Презенетація "Зародження інтегрального та диференціального числення".

Підготувала Вчитель математики. Кіровського НВКОмелянчук Олександра Миколаївна. Зародження інтегрального та диференціального числення

Розвиток інтегрального числення. Виникнення завдань інтегрального числення пов'язане із знаходженням площ і об'ємів. Ряд завдань такого роду були вирішені математиками стародавньої Греції. Антична математика передбачала ідеї інтегрального числення в значно більшому ступені, ніж диференціального числення. Велику роль при вирішенні таких завдань грав вичерпний метод, створений Евдоксом Кнідським (408 – 355 до н.е.) і що широко застосовувався Архімедом (287 - 212 до н. е.).

Евдокс Кнідський Архімед

Проте Архімед не виділив загального змісту інтеграційних прийомів, а тим більше не створив алгоритму інтегрального числення. Учені Середнього і Ближнього Сходу в IX - XV століттях вивчали і перекладали праці Архімеда загальнодоступною в їх середовищі арабською мовою, але істотно нових результатів в інтегральному численні вони не отримали.

Математики XVII сторіччя, що отримали багато нових результатів, вчилися на працях Архімеда. Активно застосовувався і інший метод - метод неподільних, який також зародився в Стародавній Греції. Наприклад, криволінійну трапецію греки уявляли собі складеною з вертикальних відрізків довжиною f(x), яким проте приписували площу, рівну нескінченно малій величині f(x) dx. Відповідно до такого розуміння шукана площа вважалася рівній сумі S = 𝑎<𝑥<𝑏𝑓𝑥𝑑𝑥 нескінченно великого числа нескінченно малих площ. Іноді навіть підкреслювалося, що окремі доданки в цій сумі - нулі, але нулі особливого роду, які складені в нескінченному числі, дають цілком певну позитивну торбу. 

На тій, ще такій здається тепер щонайменше сумнівній основі І. Кеплер (1571 - 1630 рр.) в своїх творах “Нова астрономія” (1609 р.) і “Стереометрія винних діжок” (1615 р.) правильно обчислив ряд площ (наприклад площа фігури, обмеженої еліпсом) і об'ємів (тіло різалось на нескінченно тонкі пластинки).

Б. КавальєріЕ. ТоррічелліЦі дослідження булі продовжені італійськими математиками Б. Кавальері (1598 - 1647 років) і Е. Торрічеллі (1608 -1647 роки).

Проте при всій значущості результатів, отриманих математиками XVII сторіччя, числення ще не було. Необхідно було виділити загальні ідеї, що лежать в основі вирішення багатьох приватних завдань, а також встановити зв'язок операцій диференціювання і інтеграції, що дає достатньо точний алгоритм. Це зробили Ньютон і Лейбніц, що відкрили незалежно один від одного факт, відомий вам під назвою формули Ньютона, - Лейбніца. Тим самим залишково оформився загальний метод. Належало ще навчитися знаходити первісні багатьох функцій, дати логічні основи нового числення і тому подібне. Але головне вже було зроблене: диференціальне і інтегральне числення створене.

Ньютон. Лейбніц

Символ 𝑓(𝑥) був ведений Лейбніцом (1675 р.). Цей знак є зміною латинської букви S (першої букви слова торба). Само слово інтеграл придумав ще Бернуллі (1690 р.). Ймовірно, воно пішло від латинського integero, яке переводиться як приводити в колишній стан, відновлювати. (Дійсно, операція інтегрування “відновлює” функцію, диференціюванням якої отримана підінтегральная функція.) Можливе походження слова інтеграл інше: слово integer означає цілий. 

У ході листування Бернуллі і Р. Лейбніца погодилися з пропозицією Я. Бернуллі. Тоді ж, в 1696р., з'явилася і назва нової гілки математики - інтегральне числення (calculus integralis), яке ввів І. Бернуллі.Інші відомі нам терміни, що відносяться до інтегрального числення, з'явилися значно пізніше. Назва, що вживається заразом, первісна функція замінило раніше “Прімітівна функція”, який ввів Лагранж (1797 р.). Латинське слово primitivus переводитися як “початковий”: F(x)= - початкова (або первинна, або первісна) для функції f(x), яка виходить з F(x) диференціюванням.

У сучасній літературі множина всіх первісних для функції f(x) називається також невизначеним інтегралом. Це поняття виділив Лейбніц, який відмітив, що всі первісні функції відрізняються на довільну сталу.

Методи математичного аналізу активно розвивалися в наступному сторіччі ( слід назвати імена Л. Ейлера, що завершивши систематичне дослідження інтеграції елементарних функцій і І. Бернуллі). У розвитку інтегрального числення узяли частку російські математики М. В. Остроградський (1801 - 1862 рр.), В. Я. Буняковський (1804 - 1889 рр.), П. Л. Чебишев (1821 - 1894 рр.). Принципове значення мали, зокрема, результати Чебишева, що довів, що існують інтеграли, що не виражаються через елементарні функції.

Чебишев. Остроградський

Строгий виклад теорії інтеграла з'явився тільки в минулому столітті, Рішення цієї задачі пов'язане з іменами О. Коші, одного з найбільших математиків німецького ученого Б. Рімана (1826 - 1866 рр.), французького математика Г. Дарбу (1842 - 1917). Відповіді на багато питань, пов'язаних з існуванням площ і об'ємів фігур, було отримано із створенням К. Жорданом (1826 - 1922 рр.) теорії міри.

Різні узагальнення поняття інтеграла вже на кінці нашого сторіччя були запропоновані французькими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 рр.) і А. Данжуа (1884 - 1974) радянським математиком А. Я. Хичиним (1894 -1959 рр.)

Розвиток диференціального числення. Диференціальне числення — розділ математики, в якому вивчаються похідні, диференціали та їх застосування в дослідженні властивостей функцій. Формування диференціального числення пов'язано з іменами Ісаака Ньютона та Готфріда Лейбніца. Саме вони чітко сформували основні положення та вказали на взаємообернений характер диференцюювання та інтегрування. Створення диференціального числення (разом з інтегральним) відкрило нову епоху у розвитку математики. З цим пов'язані такі дисципліни як теорія рядів, теорія диференціальних рівнянь та багато інших. Методи математичного аналізу знайшли використання у всіх розділах математики. Дуже поширилася область застосування математики у природничих науках та техніці.

Диференціальне числення базується на наступних найважливіших поняттях математики, визначення та дослідження яких і складають предмет введення до математичного аналізу: дійсні числа (числова пряма), функція, границя, неперервність. Всі ці поняття отримали сучасне трактування у ході розвитку й обгрунтування диференціального та інтегрального числень. Основна ідея диференціального числення складається у вивченні функції у малому. Точніше диференціальне числення дає апарат для дослідження функцій, поведінка яких у досить малому околі кожної точки близька до поведінки лінійної функції чи многочлена. Таким апаратом слугують центральні поняття диференціального числення:похідна і диференціал.