Презентація до дистанційного уроку "Скалярний добуток"

Скалярний добуток векторів

Кут між векторами. На рисунку зображено двавектори a і b. Відкладемо від точки О вектори. ОА = а, ОВ = b. Проміні ОА і ОВ утворюють кут АОВ, який називають кутом між векторами а і b. Скорочено записують (а; b) ічитають: кут між векторамиа і b.

Кут меж векторами. Якщо вектори співнапрямлені,то кут між ними дорівнює 0°. Якщо вектори протилежнонапрямлені, то кут міжними дорівнює 180°.

Означення скалярного добутку. Скалярним добутком двох ненульових векторів називається число, яке дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними. Скалярний добуток позначають так: a · b. Отже, a · b = ‌‌ ‌а · b · cos (a; b) Скалярний квадрат вектора. Добуток а · а називається скалярним квадратом вектора іпозначається а2 . Отже, а2 = а2 , тобто скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини.

Скалярний добуток векторів, заданих своїми координатами. Якщо вектори задано своїми координатами: то їх скалярний добуток дорівнює сумі добутків відповідних координат Властивість перпендикулярних векторів. Якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю.І навпаки: якщо скалярний добуток векторів дорівнює нулю, то ці вектори перпендикулярні.

Вид кута між векторами, в залежності від знака скалярного добутку векторів Якщо скалярний добуток векторів додатній, то кут між векторами гострий. Якщо скалярний добуток векторів від'ємний, то кут між векторами тупий. Якщо скалярний добуток векторів дорівнює нулю, кут між векторами прямий. Можливо і навпаки:- Якщо кут між векторами гострий, то їх скалярний добуток додатній.- Якщо кут між векторами тупий, то їх скалярний добуток від'ємний.- Якщо кут між векторами прямий, то їх скалярний добуток дорівнює нулю

Основні формули

Приклади розв'язання завдань Підручник А. Г. Мерзляк Геометрія 9 клас № 16.6 (1 - 4) 2 · 5 · = 10 · = 5. Для розв'язання завдань згадуємо формули: 2) Далі використовуємо ту ж формулу, і отримуємо:3 · 2 = - 6.3) 4 · 1 · = 4 · 1 · 1 = 4 4) 1/2 · 6 · = 1/2 · 6 · (- 1) = - 3

Приклади розв'язання завдань№ 16.8 (1) = 2 · 1 + (- 1) · (- 3) = 5. № 16.13 Знаходимо скалярний добуток векторів за формулою, отримаємо: = 1 · 2 + (- 2) · (- 3) = 8. Знаходимо модулі векторів за формулою, отримаємо: Для розв'язання завдань згадуємо формули: Підставляємо отримані результати в формулу, отримаємо:

Приклади розв'язання завдань№ 16.19 Значить, вектори перпендикулярні.№ 16.20 Якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює 0, тобто виражаємо скалярний добуток векторів і прирівнюємо його до нуля.2х · х + (- 3) · 6 = 0; Розв'язуємо рівняння, отримаємо: х = - 3 або х = 3. Якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює 0, тобто = - х · у + х · у. Зводимо подібні доданки, і отримаємо: = 0.

Приклади розв'язання завдань№ 16.22 Визначити гострий кут або тупий нам допомагає знак скалярного добутку (див. Слайд 6). Знаходимо скалярний добуток векторів (див. Слайд № 16.8.(1)). Отримаємо: 2х + 20. Нам потрібно, щоб кут був гострий, значить, 2х + 20 > 0. Розв'язуємо нерівність. Отримаємо, х > 10.2) Аналогічно 1). Знаходимо скалярний добуток векторів. Отримаємо 2х + 20. Нам потрібно, щоб кут був тупий, значить, 2х + 20 < 0. Розв'язуємо нерівність. Отримаємо, х < 10.

Домашнє завдання№ 16.7, 16.8 (2, 3), 16.9, 16.18, 16 .21