Презентація "Чотири чудові точки трикутника"

Чотири чудові точки трикутника висоти бісектриси серединні перпендикуляри медіани

Властивість бісектриси не розгорнутого кута Кожна точка бісектриси не розгорнутого кута рівновіддалена від його сторін А Х М В С Е К Дано: ВАС, АХ – бісектриса, М є АХ, МЕ АВ, МК АС Довести: МЕ = МК Точка, яка лежить всередині не розгорнутого кута і рівновіддалена від його сторін, належить бісектрисі цього кута. Отже: бісектриса не розгорнутого кута – множина точок площини, равновіддалених від сторін цього кута.

Серединний перпендикуляр до відрізка Кожна точка серединного перпендикуляра відрізка рівновіддалена від його кінців. Дано: АВ – відрізок, РК – серединний перпендикуляр, М є РК Довести: МА = МВ А В Р К М Точка, яка рівновіддалена від кінців відрізка лежить на серединному перпендикулярі. Отже: серединний перпендикуляр до відрізка – множина точок площини рівновіддалених від його кінців.

Перша чудова точка трикутника Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці. Дано: АВС, АЕ, ВТ – бісектриси, О - точка їх перетину Довести: СУ – бісектриса АВС, О є СУ Доведення: АЕ – бісектриса та ОМ АВ, ОК АС, отже, ОМ = ОК ВТ – бісектриса та ОМ АВ, ОР ВС, отже, ОМ = ОP Отже, ОМ = ОК = ОР и ОР ВС, ОК АС, тому, О лежить на бісектрисі кута АСВ, тобто СУ – бісектриса АВС. Е Т А В С О У Отже, О – точка перетину трьох бісектрис трикутника. К М Р

Друга чудова точка трикутника Серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці. Дано: АВС, k,n – серединні перпендикуляри до сторін трикутника, О – точка їх перетину Довести: р – серединний перпендикуляр до ВС, О є р Доведення: n – серединний перпендикуляр до АС та О є n, отже, ОА = ОС. k – серединний перпендикуляр до АВ та О є k, отже, ОА = ОВ. Таким чином, ОА = ОВ =ОС, отже, О лежить на серединному перпендикулярі до сторони ВС, тобто на р. Отже, О – точка перетину серединних перпендикулярів k, n, p. А В С k n p О

Друга чудова точка трикутника (продовження) Ще можливі розміщення:

Третя чудова точка трикутника Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну з них у 2: 1, починаючи від вершини. (центр тяжіння трикутника – центроїд) А В С М К Р О Дано: АВС, AM,ВК,СР - медіани Довести: АМ ВК СР = О Доведення зробіть самостійно!

Четверта чудова точка трикутника Висоти трикутника або їх продовження перетинаються в одній точці (ортоцентр). Довести: О – точка перетину висот або їх продовжень. Дано: АВС, АК, ВН, СМ - висоти М А С(К,Н,О) В А В С Н М К О В С А Н К М О

Доведення: А В С К М Н О Одержимо: АСВЕ – паралелограм, отже, АС = ВЕ Е Т У АСТВ – паралелограм , отже, АС = ВТ Таким чином , ВЕ = ВТ, тобто В – середина ЕТ. Так як, ВН – высота АВС за умовою,то ВН АС Так як, ЕТ АС за побудовою, отже, ВН ЕТ Одержимо: ВН – серединний перпендикуляр до ЕТ. Так само , СМ – серединний перпендикуляр до ТУ та АК - серединний перпендикуляр до УЕ. Тобто, ВН, СМ, АК – серединні перпендикуляри до сторін ЕТУ, проведемо ЕТ АС, ЕУ ВС, ТУ АВ. Через вершини В, А, С трикутника АВС які, за раніше доведеним перетинаються в одній точці. Отже, висоти трикутника АВС перетинаються в одній точці.

Задача А В С D К М Дано: АВС, АМ = ВМ, МD AB, AK = KC, DK AC, D є BC. Довести : D - середина ВС, А = В + С. Доведення: AK = KC, DK AC, D є BC за умовою, отже, AD = DC BD = DC, Таким чином, D – середина ВС. АМ = ВМ, МD AB, D є BC за умовою, отже, ВD = AD а) б) За доведеним ВD = AD AD = DC, отже, трикутники АВD и та АСD – равнобедренні, тому 1 = В, 2 = С. 1 2 ВАС = 1 + 2 = В + С, що треба було довести.