Посібник з теми "Розв’язування задач з параметрами графічним методом"

Про матеріал
Метою цього посібника є формування в читачів мислення розгалудженя, елементарних навичок роботи з параметрами, розвиток графічної культури, творчого мислення. Посібник може бути використаний на уроках математики (особливо в профільних класах), на факультативах, при підготовці учнів до ДПА та ЗНО.
Перегляд файлу

«Розв’язування задач з параметрами графічним методом»

Метою цього посібника є формування в читачів мислення розгалудженя, елементарних навичок роботи з параметрами, розвиток графічної культури, творчого мислення.

Посібник може бути використаний на уроках математики (особливо в профільних класах), на факультативах, при підготовці учнів до ДПА та ЗНО.

Специфіка задач із параметрами полягає в тому, що вони охоплюють усі теми алгебри, тому є унікальним засобом для систематизації й узагальнення навчальних досягнень учнів. Високий рівень абстрагування та алгоритмізації, що містять задачі з параметрами, розвиває навички застосування евристичних, дослідницьких прийомів роботи, вміння встановлювати причинно-наслідкові зв’язки, культуру мислення, ініціативу, творчість, а також забезпечити інтелектуальний розвиток особистості.

Цей збірник допоможе вчителям формувати в учнів міцні навички розв’язування задач з параметрами різної складності. Опрацьовуючи матеріал посібника, учні зможуть ліквідувати прогалини в знаннях і вміннях, розширити та поглибити знання, підвищити рівень власної підготовки.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зміст

  1. Знайомство з параметром.
  2. Що потрібно знати і чим користуватись.
    1. Прямі і кола.
    2. Модуль.
    3. Квадратична функція і не тільки.
  3. Приклади розв’язування задач.

3.1. Рівняння.

3.2. Системи рівнянь

3.3. Нерівності.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Знайомство з параметрами

В основу розв’язання задач із параметрами покладено такий принцип: значення параметра (або параметрів) вважається довільно фіксованим і розв’язок задачі знаходитися традиційними методами. Проте наявність параметрів у задачі передбачає обов’язкове дослідження існування розв’язку залежно від конкретних числових значень параметрів із області їх допустимих значень, а також знаходження всіх таких розв’язків. Задачі з параметрами, таким чином, розглядаються як ціла множина рівнянь, нерівностей або їх систем, які отримуються, коли параметри набувають конкретних значень. Форма запису відповіді у задачах з параметрами має спеціальний вигляд: значення невідомих вказуються для кожного допустимого значення параметрів.

    Для розв’язання задач з параметрами необхідні ґрунтовні знання властивостей елементарних функцій, рівносильних перетворень рівнянь та нерівностей.

Задача з параметрами крім букв, що позначають невідомі, містять інші букви, які називаються параметрами. Фактично ми маємо справу не з одним завданням, а з їх нескінченною множиною.

    Розв’язати завдання з параметром означає, що потрібно навести у відповіді сімейство розв’язків відносно невідомої величини для всіх можливих сталих величин (параметрів).

Важливо! Параметр у відповіді повинен «пробігти» всю числову вісь, або всі значення , що обумовлені умовою задачі.

Так, з параметрами учні зустрічаються при введенні деяких понять. Розглянемо як приклади наступні об’єкти.

Функція пряма пропорційність: y=kx  (x і y  - змінні, kпараметр,  );

Лінійна функція: y=kx+b (x і y  - змінні, k i bпараметри);

Лінійне рівняння: ax+b=0 (x - зміннa, a i bпараметри);

Рівняння першого степеня: ax+b=0 (x - зміннa, a i bпараметри, );

Квадратне рівняння: (x - зміннa, a, b і с – параметри, ).

До задач з параметрами, можна віднести, наприклад, пошук розв’язків лінійних і квадратних рівнянь в загальному вигляді, дослідження кількості їх коренів в залежності від значення коефіцієнтів.

 Основне, що потрібно засвоїти при першому знайомстві з параметром, - це необхідність обережного звертання до фіксованого але невідомого числа.

Існує три загальноприйняті методи розв’язання задачі з параметром: аналітичний, графічний та відносно параметра.

Аналітичний  -  універсальний, але найбільш складний, і потребує високої математичної грамотності.

Графічний – виключно красивий і наочний але не завжди доречний і потребує мистецтва роботи з графіками.

В цьому посібнику ми звернемо увагу саме на графічний спосіб.

Суть методу полягає в тому, що задачу зводять до з’ясування взаємного розташування графіків рівнянь що містять параметри по відношенню до графіків рівнянь які  у своєму складі не містять параметрів.

Найчастіше графічно розв’язують ті задачі, де потрібно знайти кількість розв’язків, коли в задачі є «впізнавана функція», в задачах з модулями.

До того ж в  деяких випадках аналітичний метод розв’язування «тягне за собою» таку кількість систем і сукупностей, що в них дуже легко заплутатись. І тоді на допомогу приходить графіка.

 

  1. Що потрібно знати і чим користуватись.
    1.                   Щоб розв’язувати графічно задачі з параметрами необхідно вміти будувати і перетворювати графіки функцій та залежностей. В цьому розділі – відомості про графіки функцій і залежностей, які найчастіше зустрічаються.
  1. Пряма    y=kx+b

kзмінна

b - const

пряма «обертається» навколо точки (0; b)

(рівняння прямої з полюсом)

bзмінна

k  - const

y=kx   рухається вздовж осей координат

 

y=k1 x+b1

y=k2 x+b2

 

k1 = k2

прямі паралельні

k1 k2 = - 1

прямі перпендикулярні

  1. Коло   (x-a)2 + (y-b)2=R2

aзмінна

b – const

R - const

коло «рухається» вздовж осі Ох

bзмінна

a  - const

R - const

коло «рухається» вздовж осі Оу

aconst

b – const

R - змінна

«сім’я» концентричних кіл з центром в точці (а; b)

 

Коло і пряма: перетинаються (2 спільні точки), дотикаються (1 спільна точка), не перетинаються (не мають спільних точок).

2.2. Модуль.

Графік функції виду  у = |х - а| + |х - b|

«дно»:  у = |а - b|

 

 

 

 

Графік залежності виду  |х| + |у|= т – квадрат

- а| + |х - b|= т

aзмінна

b – const

т - const

квадрат «рухається» вздовж осі Ох

bзмінна

a  - const

т - const

 квадрат «рухається» вздовж осі Оу

aconst

b – const

т - змінна

«сім’я» концентричних квадратів з центром в точці (а; b)

  1.              Квадратична функція.

Про графік квадратичної функції написано багато. На мою думку цей конспект (посібник Г.В.Апостолова, В.В.Ясінський «Перші зустрічі з параметром»)– найкраще узагальнення відомостей про графік квадратичної функції.

Але розділ називається «Квадратична функція і не тільки». Тож давайте дослідимо ще деякі випадки непрямого використання квадратичної функції на прикладах.

Графік функції – півколо з центром в (0;0),  радіусом 3  (y ≥ 0)

 

 

 

 

 

 

 

ОВ:

- асимптоти

 

 

 

 

 

ОВ:

 

- асимптоти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Приклади розв’язування задач.
    1.          Рівняння
  1. Знайдіть всі значення параметра а при якому рівняння має менше 4 коренів

Розв’язання

Запишемо рівняння в виді: 

Нехай  f(x) =          g(x)=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Схематично зобразимо  графіки функцій f(x) та g(x)

Графік функції   g(x)=  - пряма, паралельна осі Ох. Розв’язки рівняння – абсциси точок перетину графіків функцій. Пряма не перетне графік f(x), якщо а < 0 і якщо а >9, то пряма матиме з графіком менше чотирьох точок перетину (а саме дві). Тобто, рівняння має менше 4 коренів коли

Відповідь: 

 

  1. Знайти всі значення параметра а при яких найменше значення функції  f(x) дорівнює найбільшому значенню функції     g(x).

f(x)=|x - 1|+|x - 3|+a

g(x)=

Розв’язання

Графік  функції  g(x)- парабола, вітки вниз, найбільшого значення досягає в вершині: х = 0;  g(x)=

f(x)=|x - 1|+|x - 3|+a

Побудуємо графік

 у =|x - 1|+|x - 3|. 

 

 

 

Найменше значення у = 2+a

Значить

 

Відповідь:  

 

 

 

  1.            Розв’яжіть рівняння для всіх дійсних значень параметра а.

|x2 - 4|-|x2 - 9| =

Розв’язання

Розглянемо дві функції  f(x)= |x2 - 4|-|x2 - 9| і g(x)=.

Схематично зобразимо графік f(x).

Для цього знайдемо нулі модулів і знаки модулів на проміжках

Для х ≤ -3 або х ≥ 3,                f(x)=5

Для -3< x < -2  і 2< x < 3,       f(x)=2х2- 13

Для -2< x < 2   f(x)= - 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Відповідь:  якщо < -5 або >5,  то рівняння розв’язків не має

якщо = -5, то

якщо = 5, то

якщо то

 

 

  1. Розв’яжіть рівняння для всіх дійсних значень параметра а

Розв’язання

Розглянемо дві функції  f(x)= і   g(x)=

Побудуємо графік  f(x).  Це півколо радіусом   для  f(x) ≥ 0

Графік  g(x)= – пряма

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Пряма дотикається до півкола:

З прямокутного трикутника  ОАВ (рис.1)

, тобто    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Пряма не перетинає півколо коли  
  2.                     Пряма перетинає півколо в 2-х точках (розв’язках рівняння ), якщо

тобто:

  1.                     Пряма перетинає півколо в одній точці:

це більший з двох розв’язків даного  рівняння  - 

 

Відповідь:  якщо

якщо

якщо

якщо

  1. ЗНО 2013. Знайдіть найменше ціле а при яких рівняння має рівно 2 розв’язки.

Розв’язання

Виконаємо перетворення і перепишемо рівняння у вигляді:

ОДЗ: 

x=5 – розв’язок

значить задача зводиться до того , щоб знайти а, при якому рівняння має один розв’язок, який ≠ 5

функція монотонно зростає на всій ОДЗ, тобто має найменше значення в  х=5.

 

Підставимо х=5 в рівняння:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

За умовою задачі а – ціле, значить

Найменше з таких значень

Відповідь:.

 

  1. Розв’яжіть рівняння для всіх дійсних значень параметра а

Розв’язання

Розглянемо дві функції  f(x)= і   g(x)=

Побудуємо графік функції  f(x)= за допомогою геометричних перетворень

Графік g(x)= - горизонтальна пряма, що рухається вгору-вниз по осі Оу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

От і все, можемо писати відповідь.

Відповідь: якщо

якщо

якщо

якщо

якщо

 

  1.                   Системи рівнянь

 

  1. Скільки розв’язків має система в залежності від параметра а?

Розв’язання

Виконаємо перетворення і запишемо систему в виді:

Побудуємо графік першого рівняння і схематично зобразимо графік другого.

це графік  , який рухається вгору-вниз по осі Ох. Очевидно, що при  - графіки перетинаються в одній точці, а при – графіки не перетинатимуться.

 

 

 

 

Відповідь: якщо - система має 1 розв’язок

якщо - система розв’язків не має

 

 

 

  1. ЗНО 2014.  Знайдіть усі від’ємні значення параметра а при яких система рівнянь має єдиний розв’язок. Якщо таке значення одне, то запишіть його у відповідь. Якщо їх кілька – то у відповідь запишіть їхню суму.

 

 

Розв’язання

Після очевидних перетворень система набере вигляду:

                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рівняння запишемо в виді

Графічним зображенням  цієї сукупності є ромбоїд

 

Графічним зображенням сукупності     є «сім’я прямих» з кутовим коефіцієнтом 5 і -5.

Оскільки а<0 , то прямі проходять через точку (-5;2). Отже,

      або     

Відповідь: -25

 

3)  Знайдіть всі значення параметра при якому система має безліч розв’язків

Розв’язання

Побудуємо графіки обох рівнянь в одній системі координат.

Графік першого рівняння – дві паралельні прямі: y = x + 2 і  y = x – 2

Графік другого рівняння – кут, що рухається вгору-вниз по вісі Оу.

Кутові коефіцієнти прямих і правої сторони кута однакові і  дорівнюють 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно, що система має безліч розв’язків при а = ±2

Відповідь: -2; 2.

 

4) Знайдіть всі значення параметра при якому система має один  розв’язок

Розв’язання

Побудуємо графіки обох рівнянь в одній системі координат.

Графік першого рівняння – дві паралельні прямі: y = -x + 2 і  y = -x – 2

Графік другого рівняння – кут, що рухається вгору-вниз по вісі Оу.

Кутові коефіцієнти прямих і лівої сторони кута однакові і  дорівнюють -1.

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно, що система має один розв’язок  при  -2 < а < 2

 Відповідь:

 

5) Знайдіть всі значення параметра при якому система має рівно два  розв’язки

Розв’язання

Побудуємо графіки обох рівнянь в одній системі координат.

Для побудови графіка першого рівняння розкриваємо модуль.

  Графік другого рівняння – квадрат, що рухається вздовж Ох.

Якщо а ≥ 1, то система завжди має 2 розв’язки.

Ще один випадок двох розв’язків матимемо, при а = -2

В інших випадках система не має розв’язків, або їх кількість не дорівнює двом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Відповідь:

 

6) Знайдіть всі значення параметра при якому система має один  розв’язок

 

 

Розв’язання

Перепишемо дану систему в виді:

 

Побудуємо графіки обох рівнянь в одній системі координат.

Аналогічно попередньому завданню для побудови графіка першого рівняння розбиваємо  нулями модулів координатну площину на частини, шукаємо знаки модулів в кожній частині і, розкриваючи модуль, будуємо графіки в кожній частині координатної площини. Щоб знайти знаки модулів в кожній частині площині підставляємо будь-яку точку з цієї частини в кожний модуль.

Нулі модулів:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Будуємо графік рівняння:

І.

      - графіку належить частина прямої

ІІ.  

      - графіку  належить 1 точка – (3; 3)

IIІ.  

    - графіку належать всі точки частини ІІІ

IV.      

      - графіку належить частина прямої

V.  

       -  графіку  належить 1 точка – (-1; 1)

VI.         

       - графіку належить частина прямої

VII.         

       -  графіку  належить 1 точка – (0; 0)

Тобто графік першого рівняння – трикутник (частина ІІІ) разом з його внутрішньою областю.

Графік другого рівняння – сім’я концентричних кіл з центром в т.(0;-1)

Система має один розв’язок коли трикутник і коло дотикаються.

Це можливо в т.(0;0) і в т.(3;3). Підставляючи координати точок в друге рівняння, одержуємо:

 ,    або

 

 

 

Відповідь: -5, -1, 1, 5.

 

 

3.3. Нерівності.

  1. Розв’яжіть нерівність для всіх дійсних значень параметра а.

|x - 2|+|x + 3|≤ a

Розв’язання

Побудуємо графіки функцій  у=|x - 2|+|x + 3| і  у=а

При a<5 графіки не перетинаються, і ніяка частина у=|x - 2|+|x + 3|  не лежить нижче прямої, тож нерівність розв’язків не має

При a=5 графіки мають спільний відрізок який і є розв’язком

При a >5 графіки  перетинаються в двох точках, частина графіка у=|x - 2|+|x + 3|   лежить нижче прямої у = а

Знайдемо точки перетину у=|x - 2|+|x + 3| і у=а

При а>5 графіки перетинаються в точках х1= і х2=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Відповідь: якщо a<5                

якщо = 5,            

якщо

 

  1. Розв’яжіть нерівність для всіх дійсних значень параметра а.

Розв’язання

Розглянемо дві функції  f(x)= і   g(x)=

Графік f(x)= - півколо в додатній площині з радіусом 1;

графік  g(x)= – пряма: k =-1 , що рухається вздовж осей координат. Розв’язками нерівності будуть абсциси тих точок півкола, які лежать нижче прямої.

Побудуємо графіки функцій. 

Очевидно, що при  a≤-1 пряма не перетинає півколо, значить нерівність розв’язків не має.

Якщо , то пряма перетинає півколо в одній точці, тож розв’язком нерівності буде один інтервал.

Якщо то пряма перетинає півколо в двох точках, розв’язок нерівності – 2 інтервали.

Знайдемо координати точок перетину прямої з півколом. Для цього розв’яжемо рівняння:

Пряма приймає положення дотичної коли

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Відповідь: якщо

якщо

якщо

якщо

якщо

 

  1. Знайдіть усі значення параметра а при яких система  має єдиний розв’язок.

 

 

Розв’язання

Перепишемо систему в виді:

Розглянемо систему координат Xoa. Побудуємо в цій системі графіки функцій та

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язком системи нерівностей є заштрихована частина графіку.

Система матиме один розв’язок лише при а = 0 та а = -1.

Відповідь: 0; 1.

 

 

 

  1. Знайдіть усі значення параметра а при яких множина розв’язків системи є відрізок вказаної довжини. (l = 1)

 

 

Розв’язання

Перепишемо систему в виді:

           

 

Розглянемо систему координат Xoa. Побудуємо в цій системі графіки функцій

    та 

 

Може бути два випадки, коли розв’язком системи є відрізок довжиною 1. Знайдемо при якому значенню параметра це відбувається.

І випадок. Знайдемо корені рівняння:

 

Шуканий випадок буде при умові:

ІІ випадок. Знайдемо корені рівняння:

Виберемо менший корінь:
 

Шуканий випадок буде при умові:

Відповідь: 1, .

 

 

5) Розв’яжіть нерівність для всіх дійсних значень параметра а.

 

Розв’язання

Розглянемо дві функції та .

Побудуємо їх графіки в одній системі координат.

Розглянемо такі випадки:

І. Якщо то

ІІ. Якщо то графік має вигляд:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пряма () завжди буде проходити нижче графіка . Тож розв’язками нерівності буде область визначення функції . Тобто

якщо

ІІІ. Якщо то графік має такий вигляд:

 

 

 

Так як кутові коефіцієнти прямої і асимптоти однакові, пряма буде перетинати графік в одній точці . Знайдемо х1.

 


Тобто, якщо

якщо

Відповідь: якщо то

якщо ;

якщо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Використана література:

 

  1. Г.В.Апостолова, В.В.Ясінський Перші зустрічі з параметром. - К.: Факт, 2006. – 324с.
  2. В.В. Ясінський Математика. Навчальний посібник для слухачів ІДП НТУУ «КПІ».-К.: ІДП НТУУ «КПІ», 2014. – 472с.
  3. Є.П.Нелін Алгебра і початки аналізу. Підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів. Профільний рівень. – Х. : Гімназія, 2010. – 416с.

1

 

Середня оцінка розробки
Структурованість
5.0
Оригінальність викладу
5.0
Відповідність темі
5.0
Загальна:
5.0
Всього відгуків: 2
Оцінки та відгуки
  1. Станкович Тетяна
    Загальна:
    5.0
    Структурованість
    5.0
    Оригінальність викладу
    5.0
    Відповідність темі
    5.0
  2. Кушнір Наталя Віталіївна
    Загальна:
    5.0
    Структурованість
    5.0
    Оригінальність викладу
    5.0
    Відповідність темі
    5.0
docx
Додано
17 лютого 2020
Переглядів
6023
Оцінка розробки
5.0 (2 відгука)
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку