Поняття про лінійні рівняння та його корені

Поняття про лінійне рівняння, його корені. Рівносильні перетворення рівнянь. Підготувала вчитель математики. Городянської гімназії Стефурак Галина Василівна Алгебра

Історична довідка. Засновник науки, що вивчає методи розв’язування рівнянь У ІХ ст. арабський математик Мухаммед бен Муса аль-Хорезмі у своєму трактаті «Кітаб аль-джебр аль-мукабала» зібрав і систематизував існуючі на той час методи розв’язування рівнянь

Історична довідкаЄгипетські вчені майже чотири тисячі років шукане невідоме число називали «хау» ( в перекладі – «купа») і позначали спеціальним знаком. У папірусі, який дійшов до нас, є і така задача. Купа і її сьома частина становлять 19. Знайти купу. Тепер ця задача звучить так: Сума невідомого числа і його сьомої частини дорівнює 19. Знайти невідоме число. Задача зводиться до рівняння. х +17 х= 19. 

Наприклад: 4х – 9 = х; 0,3х = 16;                     2(у + 8) = 5у – 8; 3а – 18 = -4а + 3ліва частинаправа частина. Треба запам’ятати!Рівняння - рівність, яка містить невідоме число, позначене буквою. Невідоме число називають змінною.

 Якщо у рівнянні 4х – 9 = х замість змінної  х підставити 3, то отримаємо 4 . 3 - 9 = 3 - правильну числову рівність. 3 – корінь рівняння Наприклад, 5х + 4 = 24; х(х-6) = 0; х + 1 = х; х = 4. х = 0 або х = 6. немає коренів. Число, яке задовольняє рівняння, називається коренем, або розв'язком рівняння. Розв'язати рівняння - означає знайти всі його корені  або довести, що їх немає.

Повторення правил виконання дій з раціональними числами. Закінчіть речення:1. Щоб додати два числа з різними знаками, треба…від більшого модуля відняти менший модуль; у результаті поставити знак доданка з більшим модулем.2. Сума протилежних чисел…дорівнює нулю.3. Щоб додати два від’ємні числа, треба ….потрібно додати їхні модулі й поставити перед одержаним числом знак «-». 4. Щоб помножити два числа з різними знаками, треба…перемножити модулі цих чисел;перед отриманим числом поставити знак «-».

Повторення правил виконання дій з раціональними числами. Закінчіть речення:5. Щоб помножити два від'ємних числа, треба…перемножити модулі цих чисел;6. Щоб помножити два від'ємних числа, треба…перемножити модулі цих чисел;перед отриманим числом поставити знак «-».7. Щоб поділити два числа з різними знаками, треба… поділити модуль діленого на модуль дільника; перед отриманим числом поставити знак «-».8. Щоб поділити два від'ємних числа, треба…треба модуль діленого поділити на модуль дільника.

Повторення правил розкриття дужок і зведення подібних доданків{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}Якщо перед дужками стоїть знак «–» то…Якщо перед дужками стоїть знак «+» то… Щоб звести подібні доданки, треба…Для того щоб розкрити дужки, треба знаки доданків поміняти на протилежні4а – (6х + 5) = 4а – 6х - 5це означає, що всі доданки в дужках, розкриваючи дужки, залишити їх без змін 3а + (5 – 2b)= 3а + 5 – 2bпотрібно згадати розподільну властивість.3(х – 6) – 5(3 + 2х) = 3х-18-15-10хдодати їх коефіцієнти, а результат помножити на їх спільну буквенну частину2с + 8 – 9с – 4 = -7с + 4

Розв’яжіть дані рівняння по порядку. Букви, що відповідають даним числам, знайдіть в таблиці та складіть ключове слово.х – 12 = 32; 6х = 3,6; -10х = 8; 13х = 12; 2х + 5 = 12; 1 – 3х = 25.х=44 (а), х=0,6(л), х=-0,8(г), х=36(е), х=3,5(б), х=-8(а)Таблиця – ключ Відповідь: задумане слово «алгебра» {5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}-0,84478-2,53,525-81/336400,6гамдрбанеол

Наприклад: 2х = 0; 5х + 10 = 10; -3х – 6 = -4х - 6;х2 = - 4; |- х| = - 3; 5х + 8 = 5х. Треба запам’ятати!Якщо рівняння мають одні й ті самі корені, то вони називаються рівносильними. Рівносильними вважають і ті рівняння, які не мають коренів1) 5х + 4 = 3(х+7); 2) 5х + 4 = 3х + 21.

Приклад 1.1) Розв’язком якого рівняння є число 2? а) 3х + 1 = 31; б) 5 + 2х = 9; в) 1,1 + 5у = 6,1; г) 5z – 10 = 0. Розв’язання: а) 3 ∙ 2+1=7≠31; в) 1,1+5 ∙ 2=11,1≠6,1; б) 5+2 ∙ 2=9; г) 5 ∙ 2-10=0. Відповідь: число 2 є розв’язком рівняння б), г). 2) Чи є коренем рівняння х2 = 2х + 3 число а) 1; б) -1; в) 3 г) 0? 

Приклад 2. Доведіть:а) що кожне значення 1,3 та -1,3 є коренем рівняння х2= 1,69;1,32 = 1,69; (−1,3)2= 1,69.б) рівняння у – 7 = у не має коренів;не існує значення у, щоб виконувалася правильна рівність.в) коренем рівняння 2(х-3)=2х -6 є будь-яке число.2х – 6 = 2х – 6;2х – 2х = -6 + 6;0х = 0. Відповідь: х – будь-яке число. 

Приклад 3. Яке з рівнянь рівносильне рівняння 5х = 10;1) х + 3 = 5; 2) 5 – х = 7; 3) х + 2 = х + 1;4) х – 7 = -5; 5) х = 8 – 3х; 6) 4х – 7 = 4х?Розв’язання: х + 3 = 5; 2) 5 – х = 7; 3) х + 2 = х + 1; х = 2. х = -2 0х = -1х – 7 = -5; 5) х = 8 – 3х; 6) 4х – 7 = 4х; х = 2 х = 2 0х = 7 Відповідь: рівнянню 5х = 10; х = 2 рівносильні рівнянням 1), 4), 5)

ax=ba≠0 a=0x= 𝑏а, єдиний корінь b≠0 b=00∙x=b,не має коренів 0∙x=0, безліч коренів Рівняння виду ax = b, де а і b - деякі числа, х – змінна, називається лінійним рівняння з однією змінною. Числа а і b називають коефіцієнтами цього рівняння. Наприклад, рівняння 3х=0 має один корінь, рівняння 0х=8 немає коренів, 0х = 0 має безліч коренів

Під час розв'язування рівняння використовують такі властивості:якщо у будь-якій частині рівняння розкрити дужки або звести подібні доданки, то дістанемо рівняння, рівносильне даному;якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на одне й те саме, відмінне від нуля, число, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини в другу, змінивши його знак на протилежний, то дістанемо рівняння, рівносильне даному;

Розв'яжіть рівняння 6 - 8(х + 2) = 3 – 6х{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA} 1) Розкриємо дужки6 - 8х – 16 = 3 – 6х2) Перенесемо доданки, що містять змінну, у ліву частину, а інші - в праву, змінивши знаки на протилежні- 8х + 6х = 3 – 6 + 163) Зведемо подібні доданки:-2х = 134) Розв'яжемо отримане лінійне рівняння:х = 13 : (-2)х = - 6,5 Відповідь: - 6,5

Приклад 4. Розв’яжіть рівняння а)18 – 16х = -30х – 10; б) -36(6х+1) = 9(4 – 2х);а)18 – 16х = -30х – 10;-16х + 30х = -10 – 18;14х = -28;х = -28 ÷14;х = -2. Відповідь: -2. б) -36(6х+1) = 9(4 – 2х);-216х – 36 = 36 – 18х;-216х + 18х = 36 + 36;-198х = 72;х =- 72198 = - 411. Відповідь:- 411. 

Приклад 5. Знайдіть корінь рівняння 0,8 – (1,5х – 2) = -0,8 + 4,5х;0,8 – (1,5х – 2) = -0,8 + 4,5х;0,8 – 1,5х + 2 = -0,8 + 4,5х;-1,5х – 4,5х = -0,8 – 0,8 – 2;-6х = -3,6;х = -3,6 ÷(-6);х = 0,6. Відповідь: 0,6 

Приклад 6. При якому значенні у значення виразу:5у + 7 утричі більше за значення виразу у + 5?Складаємо рівняння:5у + 7 = 3(у + 5);5у + 7 = 3у + 15;5у – 3у = 15 – 7;2у = 8;у = 8 ÷2;у = 4. Відповідь: 4. 

Приклад 7. При якому значенні 𝛼 рівняння 5(𝛼 + 1)х = 40 має корінь, що дорівнює -1? Розв’язання: якщо а = (-1) корінь рівняння, то підставимо значення а = (-1) у рівняння.5(а + 1)х = 40, та розв’яжемо його.5(а + 1)(-1) = 40;-5а – 5 = 40;-5а = 45;а = -9. Відповідь: -9

Приклад 8. При якому значенні рівняння мають однакові корені:1) 4х – 3 = 5 і 3х +b = 17?Розв’яжемо рівняння 4х-3=5; 4х=5+3; 4х=8; х=2. Коренем рівняння 3х+b=17 повинно бути число 2, тому 3∙2+b=17;6+b=17; b= 17-6; b=11. Відповідь: 11. 

До наступної зустрічі!

Список використаних джерел {5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}Підручник. Видавництво. Автор. Сторінки. Алгебра: підручник для 7 кл. загальноосвітніх навчальних закладів Х.: Гімназія, 2016. А. Г. Мерзляк,В. Б. Полонський,М. С. Якір13 – 17 Алгебра: підручник для 7 кл. загальноосвітніх навчальних закладів Київ: Генеза, 2015. О. С. Істер165 - 176