Практичний порадник з алгебри "Готуємось до ДПА з математики в 9 класі"

 

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УРАЇНИ

ДАШИНСЬКА ФІЛІЯ ХОРОШІВСЬКОГО ЛІЦЕЮ №1 ЖИТОМИРСЬКОЇ ОБЛАСТІ

 

 

Готуємось до ДПА

з математики в 9 класі

 

Практичний порадник з алгебри

Схвалено на засіданні методичного об’єднання вчителів математики Хорошівського ліцею №1 Житомирської області

 

Дашинка

2020

Автор:

Андросович Інна Костянтинівна, учитель математики Дашинської філії Хорошівського ліцею №1, учитель вищої категорії.

Укладач:

Андросович Алла Вікторівна

Рецензент:

Мельник Катерина Миколаївна, учитель математики Хорошівського ліцею №2, учитель вищої категорії

Схвалено на засіданні методичного об’єднання вчителів математики, фізики, інформатики (протокол №3 від                     19.12.2019)

 

Андросович І. К. Готуємось до ДПА з математики в 9 класі. Практичний порадник з алгебри. – Дашинка: 2020. – 64 с.

 

 

У довіднику узагальнено і систематизовано теоретичний матеріал з курсу математики 5 – 6 класи. та алгебри 7 – 9 кл. До кожного теоретичного розділу подані задачі різного рівня складності з розв’язаннями. Це допоможе учню побачити застосування теоретичного матеріалу. Вдосконалити уміння та навички допоможуть тренувальні вправи, до яких дано відповіді.

 Довідник може бути використаний вчителем математики на уроках повторення у 9 кл., також буде корисний учням у підготовці до ДПА.

Зміст

	Вступ………………………………………………...	5
1.	Основи математики…………………………………	6
1.1	Класифікація чисел…………………………………	6
1.2	Подільність чисел…………………………………...	7
1.3	Модуль дійсного числа…………………………......	9
1.4	Звичайні дроби……………………………………...	9
1.5	Пропорція……………………………………………	10
1.6	Відсотки……………………………………………..	10
2.	Многочлен…………………………………………..	12
2.1	Дії з многочленами…………………………………	12
2.2	Формули скороченого множення……………….....	14
2.3	Способи розкладання многочленів на множники	16
3	Дробово-раціональні вирази……………………….	18
3.1	Дії з раціональними дробами………………………	18
4	Степінь з цілим показником. Властивості степеня………………………………………………	25
5	Функції……………………………………………..	25
5.1	Поняття функції…………………………………..	25
5.2	Деякі елементарні функції. Квадратична функція і її властивості………………………….......................	27
6	Рівняння……………………………………………..	31
6.1	Лінійні рівняння…………………………………….	31
6.2	Квадратні рівняння…………………………………	33
6.3	Дробово-раціональні рівняння…………………......	37
7	Системи рівнянь і способи їх розв’язання………...	40
8	Квадратний корінь та його властивості…………...	47
9	Нерівності і їх системи……………………………..	51
9.1	Нерівності. Властивості нерівностей……………...	51
9.2	Числові проміжки…………………………………...	52
9.3	Нерівності ІІ степеня……………………………….	52
9.4	Системи нерівностей із однією змінною………….	57
10	Прогресії…………………………………………….	60
10.1	Арифметична прогресія…………………………….	60
10.2	Геометрична прогресія……………………………..	62
	Список використаних джерел……………………...	64

 

Вступ

Процес підготовки до ДПА сприяє підвищенню якості освіти і запобігає зниженню рівня успішності учня.

Основними складовими готовності учнів до ДПА є знання фактичного матеріалу з основних тем і розділів шкільного курсу з математики, сформованість основних знань, умінь, навичок.

Готувати учнів до ДПА потрібно під час навчального процесу. Бажано вносити зміст уроків у 9 кл. елементи повторення теоретичного і практичного матеріалу.

Пропонований посібник має на меті допомогти вчителеві ефективно організувати повторення навчального матеріалу, а учням удосконалити уміння і навички перед здачею ДПА.

1. Основи математики
   1.        Класифікація чисел

	Означення	Приклад
Дійсні числа, позначаються R	Натуральні числа – це числа, які використовуються для лічби предметів. N – позначення множини натуральних чисел	1; 2; 3; ….. 9; 10; 11; 12;…
	Цілі числа – це натуральні числа, їм протилежні і число 0. Z – позначення цілих чисел	… -3; -2;-1; 0; 1; 2; 3 …
	Раціональні числа – це числа, які можна подати у вигляді , де нескінченних періодичних десяткових дробів. Q – позначається множина  раціональних чисел
	Ірраціональні числа – це числа, які не можна подати у вигляді : це нескінченні неперіодичні десяткові дроби.

 

2.        Подільність чисел

Означення	Приклади
Дільником числа називається таке число, на яке ділиться дане число.   НСД чисел називається найбільше число, на яке ділиться кожне з даних чисел.   Алгоритм знаходження НСД:     Розкласти числа на прості множники;     Знайти добуток спільних простих множників даних чисел	8 дільник 16, тому що 168             НСД (44;132)   44=11 132= НСД (44;132)=
Кратним числа називається таке число, яке ділиться на дане число.   НСК називається найменше число, яке ділиться на кожне з даних чисел.   Алгоритм знаходження НСК:     Розкласти числа на прості множники     Записати розклад одного з даних чисел     Дописати до цього розкладу такі множники із розкладу іншого числа, які не увійшли до добутку     Обчислити отриманий добуток	45 кратне 5, тому що 455             НСК(95;114) 95=5∙19  114=2∙3∙19     НСК(95;114)=2∙3∙19∙5==570

 

Ознаки подільності

Число ділиться на	2	Якщо закінчується парною цифрою (0;2;4;6;8)
	5	Якщо закінчується 0 або 5
	10	Якщо закінчується нулем
	3	Якщо сума цифр, з яких складається число, ділиться на 3
	9	Якщо сума цифр, з яких складається число, ділиться на 9
	4	Якщо число, складене з двох останніх цифр, ділиться на 4
	8	Якщо число, складене з трьох останніх цифр, ділиться на 8
	25	Якщо число, складене з двох останніх цифр, ділиться на 25

 

 

 

 

 

3.        Модуль дійсного числа

Означення	Приклад
	|3,2|=3,2 |-7|=7 |0|=0

 

Геометрична інтерпретація модуля

 

           │   ←  |a| →      │    

 

           a                         0                      x

 

 

4. Звичайні дроби

Правила	Приклади
Основна властивість дробу
Значення дробу не зміниться, якщо чисельник і знаменник дробу помножити на одне й те ж саме число (вираз), відмінне від 0	;
Скоротити дріб – означає поділити чисельник і знаменник дробу на спільний дільник	;
Додавання і віднімання дробів
Множення дробів
Ділення дробів

 

 

5.   Пропорції

Правила	Приклади
Пропорція – це рівність двох відношень	15÷3=35÷7
Основна властивість пропорції: Добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх її членів	15∙7=3∙35

 

 

6.        Відсотки

Відсоток – це одна сота частина. 1%=

Знаходження відсотків від числа: p% від числа a дорівнює .

Приклад. 18% від числа 75 дорівнює

Знаходження числа за його відсотком: якщо p% числа дорівнює b, то це число дорівнює .

Приклад. Знайти число 20% якого дорівнює 25.

Знаходження відсоткового відношення: число a становить від числа b.

Приклад. Скільки відсотків становить 18 від 72?

Збільшення на p відсотків: якщо число a збільшити на p%, то одержимо число .

Приклад. Якщо число 125 збільшити на 40%, то одержимо 125∙(1+0,4)=125∙1,4=175

 

2. Многочлен

 

Многочлен – це сума одночленів.

 

2.1.Дії з многочленами

 

Означення	Приклади
Додавання і віднімання многочленів
При додаванні і відніманні многочленів користуються правилами розкриття дужок.	(7х2 – 5х + 3) + (3х2 – 5) = 7х2 – 5х + + 3 + 3х2 – 5 = =10х2 – 5х – 2; (7х2 – 5х + 3) - (3х2 – 5) = 7х2 – 5х + + 3 - 3х2 + 5 = =4х2 – 5х + 8
Множення одночлена на многочлен
Щоб помножити одночлен на многочлен, потрібно одночлен помножити на кожний член многочлена й одержані добутки додати.	3а2(2аb + 4b3) = = 6a3b + 12a2b3
Множення многочлена на многочлен
Щоб помножити многочлен на многочлен, потрібно кожен член одного многочлена помножити на кожний член іншого многочлена й одержані добутки додати.	(3x2 – 1)(2x + 5) = 6x3 + 15x2 – 2x – 5

 

Розв’язуємо разом

1. Спростити вираз:

Розв’язання.

 

2. Доведіть тотожність:

Доведення. Для доведення зручно спростити як ліву, так і праву частини рівності та порівняти результат.

Тотожними перетвореннями ліву й праву частини рівності звели до одного й того самого вигляду , тому дана рівність є тотожністю.

 

3. Розв’язати рівняння:

Розв’язання.

 

Тренувальні вправи

1. Спростити вираз.
   1.                 

Відповідь.

2.           

Відповідь.

3.           

Відповідь. -15

 

2. Знайдіть корінь рівняння.
   1.            

Відповідь. -6

2.             

Відповідь. 0

 

2. . Формули скороченого множення

 

Формула	Приклад

 

Розв’язуємо разом

1. Спростити вираз.
   1.  

Розв’язання.

2.  

Розв’язання.

 

2. Розв’яжіть рівняння.

Розв’язання.

 

3. Обчисліть зручним способом.

Розв’язання.

 

Тренувальні вправи

1. Спростити вираз.
   1.      

Відповідь.

2.   

 Відповідь.

3.   

Bідповідь.

 

2. Розв’яжіть рівняння.
   1.  

Bідповідь. -1,6

2.    

Відповідь. 2

 

 

 

 

3.        Способи розкладання многочленів

на множники

 

Спосіб	Приклад
Винесення спільного множника за дужки
Спосіб групування
Використання формул скороченого множення
Застосування кількох способів розкладання на множники

 

Розв’язуємо разом

1. Розкласти на множники.
   1.  

Розв’язання.

2.  

Розв’язання.

3.         

Розв’язання.

4.  

Розв’язання.

 

Тренувальні вправи

1. Запишіть вираз у вигляді добутку.
   1.       

Bідповідь. (

2.            

Bідповідь.

3.                  

Bідповідь. 3(

4.            

Bідповідь.

 

2. Порівняйте з нулем значення виразу.
   1.                   

Bідповідь.

2.                     

Bідповідь.

 

3. Доведіть, що при будь-якому значенні змінної вираз набуває лише додатних значень. Якого найменшого значення набуває цей вирах і при якому значенні .

Відповідь. Найменше значення виразу дорівнює 4 при

4. Дробово-раціональні вирази

1. Дії з раціональними дробами

 

Алгоритм	Приклад
Скорочення дробів
Розкласти на множники чисельник і знаменник дробу.
Знайти спільний множник чисельника і знаменника.
Поділити чисельник і знаменник дробу на спільний множник.	скоротимо на і одержимо
Додавання і віднімання дробів
При додаванні (відніманні) дробів з різними знаменниками треба: звести до спільного знаменника; виконати додавання (віднімання) дробів з однаковими знаменниками; якщо можливо, скоротити.
Множення дробів
, ,
Ділення дробів
, , ,

 

Розв’язуємо разом

1. Скоротити дріб.
   1.  
      Розв’язання.
   2. 
      Розв’язання.

За формулою , де – корені квадратного тричлена розкладемо чисельник на множники

,

 

2. Спростити вираз.
   1.  
      Розв’язання. 

=

2.  
   Розв’язання.

 ;

 

3. 
   Розв’язання.

 

;

 

 

Тренувальні вправи

1. Довести, що при всіх допустимих значеннях змінної, значення виразу не залежить від значення a.
    

Відповідь. Значення виразу дорівнює 0. Отже, не залежить від значення а.

 

2. Доведіть тотожність.
    

 

3. Спростити вираз.
   1. 
      Відповідь. .
   2. 
      Відповідь. .

 

4. Степінь з цілим показником. Властивості степеня

 

Означення	Приклади
Степеня з натуральним показником
Степеня с цілим показником. Якщо , то
Властивості
	;
	;
	;
	;
	;

 

Розв’язуємо разом

1. Відомо, що . Знайти .

Розв’язання. Так як при множенні степенів з однаковими основами показники додаються, то                               

.

 

2. Спростіть вираз.

Розв’язання.

3. Скоротіть дріб. 

Розв’язання.

 

4. Виконайте піднесення до степеня.

Розв’язання.

 

5. Подайте у вигляді дробу вираз:

Розв’язання. 

 

6. Знайдіть добуток:

Розв’язання.

 

7. Виконайте ділення.

Розв’язання.

 

 

 

 

 

Тренувальні вправи

 

1. Скоротіть дріб:
   1.    Bідповідь. 
   2.      Bідповідь.
   3.     Bідповідь.

 

2. Виконайте піднесення до степеня.
   1.     Bідповідь.
   2.     Bідповідь.
   3.      Bідповідь.

 

3. Виконайте множення.
   1.      Bідповідь.
   2.        Bідповідь.

 

4. Подайте у вигляді степеня вираз           

Bідповідь.

5. Функції

5.1 Поняття функції

Функцією називається залежність змінної від змінної , при якій кожному значенню відповідає єдине значення .

Область визначення функції –ті значення, яких може приймати змінна (аргумент).

Множина значень функції ті значення, яких може приймати змінна .

 

 

 

 

x - аргумент                         y – значення функції

– область визначення функції    – множина значень

 

 

Розв’язуємо разом

1. Яка область визначення функції:
   1. 

Розв’язання. Область визначення складається з чисел, при яких . Знайдемо, при яких знаменник не перетворить в 0.

– всі дійсні числа, крім 0 і 3.

2. 

Розв’язання. Дана функція визначена, якщо підкореневій вираз додатний, тобто

 

2. Знайдіть область значень функції .

Розв’язання. Область значень функції – це ті значення, яких може набувати змінна . . Отже, .

 

Тренувальні вправи

1. При яких значеннях визначена функція.
   1.     

Bідповідь. всі числа, крім -2 і 2

2.     

Bідповідь. всі дійсні числа

3.      

Bідповідь.

4.       

Bідповідь.

5.      

Bідповідь. - всі числа, крім 3

 

2. Знайдіть область значень функції.
   1.       

Bідповідь.

2.          

Bідповідь.

 

 

5.2. Деякі елементарні функції. Властивості квадратичної функції

1. Лінійна:
2. Обернено пропорційна
3. арифметичний квадратний корінь
4. 

Властивості квадратичної функції:

1. Область визначення – (-∞;+∞)
2. Область значень: ;
3. Графік – парабола з вершиною у точці ,

де

– вітки направлені вгору

– вітки направлені вниз

4. Нулі функції: корені рівняння
5. Зростає на проміжку:

6. Спадає на проміжку:

7. Найбільше значення функції:

– не існує

 

8. Найменше значення функції:

-

– не існує

 

Розв’язуємо разом

1.           Пряма проходить через точки A(4;1) і     B(-6;-4). Знайти значення k і l.

Розв’язання. Оскільки пряма проходить через точки A(4;1) і B(-6;-4), то їх координати задовольняють рівняння прямої. Підставимо в рівняння замість абсцису кожної точки, а замість – ординату кожної точки і складемо систему рівнянь маємо:

Розв’яжемо її.

2. Яка абсциса точки перетину графіків функцій

і ?

Розв’язання. Абсциса точки перетину функцій і є коренем  рівняння .

Розв’яжемо одержане рівняння:

 

3. Не виконуючи побудови знайти у яких точках перетинає осі координат графік функції .

Розв’язання. Точка перетину графіка функції з віссю абсцис належить цій осі, отже, її ордината дорівнює нулю. Тому для пошуку точки достатньо у формулу, якою задано функцію, підставити значення і розв’язати одержане рівняння.

(200;0) – точка перетину з віссю x

Точка перетину графіка з віссю ординат належить цій осі, отже, абсциса такої точки має дорівнювати нулю. Тому для знаходження точки достатньо у формулу, якою задано функцію, підставити значення , та виконати обчислення.

(0;-40) – точка перетину з віссю у.

 

4. Знайти нулі функції .

Розв’язання. Нулі функції – це значення , при яких . Маємо рівняння

звідси

5. Довести, що функція не має нулів.

Розв’язання. Оскільки  при будь-якому значенні , то , тобто не існує значення при яких то . Отже, функція не має нулів.

 

Тренувальні вправи

1. Знайдіть координати точок перетину параболи            з віссю абсцис.

Відповідь. (0;0)   (8;0)

 

2. Знайдіть проміжок зростання функції                                

Відповідь. (4,5;0)

 

3. Знайдіть найбільше значення функції .

Відповідь. 25

 

4. Побудуйте графік функції . Користуючись побудованим графіком, знайдіть проміжок, на якому функція зростає, і проміжок, на якому функція спадає.

Відповідь. Зростає, якщо . Спадає, якщо

 

5. Побудуйте графік функції . Користуючись графіком знайдіть:
   1.  Множину значень функції.

Відповідь.

2.  При яких значеннях функція набуває від’ємних значень.

Bідповідь.

6. Рівняння
   1.   Лінійне рівняння

Лінійне рівняння – це рівняння, що має вигляд , де числа, – змінна.

Розв’язання багатьох рівнянь є зведенням цих рівнянь до лінійних шляхом рівносильних перетворень за властивостями рівнянь.

Алгоритм	Приклад
Позбутися знаменників, якщо вони є. Розкрити дужки, якщо вони Перенести члени, що місять змінну у ліву частину рівняння. Числа – у праву. Змінивши знаки на протилежні. Звести подібні члени Розв’язати отримане лінійне рівняння.

 

Розв’язуємо разом

1. Розв’язати рівняння
   1. 

Розв’язання.

 

Розв’язків немає.

2. 

Розв’язання.

 

- будь-яке число

3.  

Розв’язання.    /∙6

 

Тренувальні вправи

1. Знайдіть корінь рівняння.
   1.        

Bідповідь.

2.        

Відповідь. 

3.          

Bідповідь.

4.       

Bідповідь. 3

5.      

Bідповідь. 6

6.    

Відповідь. -2,5

2.   Квадратні рівняння

Означення	Приклад
Рівняння виду
Неповні квадратні рівняння
Якщо в квадратному рівнянні хоч один з коефіцієнтів дорівнює 0, то дане рівняння називається неповним
Розв’язання неповних квадратних рівнянь
Один розв’язок
Спосіб розв’язання: розкласти на множники способом винесення спільного множника за дужки. Два розв’язки.
, якщо коренів немає, якщо	коренів немає
Для розв’язання квадратного рівняння знаходимо дискримінант -
Дійсних коренів немає
Якщо , то квадратне рівняння називається зведеним. У загальному вигляді прийнято записувати так:
Якщо корені зведеного рівняння, то

 

Розв’язуємо разом

1. Розкласти квадратний тричлен на множники.
   1. 

Розв’язання. Формула розкладання на множники квадратного тричлена:

,

де - корені квадратного тричлена

2. 

Розв’язання.

 

2. Спростити дріб.
   1. 

Розв’язання. Розкладемо чисельник на множники.

, тоді

 

3. Розв’язати задачу.

Знайти площу прямокутника, якщо сума його двох непаралельних сторін дорівнює 14см, а діагональ дорівнює 10см.

Розв’язання.

прямокутний, тому складемо рівняння застосувавши теорему Піфагора

.

 

     А B

 

 

      D                                                    C                   

 

Розв’яжемо його.

     /÷2

Отже, , або

.

 

Тренувальні вправи

1. Знайти корінь рівняння.
   1.       

Відповідь. 0,2

2.    

Відповідь. 3;

3.    

Відповідь. 7; -4

 

2. Розкласти квадратний тричлен на множники.
   1.    

Відповідь.

2.   

Відповідь.

 

3. Скоротити дріб.
   1.      

Відповідь.

2.     

Відповідь.

3.     

Відповідь.

 

4. Розкладіть на множники многочлен.
   1.     

Bідповідь.

2.      

Bідповідь.

 

3.    Дробово-раціональні рівняння

Означення	Приклад
Раціональне рівняння, що містить дробовий вираз, називають дробово-раціональним рівнянням
Алгоритм розв’язання
Перенести всі вирази в ліву частину і звести до спільного знаменника Додати всі вирази Замінити рівняння рівносильною системою Розв’язуємо систему Записати відповідь	Відповідь: 2

 

Розв’язуємо разом

1. Розв’язати задачу. Із села на станцію вийшов пішохід. Через 36 хв після нього з цього села виїхав у тому самому напрямку велосипедист, який наздогнав пішохода на відстані 6 км від села. Знайти швидкість пішохода, якщо вона на 9 км/год менша від швидкості велосипедиста.

Розв’язання. Позначимо км/год – швидкість пішохода, тоді      км/год швидкість велосипедиста. год – час руху пішохода, год – час руху велосипедиста.

Складаємо і розв’язуємо рівняння

– умову задачі не задовольняє. Отже, швидкість пішохода 6 км/год

Відповідь. 6 км/год

 

 

 

Тренувальні вправи

1. Розв’язати рівняння.
   1.     

Bідповідь. -2

2.        

Bідповідь. 2,5

3.       

Bідповідь. -1

4.     

Bідповідь. 1,5

5.     

Bідповідь. 9

 

2. Розв’язати задачу. Катер пройшов 10 км за течією річки і 9 км по озеру, витративши на весь шлях одну годину. Знайдіть власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки становить 2 км/год.

Відповідь. 18 км/год.

7. Системи рівнянь

і способи їх розв’язання

Означення	Приклад
Системою рівнянь називають два або декілька рівнянь, у яких потрібно знайти всі спільні розв’язки.
Способи розв’язання систем
Спосіб підстановки       Виразимо з другого рівняння змінну через x.   Підставимо одержаний вираз для y у перше рівняння. Отримаємо рівняння з одним невідомим Розв’яжемо його.           Обчислимо відповідне значення у.	5x+3+6x=-19 11x=-19-3 11x=-22 x=-2 y=-1-2∙(-2)=3 Відповідь (-2; 3)
Спосіб додавання Спосіб додавання застосовують якщо коефіцієнти при одній із змінних  - протилежні числах.     Помножимо обидві частини рівнянь на такі числа, щоб коефіцієнт при одній зі змінних стали протилежними числами     Додаємо почленно рівняння системи     Розв’яжемо одержане рівняння з однією змінною     Підставимо знайдете значення змінної в одне з рівнянь даної системи і знайдемо відповідне їй значення іншої змінної.	-16y=48 y=-3   5x-3∙3=1 5x=10 x=2   Відповідь: (2;-3)
Спосіб заміни змінних       Введемо заміну.      Одержали систему лінійних рівнянь і розв’язуємо її способом додавання.         Повертаємось до заміни і знаходимо x і y	Відповідь: (4; 2) (-4; -2)

 

Розв’язуємо разом

1. Розв’язати систему
   1. 

З рівняння I степеню виражаємо змінну x через y і підставляємо у II рівняння

3y² – 2y² – y – 2 = 0

y² – y – 2=0

x₁ = 2 ∙ 2+ 1 = 5

x₂ = 2 ∙ (-1)+ 1 = -1

Відповідь. (5; 2) (-1; -1)

2. 

Розв’язання. Позначаємо 

Розв’яжемо одержане рівняння з одним невідомим.

Тоді повертаємося до введеного позначення.

(3;2)

(-1;-3)        

Відповідь. (3;2) (-1;-3)

 

2. Розв’язати задачу.

Двоє робітників можуть виконати завдання, працюючи разом, за 2 дні. За скільки днів може виконати це завдання кожний робітник, працюючи самостійно, якщо одному з них для виконання    завдання треба на 3 дні менше, ніж іншому для виконання  завдання?

Розв’язання.

Позначимо, що за днів може виконати завдання І робітник, працюючи окремо, за днів – ІІ робітник. Тоді І робітник за один день виконає  частину завдання, ІІ  -  . Працюючи разом вони за один день виконають  завдання.

Складемо рівняння .

(днів) – час, необхідний для виконання

   завдання І робітником

(днів)  - час, необхідний для виконання

  завдання ІІ робітником

Складаємо друге рівняння .

Система:

Розв’язуємо її.

Розв’яжемо рівняння з одним невідомим.

Знайдемо відповідні значення .

(3;6) (-12;)

Розв’язок (-12;) умову задачі не задовольняє. Тому за 3 дні може виконати завдання І робітник, працюючи окремо, за 6 днів – другий.

Відповідь. 3 дні, 6 днів.

 

Тренувальні вправи

1. Розв’язати систему
   1.               Відповідь. (2;1)

1.2                 Відповідь. (-12;3)

1.3               Відповідь. (-1;-8) (5;4)

1.4                  Відповідь. (2;4)  (-14;20)

1.5               Відповідь. (3;4) (4;2)

1.6               Відповідь. (1;4)  (4;1)

1.7    Відповідь. (-2;-1) (5;) (-5;-) (2;1)

 

2. Розв’язати задачу.

 Із села А в село В, відстань між якими дорівнює 24 км, виїхав перший велосипедист. Через 15 хвилин після цього із села В в село А виїхав другий велосипедист. Вони зустрілися через 1 год після виїзду першого велосипедиста. Знайдіть швидкість кожного велосипедиста, якщо перший з них проїжджає за 2 години на 6 км менше, ніж другий за 3 години.

 Відповідь. 15 км/год, 12 км/год

 

8. Квадратні корені та їх властивості. Перетворення виразів з коренями

Арифметичним квадратним коренем з числа називають невід’ємне число, квадрат якого дорівнює . Вираз має зміст якщо .

Властивості	Приклади
Якщо , то
Якщо , то
Для будь-якого значення  правильна рівність	=
Винесення множника з-під знака кореня: , де
Внесення множника під знак кореня: , якщо ; , якщо	=

 

Розв’язуємо разом

1. Спростити вираз.

1.1

Розв’язання.

2. 

Розв’язання.

3. 

Розв’язання. , оскільки

4.  

Розв’язання.

 

2. Обчисліть:

Розв’язання.

3. Скоротити дріб:

Розв’язання. 

 

Тренувальні вправи

1. Спростити вираз.
   1.          

Відповідь. ()

2.        

Відповідь. ()

 

2. Обчислити.
   1.      

Відповідь. 9

2.    

Відповідь. -5

3.                  

Відповідь.

4.                         

Відповідь. 2

 

3. Скоротити дріб.
   1.         

Відповідь.

2.       

Відповідь. 

3.      

Відповідь.

 

4. Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу.
   1.         

Відповідь.

2.     

Відповідь.

9. Нерівності і їх системи
   1.        Нерівності. Властивості нерівностей

Означення	Приклад
– такі вирази називаються нерівностями	9 < 12, -3 > -7, 8 ≥ 8
Властивості
Якщо , то	5 > 3; 3 > 2, то 5 > 2
Якщо , то	9 > 8, то 8 < 9
Якщо , то	9 > 11, то 9+2 > 11+2
Якщо , то Якщо , то	8 > 5, то 8∙2 > 5∙2 7 > 4, то 7∙(-2) < 4∙(-2)
Якщо , то	(3 > 2) і (6 > 5), то 9 >7
Якщо , , то	8 > 5, то
Якщо , то	, то

 

 

 

 

2.   Числові проміжки

Запис за допомогою нерівності

Геометрична інтерпретація

Позначення

 

3. Нерівності ІІ степеня

Нерівності другого степеня з однією змінною – це нерівності, що мають вигляд або

Розв’язування нерівностей ІІ степеня з однією змінною можна розглядати як знаходження проміжків, на яких відповідна квадратна функція набуває додатних або від’ємних (недодатних або невід’ємних) значень.

При розв’язанні нерівностей використовують властивості нерівностей.

 

 

 

Розв’язуємо разом

1. Розв’язати нерівність.
   1.  

Розв’язання.

2. 

Розв’язання. Помножимо обидві частини нерівності на 36 – найменший спільний знаменник дробів.

3.         

Розв’язання.

Оскільки чисельник дробу 5 > 0, то нерівність правильна при .

(2; ∞)

4.  

Розв’язання.

1;1,5)

5.         

Розв’язання.

               або                   

                                        

                                               

                                                               

                                              

6.  

Розв’язання.  Зведемо дану нерівність до виду

Розглянемо функцію .

Область визначення функції , Графіком функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору. Знайдемо корені рівняння.

абсциси точок перетину параболи з віссю x

 

 

         +              -                +          x

                     -4                  6

 

 

 

2.                Знайти область визначення функції:

Розв’язання. Для знаходження області визначення розв’яжемо нерівність

вітки параболи напрямлені вгору

 

 

         +              -               +          x 

                          3                        

 

 

 

Тренувальні вправи

1. Розв’язати нерівність.
   1.         

Bідповідь.

2.     

Bідповідь. (-∞; 3,5)

3.         

Bідповідь. [0,5; 2]

4.       

Bідповідь.

5.                    

Bідповідь. (4; ∞)

 

2. Знайти найбільший цілий розв’язок нерівності:

      

Bідповідь. 0

 

3. При яких значеннях рівняння не має коренів?

Відповідь. (-12;12)

 

4. Знайти область визначення функції   .

Bідповідь.

 

5. Доведіть, що при всіх дійсних значеннях виконується нерівність .

 

 

 

4.   Системи нерівностей з однією змінною

 

Означення	Приклади
Якщо необхідно знайти спільні розв’язки двох чи більше нерівностей з однією змінною, це означає, що треба розв’язати систему двох чи більше нерівностей з однією змінною.

 

Розв’язуємо разом

1. Розв’язати систему нерівностей:

Розв’язання.

 

2. Скільки цілих розв’язків має система нерівностей:

Розв’язання.

Цілі числа з проміжку це 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 – сім чисел.

 

3. Розв’язати нерівність.

Розв’язання цієї системи звести до розв’язання сукупності двох систем.

                    

                        

                          

 

Розв’язків немає            

 

4. Знайти область визначення функції

Розв’язання. Область визначення знайдемо, розв’язавши систему:

 

Тренувальні вправи

1. Розв’язати систему нерівностей
   1.      

Bідповідь.

2.                  

Bідповідь. (2; 24)

3.                     

Bідповідь.

 

2. Знайти область визначення функції

                               

Bідповідь.

 

 

 

10. Прогресії

10.1. Арифметична прогресія

 

Означення	Послідовність , кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, доданому до одного і того самого числа d. d – різниця арифметичної прогресії. Наприклад: 3; 5; 7; 9; … d = 2
Властивість
Формула  n-го члена
Формула суми n перших членів

 

Розв’язуємо разом

1. Знайдіть номер члена арифметичної прогресії 11,8; 12,4; 13; …, який дорівнює 20,8.

Розв’язання. – дана арифметична прогресія.

Знайдемо d.

d=12,4-11,8=0,6.

Оскільки , а за умовою , то одержимо рівняння.

20,8=11,8+0,6(n-1), розв’язавши його, знайдемо, що n=16.

 

2. Скільки додатніх членів містить арифметична прогресія 30; 26; 22;…?

Розв’язання. – арифметична пргресія

d=26-30=-4. Відомо, що , то

, , тобто розв’язати нерівність.

Отже, останній додатний член має номер n, який менший за 8,5; n – натуральне число, то n=8. Тому всіх додатних членів 8.

 

3. Перший член арифметичної прогресії -4, а різниця 2. Чому дорівнює сума десяти перших членів прогресії?

Розв’язання.

 

Тренувальні вправи

1. Знайти перший член арифметичної прогресії , в якій . 

Bідповідь. 5

 

2. Знайти різницю арифметичної прогресії , в якій    

Bідповідь. -4

 

3. Знайти номер члена арифметичної прогресії , який дорівнює 46, якщо .

Bідповідь. 36

 

4. Знайти суму шістнадцяти перших членів арифметичної прогресії , якщо .

Відповідь. 40

 

10.2. Геометрична прогресія

 

Означення	Послідовність відмінних від нуля чисел, кожен з яких, починаючи з другого дорівнює попередньому, помноженому на одне й те ж саме число, яке називається знаменником геометричної прогресії
Властивість
Формула  n-го члена
Формула суми n перших членів

 

Розв’язуємо разом

1. Знайти перший член геометричної прогресії , в якій

Розв’язання.

 

2. Чому дорівнює сума перших чотирьох членів геометричної прогресії, перший член якої , а знаменник .

Розв’язання.

3. Знайти суму шести перших членів геометричної прогресії , якщо , а знаменник .

Розв’язання. , .

 

Тренувальні вправи

1. Знайдіть перший член геометричної прогресії , якщо .

Відповідь. 25.

 

2. Знайдіть знаменник геометричної прогресії , у якої

Bідповідь.

 

3. Між числами 1 і 64 вставте два числа таким чином, щоб вони разом з даними утворили геометричну прогресію.

Відповідь. 4, 16

 

4. Знайдіть суму чотирьох перших членів геометричної прогресії, перший член якої ,  знаменник q=3.

Відповідь. 32.

Список використаних джерел

1. Андруг Л.М. Алгебра. 19 тижнів до державної підсумкової атестації. 9 клас.- Х.: Країна мрій, 2007. – 208 с.
2. Генденштейн Л. Е., Єрошова А. П., Ершова Г.С. Наочний довідник з алгебри та початків аналізу з прикладами для 7-11 класів. –Х.: Гімназія, 1997. – 96 с.
3. Титаренко О. М., Роганін О. М., Максименко О. Ю. Математика. Комплексний довідник – Х.: Торсінг плюс, 2009. – 320 с.
4. Мерзляк А.Г. [та ін.] Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики 9 клас за ред. Бурди М. І. – К.: Центр навчально-методичної літератури, 2014. – 256 с.
5. Чекова А. М. Алгебра і початки аналізу в таблицях. 7 – 11 класи. Навчальний посібник. – Х.: Науково-методичний центр, 2003. – 248 с.
6. Кравчук В., Підручна М., Янченко Г. Алгебра, 8 клас за редакцією Слєпкань З. – Т.: Підручники й посібники, 2005. – 232 с.
7. Захарійченко Ю.О., Школьний О.В. Збірник завдань для підготовки до ЗНО. – К.: Генеза, 2015. – 168 с.
8. Істер О. С. Алгебра 7 клас. – К.: Генеза, 2015. – 256 с.
9. Роєва Т.Г. Алгебра. Практикум. 9 клас. – Х.: Країна мрій, 2003. – 48 с.
10.                      Роєва Т.Г., Синельник Л. Я., Кононенко С. А. Алгебра у таблицях, 8 клас. Навчальний посібник. – Х.: Країна мрій, 2004. – 44 с.
11.                      Газета Математика в школах України №8, 2013, №10-12, 2015, №13-15, 2015