Урок з алгебри на тему "Елементи комбінаторики. Правила суми та добутку. Перестановки. Розміщення. Комбінації"

Тема: Елементи комбінаторики. Правила суми і добутку. Перестановки.  Розміщення. Комбінації 

Мета: Домогтися засвоєння основних правил та понять: правил суми та добутку; поняття комбінаторики, факторіалу, перестановки, розміщення, комбінації; формувати вміння практично застосовувати набуті знання при розв’язуванні комбінаторних занять. Розвивати вміння робити самостійні висновки та узагальнювати теоретичний матеріал, уміння поєднувати вивчений матеріал із приємними розвагами. Сприяти вихованню математичної грамотності, активності і наполегливості, естетичному сприйняттю інформації.

Тип уроку: засвоєння нових знань

Обладнання: комп’ютер, проектор, картки з завданнями для роботи в парах, сердечка, стріли

Хід уроку

І. Організаційний момент

ІІ. Актуалізація опорних знань

•     Інтерактивна вправа «Знаю. Хочу дізнатися. Дізнався»

Розмістити у відповідній графі таблиці «Знаю. Хочу дізнатися. Дізнався» терміни:

Множина, порожня множина, факторіал, комбінаторика, множина натуральних чисел, комбінація, скінченна множина, перестановка, множина цілих чисел, розміщення, комбінаторні задачі.

(Учні зачитують та аргументують вибране).

 

ІІІ. Формулювання теми, мети і завдань уроку. Мотивація навчальної діяльності

У графі «Хочу дізнатися» всі учні виділили поняття «комбінаторика». Приємно, що вас цікавлять нові терміни, що хочете відкривати щось нове для себе.

В житті часто доводиться  що-небудь вибирати з великої кількості всіляких варіантів.

Наприклад:

1. Скількома способами можна скласти список із 20 учнів?
2. Скількома способами можна розмістити 8 гостей за столом?
3. Скільки існує п’ятицифрових телефонних номерів?

Для таких задач існують загальні методи розв’язування,  що вивчає комбінаторика, як розділ математики.

КОМБІНАТОРИКА – важливий розділ математики, знання якого необхідні представникам різноманітних спеціальностей. З комбінаторними задачами доводиться мати справу фізикам, хімікам, біологам, лінгвістам, спеціалістам по кодах і тд.

Повідомлення учнів.

• З задачами, в яких доводиться вибирати ті чи інші предмети, розміщувати їх в певному порядку і відшуковувати серед різних розміщень найкращі, люди стикнулися ще в доісторичну епоху, обираючи найкращі розміщення мисливців під час полювання, воїнів під час битви, інструментів під час роботи.               Певним чином розміщувалися прикраси на одязі, візерунки на кераміці.

 

• З ускладненням виробничих і суспільних відносин ширше приходилося користуватися загальними поняттями про порядок, ієрархію, групування. В тому ж напрямку діяв розвиток ремесл, торгівлі. Перша згадка про питання, близькі до комбінаторних, зустрічається в китайських рукописах, що відносяться до XII – XIII ст. до н.е.

 

• Пізніше з'явились нарди, шашки й шахи, а також їх різноманітні варіанти (китайські та японські шахи, японські облавні шашки "го" тощо); в кожній з цих ігор доводилося розглядати різноманітні комбінації фігур, що мали здатність пересовуватись, та вигравав той, хто їх краще вивчив, знав переможні комбінації та вмів уникати програшів.

Основоположниками сучасної комбінаторики є такі вчені: Яків Бернуллі, П’єр Ферма, Леонард Ейлер, Жозеф Луї Лагранж.

IV. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Усе у світі починається з Любові. З любові почнемо і вивчення комбінаторики.

ВІД КОХАННЯ З ПЕРШОГО ПОГЛЯДУ-ДО ОДРУЖЕННЯ

•      Перше знайомство

Основне поняття в комбінаториці – множина.

Отож, уявімо собі, що ВОНА – МНОЖИНА – це молода, симпатична, тендітна дівчина зі своїми математичними примхами і складним характером. Ми вже колись з нею перетиналися, але давайте познайомимося ближче.

Множина – поняття первинне, не означуване (так як точка, пряма).

Множини позначають великими буквами латинського алфавіту А, В, С.

Наприклад  А= {0;2;4;6;8} – множина парних цифр.

•      Історія родини

В сім’ї  наша МНОЖИНА не одна. В неї є сестри, і кожна з них має свої принади.

а)      порожня множина ( не має жодного елемента) Ø

б) скінченна множина має скінченну кількість елементів (множина одноцифрових чисел).

в)   нескінченна множина  має нескінченну кількість елементів (множина цілих чисел)

г)  впорядкована множина  - множина записана в певному порядку

А= {1; 2; 3} В= {3; 2; 1} А≠В.

А ще в цій сім’ї МНОЖИН є свої правила:

•     ПРАВИЛО СУМИ  Якщо деякий елемент А можна вибрати m способами, елемент В n  способами,  то вибрати А або В можна m+n  способами.
•     ПРАВИЛО ДОБУТКУ  Якщо деякий елемент А можна вибрати m способами, елемент В n  способами, то пару об’єктів А і В можна вибрати m*n  способами.

ВІН  - ФАКТОРІАЛ  (!) – красивий, стрункий, гордий, самовпевнений юнак. Всі числа стають перед ним по стійці струнко. Хто ж він такий? З ним ми точно не бачилися і нічого про нього не чули.

ФАКТОРІАЛОМ називають добуток n послідовних натуральних чисел.  

n! =1·2·3·4…·n

5!= 1·2·3·4·5; 2!= 1·2; 1!=1

 

•      Знайомство з близькими родичами

ПЕРЕСТАНОВКИ

=n!  - формула числа перестановок без повторень.

Перестановкою з n елементів називають будь-яку впорядковану множину з n елементів.

Задача. Скількома способами можна розставити на полиці 5 книжок.

 =5!= 1·2·3·4·5=120 с

 

РОЗМІЩЕННЯ

  - формула числа розміщень без повторень.

Задача. Розклад на день має 6 уроків. Визначити кількість можливих розкладів при виборі з 10 предметів, за умови, що кожен предмет не повторюється в розкладі двічі.

  == 5·6·7·8·9·10

 

КОМБІНАЦІЇ

  - формула числа комбінацій без повторень

Задача.  У ящику 7 чорних і 5 білих кульок. Скількома способами з ящика можна дістати 3 кульки?

= ==220 с.

V. Осмислення нового матеріалу

 

•      Свідомий вибір нареченої

Потрібно пустити «стріли Амура» від комбінаторних сполук до їх значень

                       10

                          60

                            6

                        280

                        24

Після того, як вибір зроблено, потрібно наважитися на рішучий крок. Для цього дехто ворожить на ромашці, хтось звертається до ворожки, а ми пограємо у «Хрестики – нулики».

Робота в парах.

Гра «Хрестики – нулики»

Визначити за яким правилом ( суми чи добутку) розв’язується задача.

Якщо правило суми – ставимо +

Якщо правило добутку – ставимо 0

 

Гра «Хрестики-нулики»

1. На столі у секретаря лежать 10 ручок і 12 олівців. Для того, щоб швидше записати інформацію він навмання вибирає або ручку або олівець. Скількома способами він може це зробити?

 

2. Скільки різних фасонів сукні можна створити, маючи 3 базові моделі і 5 видів оздоблень.

 

3. Необхідно скласти двопозиційний код для кодового замка. На першій позиції розміщують одну з букв української абетки, на другій – одну з цифр десяткової системи числення. Скільки варіантів коду можна скласти?

 

4. В цукерниці лежать 10 шоколадних цукерок і 8 карамельок. Скількома способами можна взяти одну цукерку?

 

5. У вазі 7 червоних, 5 білих і 9 рожевих троянд. Скількома способами з вази можна взяти 1 білу або 1 рожеву троянду.

 

6. Скількома способами можна вибрати пару з літер на позначення одного голосного і одного приголосного звука у слові « КОХАННЯ»

Як видно із змісту задач, у наших закоханих квітково-цукерковий період, але, напевно, все йде до серйознішого кроку, бо вже обговорюється фасон сукні, вже секретар записує якусь інформацію, на дверях ставиться кодовий замок.

На наступному уроці у нас будуть ЗАРУЧИНИ – перейдемо від теорії до практики. Тобто до розв’язування задач на комбінаторні сполуки. Будемо працювати з односерцевими та двосерцевими картками. Буде робота в парах. Будемо визначати ІДЕАЛЬНИЙ ТАНДЕМ.

До ЗАРУЧИН завжди готуються, тому підготуйте

VI. Домашнє завдання

Опрацювати параграф 14 ст 125-130

Розв’язати вправи № 14.11, №14.27, № 14.14.

 

VIІ. Підсумок уроку

Повернення до інтерактивна вправи «Знаю. Хочу дізнатися. Дізнався». Внесення змін в таблицю.

Ви стоїте на порозі дорослого життя. Попереду у вас – безліч доріг, безліч людей, з якими доведеться перетнутися, безліч різних подій. Будуть успіхи і злети, будуть невдачі й розчарування, але навіть якщо й спіткала невдача – не розчаровуйтесь, це ж всього-на-всього випадкова подія, вона могла відбутися, а могла й не відбутися. Вибір, вихід з ситуації є завжди і цей вибір за вами. Дивіться скільки способів вирішення проблеми!

Тож комбінуйте, розміщуйте, переставляйте події у вашому житті і людей навколо них. Безмежної, многогранної, екстремальної любові вам, яка не підлягає ні диференціюванню, ні інтегруванню!