позакласний захід "Математика і мистецтво"

„МАТЕМАТИКА ТА МИСТЕЦТВО”

 

 

 

Епіграф:

Что есть красота

И почему её обожествляют люди?

Сосуд она, в котором пустота,

Или огонь, мерцающий в сосуде?

      Н. Заболоцкий

 

Будь-яка наука могла б пишатися такою історією, як історія математики, тому що вона менш за все історія помилок.

Учитель. Людина багатогранна. У кожного з вас є якийсь дарунок від природи. Хтось складає вірші, хтось співає, хтось малює, хтось уміє робити все це відразу. Чи допомагає вам у цьому математика?

Ви над цим навіть не задумуєтеся.

Математика і скульптура, математика і музика, математика і живопис. Що в них спільного. На перший погляд, нічого. А якщо подивитися уважніше! Науку і мистецтво поєднує прагнення до пізнання і творчості. Вони належать до людської цивілізації, а тому взаємозбагачують одне одного.

„Математика і мистецтво” так звучить тема сьогоднішньої конференції.

 

Математика і скульптура

– Ми в незвичайній портретній галереї. У ній можна побачити найдавніших предків людини, що жили на землі сотні тисяч років тому. Ось воїни з держави Урарту. Ось Київський князь Ярослав Мудрий, Іван Грізний, „Буй Тур” – князь  Всеволод Святославович, ось флотоводець Ушаков Федір Федорович.

 

 

Усі ці портрети створені М. М. Герасимовим, скульптором-антропологом. Чи можна створити документальний портрет людини, що жила колись дуже давно. „Можна, якщо подивитися на портрет”, – відповісте ви. Але ж не всім портретам варто довіряти. Художники часто прикрашали свої натури або стилізували портрети. На початку ХХ століття у вчених виникла думка: а чи не можна використовувати череп для відновлення обличчя? При цьому треба знати, як зв’язані м’язи і кістки, як залежить зовнішній вигляд людини від її скелета. Те, що такі залежності існують, підтверджують роботи вчених-антропологів, які вивчають череп і обличчя. Вони брали достовірний портрет і вписували в нього за допомогою рентгенівського зображення контури черепа у відповідному ракурсі і масштабі. Так була вирішена суперечка про те, який із двох черепів належить Рафаелю.

Герасимов починав з вивчення анатомії. Багаторічна праця, тисячі обмірювань, систематизації зв’язків між формою окремих частин  обличчя і рельєфів черепа. Чоловічі, жіночі, дитячі, старечі черепи. Складання таблиць, фотографії, рентгенівські знімки і знову зіставлення, порівняння, складання графічних рівнянь – „чорнова робота в науці”, про яку казав академік Павлов і без якої неможливе  жодне відкриття, коротше кажучи, суцільна математика.

Ключ знайдено. Тепер ним можна скористатися і відкрити двері в невідоме. Потрібний контрольний дослід. Як перевірити себе? Потрібно відновити обличчя людини, що жила недавно, і зіставити його з фотографіями.

У 1937 році Герасимов одержав для контрольного досліду череп, знайдений у склері одного з цвинтарів м. Москви. Йому сказали, що людина ця жила близько 100 років тому. Череп сильно постраждав – розтріскалися зуби, була відсутня потилична кістка. Герасимов спочатку відновив череп, а потім і обличчя за допомогою воску, зробив зачіску, яку носили в минулому столітті. Це була жінка з високим чолом, широким овалом обличчя, великими красивими очима. Закінчивши роботу, Герасимов довідався, що відновив голову Марії Достоєвської – матері письменника Федора Достоєвського. Збережений прижиттєвий портрет і скульптурне зображення, виконане Герасимовим, показали, що це одна й та сама особа. Це була справжня перемога в науці.

 

Архітектура і математика

До архітектури за всіх часів висувалися три основних вимоги – доцільність, міцність і краса.

Ніхто не влаштовує собі спальню у високому залі, а для танцювального вечора не вибере кімнатку. Стадіон, театр, бібліотека відрізняються одне від одного і зовнішнім виглядом, і внутрішнім обладнанням. Доцільність – обов’язкова відповідність будівлі своєму призначенню.

Про міцність архітектурних споруджень добре сказано в казці про трьох поросят. Краса, гармонія в різні віки була різна. У Єгипті будували колонами. Прикладом цього може служити гіпостильний зал у Карнаку. Колони стоять близько, величезні, високі, а стеля, ніби тисне згори. У такому лісі добре лякати, а людині в ньому моторошно. Так само будували і греки. Балка, балка, а зверху перекриття. Такі будинки могли рости в довжину і ширину. Йшли часи. Цивілізація просувалася на північ. Росли міста, і стала виникати потреба у високих будинках. Цю функцію взяла на себе арка-дуга.

Поставимо руки ліктями на стіл і переплетемо пальці обох рук, – вийде арка. Місце переплетення рук – замок арки. Натисніть підборіддям на нього – і відчуєте легкий біль у ліктях. Тиск по арці розподіляється в усі сторони і дозволяє будувати другий поверх. Крім того, ряди напівкруглих арок дозволяють створити напівкруглий звід. Прикладом такої будівлі може служити Колізей.

 

З початку свого існування такі споруди не мали даху, оскільки не була розв’язана головна математична задача – як покрити круглий будинок. І от наприкінці 50-ч років професор Московського архітектурного інституту М. С. Тупо лев розробив конструкцію кристалічних куполів, що монтуються з рівносторонніх багатокутних пластин. Потім розробкою їх зайнявся доцент Горьківського інженерно-будівельного інституту Г. Н. Павлов

 

 

Галузь застосування куполів найрізноманітніша.

Їх можна використовувати і як виставкові павільйони, і як торговельні зали, кафе, ресторани, складські приміщення. А розміри приміщень є практично необмеженими. Так, у м. Істрі під Москвою побудований купол із прольотом у 237 метрів. У такий споруді-велетні можна розмістити цілий мікрорайон. Ідея використання кристалічних куполів дозволила архітекторам будувати гігантські 60-метрові круглі будівлі. таким, наприклад, є виставковий павільйон неподалік від Орлан до (Флорида).

Архітектура сьогодні рухається в двох напрямках: 1) конструювання необхідних форм на основі математичних методів; 2) запозичення цих форм у живої природи. Гаслом останнього є такий вислів: „Живі прототипи – ключ до нової архітектури біоніки”.

Архітектура другого напрямку втрачає поезію прямого кута, набуває легких округлих обрисів. Але всі ці обриси потрібно обчислити. На допомогу архітекторам приходить геометрія. Вона – посередник між природою й архітектурою. В Україні розробкою геометрії природних форм займаються в Київському інженерно-будівельному інституті. У чому ж секрет гармонії природних форм? Ми знаємо, що пряма – найкоротша відстань між двома точками, а куля – найкомпактніша геометрична форма. Чому ж у живій природі вони не зустрічаються? Проте вони зустрічаються у своїх похідних. Наповніть кульку водою  і покладіть на стіл – вона набуде форми морського їжака. Візьміть кілька однакових кульок, покладіть на рівну поверхню так, щоб вони торкалися одна одної, а зверху покладіть на них прозоре скло. Притисніть. Бачите? Кульки перетворилися в бджолині стільники.

Архітектурна біоніка розглядає усе: павутину павука, крило кажана – і виникають тенти на гнучку контурі; симетрію квітів, морських зірок, вітрильників – і виникає, наприклад, будинок оперного театру в Сіднеї (Австралія); розкроюють двостулкові раковини молюсків – й одержують купол виставкового залу в Ейндховені (Голландія). Форма крил метелика надихає архітекторів на створення аеропорту в Нью-Йорку.

Архітектурна біоніка має древні корені. Структурними закономірностями рослин цікавилися ще Леонардо да Вінчі. Рене Декарт на основі методу координат  досліджував криву, що одержала назву „пелюсток жасмину”, рівняння її x³+y³=3axy. У XVIII столітті італійський геометр Г.Гранді описав рівняннями сімейство квіток. Німецький математик Б. Хабеніт одержав рівняння листів, плодів, жуків.

Не можна обійтися без геометрії і при перевірці архітектурно-біонічної моделі на міцність. Тут необхідно визначити серединну поверхню природної оболонки. Неточно побудована серединна поверхня є поганою підставою для розрахунку її на міцність. Неабияке значення геометрія має й у художній обробці архітектурних деталей на зразок природних форм.

Архітектурна біоніка ще тільки розпочинає свій путь. Але вже сьогодні зрозуміло, що це перспективний напрямок в архітектурі.

 

Математика і живопис

Геометричні мотиви нерідко присутні в картинах великих живописців. Хоча художник часто діє інтуїтивно, а мистецтвознавець, досліджуючи мистецький витвір, зводить весь художній арсенал картини до спрощеної геометричної схеми. Найчастіше художні полотна створюються на основі двох геометричних конструкцій – „золотого перерізу” і спіралі Архімеда.

„Золотий переріз” часто пов’язують з ім’ям Піфагора. У його школі, як відомо, вивчалися властивості геометричних фігур. На підставі спостережень була виведена математична залежність гармонії

      АВ:СВ=СВ:АС.

Вони назвали це „золотим перерізом”. Архітектори стародавності знали, що від будівель, споруджених за таким типом, віє теплом і спокоєм. Навпаки, відчуття динаміки проявляється найсильніше в спіралі. Спіраллю називають плоску лінію, утворену точкою, що рухається, від початку координат за визначеним законом і рівномірно обертається навколо свого початку. Перед вами дві картини – „Корабельний гай” І. І. Шишкіна і „Побиття малят” Рафаеля Санті: одна дихає спокоєм і гармонією,  друга викликає тривогу, прагнення кудись сховатися.

 

 

Бачите сосну, що стоїть на передньому плані? Вона візуально поділяє картину на два фрагменти – яскраву залиту сонцем галявину і півтінь. Якщо виміряти картину, то виявиться, що довжина картини до сосни так відноситься до довжини всієї картини, як менша відстань до сосни до більшої. Якщо уважно дивитися далі, можна побачити, що кожний із фрагментів картини теж побудований за тим же принципом. Ось відкіля цей урівноважений характер.

За життя Рафаель не реалізував задум своєї картини до кінця, однак його ескіз був гравірований італійським графіком Маркантоніо Раймонді.

Подивіться на картину і знайдіть її центр, тобто найбільш драматичний епізод. Це жінка з лівої сторони, що закриває дитину своїм тілом від удару. Проведіть подумки лінію: руки, голова дитини, голова жінки, голова ката, нога жінки, ще одна жінка, що закриває дитину, і ще одна піднята для удару рука. Ось ця лінія й є „золота спіраль” Архімеда. Ми не знаємо, чи малював її Рафаель, але те, що її побачив Раймонді, – це достеменний факт.

Ще одним підтвердженням думки про те, що математика і живопис взаємозалежні, можуть служити роботи голландського художника Ешера. Моріс Ешер народився в родині інженера-гідравліка. У школі навчався не досить успішно. Як писав сам Ешер, він „...так жодного разу і не зміг одержати гарної оцінки з математики. Цікаво, що я зненацька  виявився зв’язаним з цією наукою”. У 1954 році в Амстердамі відбулася велика виставка Ешера, приурочена до Міжнародного математичного конгресу. Математики відразу визнали художника. З цього часу його малюнки стали ілюстрацією для багатьох математичних видань, тому що вони викликають асоціацію із загальними математичними ідеями. Платон вважав, що „абстрактні ідеї” живуть у світі чистих сутностей (простір, час). У цьому розумінні світ Ешера і світ математики – близькі сусіди. Подивіться на літографії „Бельведер” і „Водоспад”, „Піднімаючись – опускаюся”.

 У кожній з них щось не так. Кожен предмет існує в нашому світі окремо, сам по собі. Але сходи – вони усередині чи зовні? А вода – тече вниз чи увесь час по колу? А ченці як йдуть? Одні увесь час нагору, а інші увесь час униз по замкнутих сходах. кожен фрагмент картини реальний,  але в цілому вони складаються в неможливі об’єкти.

Відкіля брала математичні образи людина, що не була математиком? Два роки Ешер навчався в училищі архітектури і декоративного мистецтва. Потім була морська подорож по Середземномор’ю, під час якої художник зробив замальовки. Наприклад, в Іспанії Ешер старанно вивчав і замальовував орнаменти в Альгамбрі, виконані в період мавританського панування. У мистецтві орнаменту араби досягли досконалості, але вони зображували лише геометричні фігури. Ешера цікавило питання складання орнаментів, що використовують як повторювані елементи реальні зображення. Його орнаменти добре ілюструють ідею періодичності.

Ось лист Мебіуса – він практично не відрізняється від паперового кільця, але після обходу ви опиняєтеся на його протилежній стороні. Це об’єкт дослідження топології – розділу геометрії, що займається об’єктами, які локально улаштовані однаково, а глобально – по-різному. Час змінює фарби. Кожне століття, кожна епоха володіє якимсь своїм полем діяльності для високоталановитої людини. Піфагор був математиком, лікарем, музикантом, моралістом, політиком. Від Піфагора до Канта майже усі філософи були математиками. Різнобічною особистістю був філософ Декарт, що займався музикою, фехтуванням, астрономією, фізикою, математикою. Гаусс постійно перебував у пошуках між математикою і філологією. Гаусс постійно перебував у пошуках між математикою і філологією. Леонардо да Вінчі здавалося, що таємниця і глибина світу можуть бути відтворені тільки в живописі, у XVIII столітті вважали, що тільки в музиці, у XIX – тільки в літературі, у ХХ – тільки в наці. Однак є універсальні люди, здатні проявити свій талант відразу в декількох видах діяльності.

За минуле ХХ століття людством накопичений значний досвід наукового прогнозування близьких і віддалених подій. Тому художники все частіше звертають свій погляд у бік у бік зухвалих фантазій. Мистецтвознавці усе впевненіше говорять про виникнення в наші дні самостійного, двоєдиного жанру наукової фантастики і космічного мистецтва. Зараз у цьому жанрі працюють десятки професіоналів: перші художники-космонавти О. Леонов і В. Джанібеков, професор математики МДУ А.Фоменко. Він сказав колись: „Живопис прийшов до мене як прекрасний каталізатор наукового пошуку, що допомагає зруйнувати первинний  зв’язок стандартних уявлень і в іншому – асоціативному – світі шукати ключ до розгадування наукових таємниць. У наці лише той, хто здатний фантазувати, хто не відкидає „з порога” парадоксальних ситуацій, може досягти результатів, відкрити несподівані закономірності. Люди, що уміють фантазувати, найчастіше і не підозрюють, яким чудовим дарунком наділила їх природа”.

Коли в березні – квітні 1982 року в Москві була відкрита виставка „Учені малюють”, преса писала: „За дуже рідкісним винятком художні цінності аматорами не створюються. На виставці „Учені малюють” таким винятком стали роботи А. Фоменка і М. Стерлігової.

Математик Фоменко представив графічні листи, що відрізняються високою оригінальністю і виразністю, фізик Стерлінгова – морські пейзажі і натюрморти. Роботи Фоменка виконані чорною тушшю на папері, Стерлінговою – так званою сухою кистю на полотні. І в тому, і в іншому випадку техніка дуже складна.

Виставка стала подією тому, що в наш час цікаво і важливо зрозуміти, як бачать світ і його красу вчені, авіаконструктори, космонавти – люди, що беруть активну участь у науково-технічній революції. Навіть на рівні аматорства за наявності відомої художньої культури можна написати картини, що виражають це бачення. Але для створення справжніх художніх творів необхідно, як і в науці, набагато більше. Дилетанти не спроможні нічого зробити в мистецтві, як і в наці. Занадто серйозні ці заняття”.

 

Математика і музика

Англійський математик Д. Сильвестр писав: „Музика – математика почуттів, а математика – музика розуму”. Вперше математично описати звук узявся Піфагор. Його цілком можна назвати прадідом акустики.

Піфагор міркував приблизно так: ціла струна звучить як „до”, половина – „ре”, чверть – „мі”, восьма – „фа”. Звичайно, на сучасну гаму це не схожу, проте Піфагор пішов далі. Його октава стала виражатися так:

                       

                          до   ре  мі   фа соль ля  сі    до

Потім він увів ще кілька додаткових звуків (бемолі, дієзи в сучасному розумінні). Послухав інтервали, виявилося, що краще за все звучить квінта (її співвідношення 3:2), і вивів формулу ряду звуків.

Маючи частоту ноти „до” – 384 герци, зараз неважко обчислити частоти інших звуків. Але все-таки піфагорова гама для сучасної музики виявилася неприйнятною. Послухайте хроматичну гаму. Правда, ви навіть не могли й уявити, що граєте на логарифмах?

Нехай „до” найнижчої октави робить 2n  коливань, другої – 2²n, третьої - 2³n,... n-ної – 2^mn. Позначимо всі ноти хроматичної гами номерами: до – 1, до-дієз – 2, ре – 3, ре-дієз – 4, соль – 7, ...до 12. Тоді кожен тон нульової гами має на 2 більше коливань, ніж попередній, а число коливань будь-якого тону можна виразити як...

Прологарифмуємо за основою 2...

Отже, клавіші – це логарифми коливань відповідних звуків. Спробуйте тепер сказати, що музика може жити без математики.

Математика до помагає майстрові будувати музичні інструменти. Найпростіша сопілка створюється так: на половині довжин свердлять дірочку – це „до”, на третині – „ре”, на чверті – „мі”.

А дзвіночки. Вік найстаріших валдайських дзвіночків, незмінних супутників Пушкіна в дорозі, 200 років. Коли вони з’явилися вперше, невідомо. Але їхні зображення є вже на картинах XVI століття. Спочатку вони качалися всі корпусом, а потів стали важчати: майстри зробили їх нерухомими, а розгойдувався тільки язичок. Як можна досягти тог, щоб дзвони мали красивий звук і той самий тон, незалежно від того, маленькі вони або великі? Наприкінці 70-ч років фахівці військової академії в Москві розкрили секрет красивого звуку. Дзвін повинен містити 81,94 % міді, 17, 21 % олова, 0,035 % сірки. Обчислили також, що в основі форми дзвона лежить рівнобедрений трикутник зі сторонами, що складають „золоту пропорцію”, а профіль дзвона добре описується логарифмічною спіраллю. За основу побудови приймається модуль, що дорівнює товщині його стінки в ударній частині. Ця система дозволяє створювати задані музичні інтервали. Є навіть ціла наука про дзвони, і називається вона компанологія.

„Музика – це несвідома вправа душі в арифметиці”. Так вважав німецький філософ, математик і фізик Готфрід Лейбніц. Якщо співвіднести ці слова з багатством музики в наш час, можна сміло стверджувати, що ми, самі того не усвідомлюючи, вправляємося в арифметиці щодня.

Піфагору приписують вираз „музика кришталевих сфер”. У його розумінні кожна планета звучить як якась нота. Наприклад, Сонце – „до”, Місяць – „фа”. Його погляди розділяв Йоганн Кеплер, що вбачав у світобудові оркестр Сонячної системи, яка нечутно для людини виконує світову симфонію. Можна сказати, що зараз фантазія Кеплер „реалізувалася” у пульсарах – п’ять з них несподівано звучать акордом.

Пульсари – нейтронні зірки, які швидко обертаються і блиск яких періодично міняється. У 1987 році відкрили милі секундні пульсари. Виявляється, їхня частота відповідає музичним звукам у межах клавіатури рояля. Пульсар 1937 + 21 співає мі-бемоль другої октави, а пульсар 1953 + 29 – мі малої октави.

Учитель. Підбиваючи підсумок нашої конференції, мені хочеться сказати словами Лева Болеславського:

Спеша из дома лесом любоваться,

Дыша цветами, думаю одно,

Что в каждом есть незримое богатство,

Но нами не измерено оно. Я слышал песнь турбины и ракеты,

И грай грачей, и соло соловья,

И, раз в моей душе осталось это,

Каким богатством обладаю я!

Вошли в меня березы и закаты,

И спутники, и давний разговор…

И первый снег, растаявший когда-то,

Лежит во мне, не тая до сих пор.

Все ждет меня с нетронутостью зыбкой,

А я не знаю, что молчит во мне.

(Еще никем не тронутая скрипка

Уже таит все песни на Земле).

Нет, что-то все-таки должно раскрыться,

Заговорить, запахнуть, заблистать!

Прошедшее должно не позабыться

И чем-то в жизни непременно стать.

И вздрогнут звуки «Аппассионат»,

Моим прозреньем ставшие навек,

И обернутся нежностью закаты,

И свежестью моею – первый снег.

И творчеством все это назовется,

Наполнит силой чувства и мечты,

И в  мир, преображенное, вернется,

Прибавив в нем добра и красоты.

Учитель. Тож нехай все те, про що ви почули сьогодні, залишиться у вашій пам'яті, щоб у потрібний момент стати у пригоді і допомогти усвідомити, зіставити, проаналізувати і зробити потрібний висновок.

Будьте різнобічно освіченими, проте нехай мовою істини для кожного з вас буде математика. Адже математика навчає чесності, формує уміння відрізняти доведене від здогадки, сприяє усвідомленню різних фактів і понять. Її цікавить не мета, а засоби. Тож користь від математики завжди маємо як нагороду за чесність.