Со времен древних греков простые числа оказываются столь же привлекательными, сколь и неуловимыми. Математики постоянно испытывают разные способы их «поимки», но до сих пор единственным по-настоящему эффективным остаётся тот способ, который найден александрийским математиком и астрономом Эратосфеном. Этот способ назвали «Решето Эратосфена».
Історична довідка Ератосфен (бл.275 – 194 до н.е. ), давньогрецький вчений і письменник. Один із надзвичайно різнобічних вчених античності. Ератосфен займався філософією, філологією, хронологією, математикою, астрономією, географією, сам писав вірші і музику. За це сучасники дали йому прізвисько Пентатл, тобто Багатоборець. Інше його прізвисько, Бета, тобто «другий», очевидно, свідчило про те, що у всіх науках Ератосфен досягає не найвищого, але чудового результату
Почему решето? Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на натянутом папирусе, а числа не вычёркивали, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена и назывался «Решетом Эратосфена»: в этом решете «отсеиваются» простые числа от составных.
Прості числа-близнюки це пара простих чисел, різниця між якими становить 2. Найменшими числами-близнюками є: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883).
Прості числа-триплети Послідовність простих чисел (p, p+2, p+6) або (p, p+4, p+6) називається триплетом. Перші прості числа-триплети : (5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41 , 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193 , 197), (193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233), (277, 281, 283), (307, 311, 313), (311, 313, 317 ), (347, 349, 353), (457, 461, 463), (461, 463, 467), (613, 617, 619), (641, 643, 647), (821, 823, 827), (823, 827, 829), (853, 857, 859), (857, 859, 863), (877, 881, 883), (881, 883, 887).
Перші два досконалі числа були відомі ще в глибоку давнину. Наступні два — 496 і 8 128 знайшов в IV столітті до н. е. Евклід і тільки через півтори тисячі років було знайдене ще одне досконале число — 33 550 336. До середини XX століття було знайдено ще 7 таких чисел. З 1952 року в пошуки включились ЕОМ і якщо перше досконале число (6) однозначне, то 24-те має понад 12 000 знаків.
Числа Піфагора (піфагорова трійка) складаються з трьох додатніх цілих чисел a, b і c, таких що a2 + b2 = c2. Ці числа зазвичай записують в такому вигляді (a, b, c), і найвідоміший приклад (3, 4, 5).. Назву свою числа отримали через теорему Піфагора, для якої ці числа є розв’язком. Для c ≤ 100 є лише 16 Піфагорових трійок: ( 3, 4, 5), ( 5, 12, 13), ( 7, 24, 25), ( 8, 15, 17),( 9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65),(36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97).