Презентація до уроку: Поняття похідної

Тема уроку: Поняття похідної.

Історична довідка Засновниками математичного аналізу, диференціального числення вважаються Вільгельм Лейбніц та Ісаак Ньютон.Ісаак Ньютон(1642-1727)Вільгельм Лейбніц(1646-1716)

Як виникла похідна. Багато вчених зробило свій внесок в розвиток похідноїу виникнення і розвиток диференціального числення. Леонард Ейлер (1707-1783)Карл Фридрих Гаусс(1777-1855)Жозеф Луі Лагранж (1736-1813)Джеймс Грегорі(1638-1675)Якоб Бернуллі(1654-1705)Гийом. Франсуа. Лопіталь(1661-1704)

На попередньому занятті ми розглядали дві задачі про миттєву швидкість та дотичну до кривої. При розв'язуванні цих задач ми отримали однакову математичну модель – границю відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що останній прямує до нуля.

Означення. Похідною функції f у точці Х0 називають число, яке дорівнює границі відношення приросту функції f у точці Х0 до відповідного приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля. Похідну у = f(Х) у точці Х0 позначають: f ´(Х0), читають: «еф штрих від ікс нульового».

Алгоритм знаходження похідної:1. Зафіксувати значення x0 . Знайти f(x0).2. Надати аргументу x0 приріст Δx. Знайти f(x0 + Δx).3. Знайти: Δ f = f(x0 + Δx) - f(x0).4. Знайти відношення: Δ f / Δx.5. Обчислити . 6.

Фізичний зміст похідної.v(t0)- швидкість точки в момент часу t0,а(t0) – прискорення точки в момент часу t0. xʹ (t0) = v(t0), v ʹ(t0) = a(t0),Якщо x(t) - закон руху матеріальної точки покоординатній прямій, то її миттєва швидкістьу момент часу t0 дорівнює значенню похідноїфункції у = x(t) у точці t0.

Геометричний зміст похідної. Значення похідної в точці х0 дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х0 і дорівнює кутовому коефіцієнту цієї дотичної:k – кутовий коефіцієнт дотичної,α – кут нахилу дотичної до додатного напрямку осі Ох.уʹ = fʹ(x0) = tgα = k,

Поняття похідної у житті.

Поняття похідної у житті.

Поняття похідної у житті.

Потрібно розуміти. Якщо функція f має похідну в точці х0, то функцію називають диференційованою в точці х0. Якщо функція є диференційованою в точці х0, то дографіка функції f в точці з абсцисою х0 можна провести невертикальну дотичну. І навпаки, якщо до графіка функції f в точці з абсцисою х0 можна провести невертикальну дотичну, то функція f є диференційованою в точці х0.

Графічна інтерпретаціядиференційованої функції.x0у = f(x)Графічна інтерпретаціяне диференційованої функції.x0у = f(x)x0x0x0розрив«злом»«злом»

Зверни увагу!В тих точках, в яких функція f(x) є розривною або має «злом», не існує похідної функції у = f(x).

Теорема (необхідна умова диференційованості функції). Якщо функція f є диференційованою в точці х0, то вона є неперервною в цій точці.

Приклад №1. Знайдіть похідну функції у = С (С- const) в точці x0.

Приклад №2. Знайдіть похідну функції у = kx + b в точці x0.

Приклад №3. Знайдіть похідну функції у = х2 в точці Х0.;;;;.,

Приклад №4. Знайдіть похідну функції у = х в точці Х0. ;;;;..

Приклад №5. Знайдіть похідну функції у = sin x в точці x0.

Приклад. Матеріальна точка рухається по координатній прямій зазаконом s(t) = t 2 (переміщення вимірюють у метрах, час – у секундах). Знайдіть миттєву швидкість матеріальної точки в момент часу t0 = 1с. Розв’язування.v(t0) = sʹ (t0) = (t0 2)ʹ = 2t0 = 2·1 = 2(м/c). Відповідь: 2 м/c.

Користуючись геометричним змістом похідної, знайдіть fʹ(x1) + fʹ(x2) . fʹ(x1) + fʹ(x2) = tg 0° + tg 45° = 1.x2450x1

Таблиця похідних.{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}f (x)f′(x)f (x)f′(x)C0√x1/(2√x)kx + bkexx22xaxxnnxn – 1tg x1/x– 1/x2ctg xsin xcos xln xcos x– sin xloga x

Розв’язуємо асинхронно:§ 7, п.44 № 44.1(1), № 44.4(1), № 44.6(1), № 44.8(1), № 44.12(1), № 44.14(1).

Домашня робота (по можливості і бажанню):§ 7, п.44 № 44.3(1), № 44.5(1), № 44.7(1), № 44.9(1), № 44.13(1), № 44.15(1).

4 Здобувайте знання дистанційно!Бережіть себе!Тримайте стрій!Все буде Україна!

4 Презентація створена вчителем математики. Житомирського міського ліцею №1 ЖМРПанським Володимиром Анатолійовичем2022