Презентація "Центральні і вписані кути"

Робота вчителя математики Чабана Сергія Олексійовича

Центральні і вписані кути

Визначення. Кут, вершина якого збігається з центром кола, називається центральним кутом. Центральному куту АОВ відповідає дуга АВ. АОВЦентральний кут вимірюється дугою, яка йому відповідає. Кут АОВ - центральний. АОВ = 110°. АВ = 110°.

Визначення. Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають коло, називається вписаним кутом. Кут АВС - вписаний. Вписаний кут АВС спирається на дуга АСАОВС.

Співвідношення між центральним і вписаним кутами, що спираються на одну й ту саму дугу АОВС АОС = 160°. АВС = 80°. АВС = АОС12.r

Теорема. Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається, і дорівнює половині центрального кута, що спирається на ту саму дугу. АВС = АС = АОС1212 АОВСДоведення. Побудуємо промінь ВР. РТрикутники АОВ і ВОС рівнобедрені.12∠ 1 = ∠ 2,  ∠ 3 = ∠ 4.  34∠ 1 + ∠ 2 = ∠ АОР, то ∠2 = 0,5 ∠ АОР ∠ 3 + ∠ 4 = ∠ СОР, то ∠4= 0,5 ∠ СОР ∠2 + ∠4 = 0,5 ∠ АОР + 0,5 ∠ СОР = = 0,5 (∠ АОР + ∠ СОР)  ∠2 + ∠4 = ∠ АВС0,5 (∠ АОР + ∠ СОР) = 0,5 ∠АОС .

Наслідки1. Вписаний кут, що спира-ється на діаметр – прямий. ОАСВАВС = 90°2. Вписані кути, що спираються на одну й ту саму дугу - рівні. АСВРКАВС = АРС = АКС.

Вправа. Центральний кут АОС дорівнює 110 ̊. Знайти вписаний кут АВС, що відповідає даному центральному куту. АОВС110 ̊Розв’язок. Так як АВС = АС = АОС,1212то АВС = · 110 ̊= 55 .̊ 12 Відповідь: ∠ АВС = 55 ̊  .

Вправа. Дуга АВ дорівнює 120 ̊, а дуга ВС – 100 ̊. Знайти кути АВС та АОС. АОВСРозв’язок. АС = 360 ̊ - ( АВ + ВС) АС = 360 ̊ - ( 120 ̊ + 100 ̊) АС = 360 ̊ - 220 ̊ = 140 ̊. ∠ АОС = АС = 140 ̊.   ∠ АВС = АС = 70 ̊.  12 Відповідь: ∠ АОС = 140 ̊, ∠ АВС = 70 ̊  .

Вправа. Побудувати прямокутний трикутник за гіпотенузою АВ і висотою СD, опущеною з вершини прямого кута на гіпотенузу. OABCDACBDАналіз. Діаметр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, збігається з його гіпотенузою. Будуємо коло з центром О (О – середина АВ) і радіусом, рівним 0,5 АВ. Через точку O проводимо пряму а АВ і на прямій а будуємо відрізок ОР = СD. PЧерез точку Р проводимо пряму, паралельну АВ і знаходимо третю вершину шуканого трикутника.

. Вправа. Побудувати прямокутний трикутник за гіпотенузою АВ і висотою СD, опущеною з вершини прямого кута на гіпотенузу. ABCDПобудова01234567891011121314151617181920 Новопавлівський НВКAВrrrr

Вправа. Побудувати прямокутний трикутник за гіпотенузою АВ і висотою СD, опущеною з вершини прямого кута на гіпотенузу. ABCDПобудова. AВ01234567891011121314151617181920 Новопавлівський НВКОР01234567891011121314151617181920 Новопавлівський НВКС01234567891011121314151617181920 Новопавлівський НВКΔ АВС – шуканий.rrrr

Вправа. Побудувати прямокутний трикутник за гіпотенузою АВ і висотою СD, опущеною з вершини прямого кута на гіпотенузу. ABCDДослідження. AВОРСПряма СР перетинає коло ще в одній точці (С1), то Δ АВС1 теж шуканий С1.