцій, але не у всякої елементарної функції первісною є елементарна функція. Так. первісними

^x2                 sin x     cos x    ²                      1 елементарних функцій e         ,           y  ,   y        ,   y  cos x ,        y        і багатьох інших

                                                                                         x                  x                                   ln x

уже не є елементарні функції. У таких випадках кажуть, що інтеграли

       ^x2                       sin x            cos x                    ²                           1

e dx, ^ _x dx, ^ _x dx, cos x dx, ^ _{ln x} dx «не беруться».

Таким чином, інтегрування є джерелом введення важливих і широко застосовних спеціальних функцій. І хоча функції, які задаються за допомогою інтегралів, не є елементарними, вони досить добре вивчені, для них складено таблиці значень, побудовано графіки.

Питання для самоконтролю

1.     Яку назву має операція знаходження похідної?

2.     Яку функцію називають первісною до даної?

3.     Скільки первісних існує для даної функції? 4. Чим відрізняються первісні однієї функції?

5.     Як перевірити правильність знаходження первісної?

6.     Як знайти первісну функції, яка має сталий множник,?

7.     Як знайти первісну функції, яка є многочленом?

8.     Як знайти первісну складеної функції?

9.     Як називають операцію знаходження первісних?

10.Що таке невизначений інтеграл?

11.Як знайти інтеграл суми та різниці функцій?

12.Як проінтегрувати функцію, яка має сталий множник?

13.Як знайти невизначений інтеграл складеної функції?

14.Як перевірити правильність обчислення невизначеного інтеграла?

15.Чи будь яку функцію можна проінтегрувати?

           

Задачі

1.     Знайдіть первісну функції:

а). 𝑓(𝑥) = 𝑥⁸;

б). 𝑓(𝑥) = 𝑥⁶;

в). 𝑓;

г). 𝑓.

2.     Доведіть, що функція 𝐹 𝑥 є первісною для функції 𝑓(𝑥) = 3𝑥⁸ + ³₂ + 1. cos 𝑥

3.     Доведіть, що функція 𝐹(𝑥) = 𝑥³ + ctg 𝑥 + 9𝑥 є первісною для функції 𝑓(𝑥) =

                 3𝑥² − ¹₂ + 9.

sin 𝑥

4.     Знайдіть загальний вигляд первісних для функцій:

а). 𝑦 = (−3𝑥)⁻³;

б). 𝑦 = (2𝑥)⁻⁴;

в). 𝑦 = 6 − sin 14𝑥;

г).𝑦 = 2 + cos 7𝑥.

5.     Для функції 𝑓(𝑥) знайдіть таку первісну 𝐹(𝑥), щоб:

а). 𝑓(𝑥) = 𝑥⁴, 𝐹(3) = 14;

б). 𝑓(𝑥) = 𝑥⁵, 𝐹(−2) = 4;

в). 𝑓(𝑥) = 2 sin 𝑥, 𝐹 (^𝜋) = 2;

6

г). 𝑓(𝑥) = 4 cos 𝑥, 𝐹 (^𝜋) = 3.

3

           

Тести

1.Функція 𝐹(𝑥) = sin 𝑥 − 𝑥 є первісною для функції:

А	Б	В	Г	Д
𝑓(𝑥) = = cos 𝑥 − 1	𝑓(𝑥) = = − cos 𝑥	𝑓(𝑥) = = sin 𝑥 + 1	𝑓(𝑥) = = −cos 𝑥 − 1	𝑓(𝑥) = = sin 𝑥 − 1
2. Функція 𝐹(𝑥) = cos2 𝑥 є первісною для функції:
А	Б	В	Г	Д
𝑓(𝑥) = = 2 sin 𝑥	𝑓(𝑥) = = −2 sin 2𝑥	𝑓(𝑥) = 2 sin2𝑥	𝑓(𝑥) = = −  sin 2𝑥	𝑓(𝑥) = = −2 cos 2𝑥
3. Яка з функцій є первісною функції 𝑓(𝑥) = 𝑥4?
А	Б	В	Г	Д
4𝑥 𝐹(𝑥) =  ln 4	𝑥5        𝐹(𝑥) =     5	𝑥3        𝐹(𝑥) =     3	𝐹(𝑥) = 4𝑥3	𝐹(𝑥) = 5𝑥5

4.     Укажіть загальний вигляд первісних функції 𝑓(𝑥) = 6^7𝑥:

А	Б	В	Г	Д
67𝑥 𝐹(𝑥) =  ln 6	𝐹(𝑥) = 1 67𝑥 ln 6 = 7	𝐹(𝑥) = 67𝑥 =       7 ∙ ln 6	𝐹(𝑥) = 6𝑥 =       7 ∙ ln 6	𝐹(𝑥) = 7 ∙ 67𝑥 =    ln 6

5.     Укажіть первісну функції 𝑓(𝑥) = 8 ∙ 𝑥³, графік якої проходить через точку (−2; 1):

А	Б	В	Г	Д
𝐹(𝑥) = 2𝑥4	𝐹(𝑥) = = 2𝑥4 − 33	𝐹(𝑥) = = 2𝑥4 + 33	𝐹(𝑥) = = 2𝑥4 + 31	𝐹(𝑥) = = 2𝑥4 − 31

6.     Укажіть загальний вигляд первісних функції 𝑓(𝑥) = ²₃:

𝑥

А	Б	В	Г	Д
𝐹(𝑥) = 1 =   2 + 𝑐 𝑥	𝐹(𝑥) = 1 = −    2 𝑥	𝐹(𝑥) = 1 = −  2 + 𝑐 𝑥	𝐹(𝑥) = 2 = −  2 + 𝑐 𝑥	𝐹(𝑥) = 2 =   2 + 𝑐 𝑥

7.     Укажіть первісну функції 𝑓(𝑥) = sin 𝑥, графік якої проходить через точку (− ^𝜋 ; 0): 2

А	Б	В	Г	Д
𝐹(𝑥) = = −cos 𝑥	𝐹(𝑥) = = cos 𝑥 − 1	𝐹(𝑥) = = cos 𝑥	𝐹(𝑥) = = cos 𝑥 − 2	𝐹(𝑥) = = −cos 𝑥 + 1

8.     Укажіть загальний вигляд первісних функції 𝑓(𝑥) = 2^𝑥 − 9𝑥⁸:

А	Б	В	Г	Д
𝐹(𝑥) = 2𝑥 9 + 𝑐 =− 9𝑥 ln2	𝐹(𝑥) =             2𝑥                 9 =  − 𝑥 ln2	𝐹(𝑥) =             2𝑥                 9 =  − 𝑥 ln2 + 𝑐	𝐹(𝑥) =         2𝑥                      9 + 𝑐 =− 𝑥 ln2	𝐹(𝑥) =        2𝑥             𝑥9 = − + 𝑐 ln2 9

9.     Знайдіть невизначений інтеграл ₂ 𝑑𝑥: sin 𝑥

А	Б	В	Г	Д
−сtg4𝑥 + 𝑐	4сtg𝑥 + 𝑐	−4сtg𝑥 + 𝑐	−4tg𝑥 + 𝑐	сtg𝑥 − + 𝑐 4

10.Знайдіть невизначений інтеграл ∫(𝑥² − 7𝑥³ + 9) 𝑑𝑥:

А	Б	В	Г	Д
𝑥3                    𝑥4          − 7            + 9𝑥 3                4 + 𝑐	𝑥3                   𝑥4          − 7           + 𝑥 3               4 + 𝑐	𝑥3              𝑥4          −           + 9𝑥 3            4 + 𝑐	𝑥3          𝑥4       −         + 9𝑥 + 𝑐 3        28	𝑥3                   𝑥4          − 7           + 𝑐 3                4

11.Знайдіть невизначений інтеграл :

𝑥

А	Б	В	Г	Д
𝑥6                 𝑥4            −      + 𝑐 6           4	𝑥6              𝑥4          +         + 𝑐 6         2	𝑥4 6𝑥6 −  + 𝑐 2	𝑥6                𝑥4           −          + 𝑐 6          2	𝑥6                 𝑥4        − 2        + 𝑐 6           3

12.Знайдіть невизначений інтеграл :

𝑥

А	Б	В	Г	Д
1        1 − 2 − 𝑥4 + 𝑐 𝑥	2        2 − 2 − 𝑥4 + 𝑐 𝑥	1                1            +             + 𝑐 3𝑥3              5𝑥5	1           1              +               + 𝑐 2𝑥2                2𝑥4	1           1 −         2 − 2𝑥4 + 𝑐 2𝑥

           

Таблиця похідних:

𝒇(𝒙)	𝒇′(𝒙)	Додаткові умови	𝒇(𝒙)	𝒇′(𝒙)	Додаткові умови
𝐶	0		sin𝑥	cos 𝑥
x	1		cos 𝑥	−sin𝑥
𝑥2	2x		tg 𝑥	1   cos2 𝑥	𝜋 𝑥𝑛𝜋
𝑥3	3𝑥2		ctg 𝑥	1 − 2 𝑥 sin	𝑥 ≠ 𝑛𝜋, 𝑛 ∈ 𝑍
𝑥𝛼	𝛼𝑥𝛼−1	𝛼 ∈ 𝑅	𝑎𝑥	𝑎𝑥 ∙ ln𝑎
	1   2√𝑥	𝑥 > 0	ln𝑥	1   𝑥	𝑥 > 0
1   𝑥	1   𝑥		log𝑎 𝑥	1   𝑥 ∙ ln 𝑎	𝑥 > 0 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1
𝑒𝑥	𝑒𝑥

 

Таблиця первісних (невизначених інтегралів):

∫ 𝟎 ∙ 𝒅𝒙 = 𝑪	𝑪
𝑪	𝑪
𝟏	𝐥𝐧|𝒙| + 𝑪
𝑪	∫ 𝐥𝐧𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 ∙ 𝐥𝐧 𝒙 + 𝑪
𝒂𝒙 ∫ 𝒂𝒙𝒅𝒙 =  + 𝑪 𝐥𝐧 𝒂	∫ 𝒆𝒙𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 + 𝑪
∫ 𝐜𝐨𝐬𝒙 𝒅𝒙 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝑪	∫ 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒅𝒙 = −𝐜𝐨𝐬𝒙 + 𝑪
𝐭𝐠 𝒙 + 𝑪	𝐜𝐭𝐠𝒙 + 𝑪

           

Література

І. Навчальна література

Основна

1.       Бевз Г. П. Математика: Алгебра і початки аналізу та геометрія. Рівень стандарту: підруч. для 11 кл. закладів загальної середньої освіти / Г. П. Бевз, В. Г. Бевз. — К.: Видавничий дім «Освіта», 2019. — 272 с.: іл.

2.       Істер О.С. Математика: (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту): підруч. для 11-го кл. закл. заг. серед. освіти / Олександр Істер. — Київ : Генеза, 2019. — 304 с.: іл.

3.       Мерзляк А. Г. Математика : алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту : підруч. для 11 кл. закладів загальної середньої освіти / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський та ін. — Х.: Гімназія, 2019. — 208 с.: іл.

4.       Нелін Є. П. Математика (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту): підруч. для 11 кл. закл. загал. серед. освіти / Є. П. Нелін, О. Є. Долгова. — Харків: Вид-во «Ранок», 2019. — 304 с.: іл.

Додаткова 1. Афанасьєва О.М.. Математика: Підручник/О.М. Афанасьєва, Я.С. Бродський, О.Л. Павлов, А.К. Сліпенко. – К.: Вища шк., 2001. – 447 с.: іл.

ІІ. Методична література

1.Методична розробка з дисципліни «Математика» Укладач: Алілуйко Андрій Миколайович, кандидат фізикоматематичних наук, викладач коледжу ЧІПБ ТНЕУ.

ІІІ. Інформаційні ресурси

1.        https://umity.in.ua/topic/?id=784.

2.        http://oipopp.ed-sp.net/?q=taxonomy/term/2666.

3.        https://library.iapm.edu.ua/metod_disc/pdf/3561_met_anal.pdf.